7.3 Analyse de structures d'intervalles mono-pyramidales et bi-pyramidales
7.3.2 Le cas bi-pyramidal
Dans cette partie, nous supposons que le problème est caractérisé par deux bases b1 et
b2. Nous considérons deux cas : soit b1 et b2 appartiennent à la même structure d'intervalles
(I1 ou I2), soit b1 appartient à I1 et b2 appartient à I2.
7.3.2.1 Les bases b1 et b2 appartiennent à la même structure d'intervalles I1
Supposons que b1et b2 sont deux bases appartenant à I1 telles que pb1≤ pb2. Comme in-
diqué sur la gure 7.3, nous prenons en compte les séquences de la forme b1 ≺ σ1 ≺ b2 ≺ σ2.
Fig. 7.3: Séquences optimales pour la cas bi-pyramidal (b1 et b2 appartiennent à I1)
• La relation precedes(b1, b2) est véri ée
Puisque precedes(b1, b2) est vrai, alors Pb1 ∩ Pb2 = ∅ et tout travail j ∈ J − {b1, b2}
appartient soit à Pb1 soit à Pb2. Nous démontrons alors le théorème suivant :
Théorème 3. Si Pb1 et Pb2 sont deux b-pyramides de I1 avec precedes(b1, b2), alors toute
séquence telle que : - b1 précède b2;
- tous les travaux appartenant à Pb1 sont séquencés à l'intérieur de σ1 dans n'importe quel
ordre ;
- tous les travaux appartenant à Pb2 sont séquencés à l'intérieur de σ2 dans n'importe quel
ordre ;
est optimale avec : Cmax= X j∈σ2+{b2} pj2+ max(pb11+ X j∈σ1+{b1} pj2, X j∈σ1+{b1} pj1+ pb21).
Démonstration. Considérons la séquence optimale de Johnson qui range les travaux dans l'ordre croissant de leur pj1. Cette séquence optimale est sous la forme b1 ≺ σ1 ≺ b2 ≺ σ2
et respecte naturellement les trois conditions du théorème 3 puisque b1 précède b2, tout
travail j ∈ Pb1 est aecté à σ1 et tout travail j ∈ Pb2 est aecté à σ2.
À partir du théorème 1, il est clair que les valeurs de Cσ1+{b1} et de Cσ2+{b2} (donc la
valeur du makespan optimal), ne changent pas quels que soient les ordres des travaux au sein de σ1 et de σ2. Selon la valeur de ∆tσ1 par rapport à pb21, le makespan optimal Cmax
peut alors avoir les deux valeurs suivantes : Si ∆tσ1 ≥ pb21 alors : Cmax = pb11+ X j∈σ1+{b1} pj2+ X j∈σ2+{b2} pj2
7.3 Analyse de structures d'intervalles mono-pyramidales et bi-pyramidales137 Sinon, Cmax = X j∈σ1+{b1} pj1+ pb21+ X j∈σ2+{b2} pj2
La valeur du makespan est la plus grande de ces deux valeurs, d'où l'expression de Cmax
donnée dans le théorème 3.
• La relation precedes(b1, b2) n'est pas véri ée
Supposons que b1 et b2 sont deux bases de la structure d'intervalles I1 telles que
pb11 ≤ pb21. Puisque la relation precedes(b1, b2) est fausse, six relations de Allen res-
tent possibles : equals(b2, b1), starts(b2, b1), starts(b1, b2), ends(b2, b1), overlaps(b1, b2) et
meets(b1, b2). Dans tous ces cas, notons que plusieurs travaux peuvent appartenir à la fois
aux deux b-pyramides Pb1 et Pb2.
Théorème 4. Si Pb1 et Pb2 sont deux b-pyramides de I1telles que la relation precedes(b1, b2)
est fausse, alors toute séquence telle que : - b1 précède b2;
- tous les travaux appartenant seulement à Pb1 sont séquencés à l'intérieur de σ1 dans
n'importe quel ordre ;
- tous les travaux appartenant seulement à Pb2 sont séquencés à l'intérieur de σ2 dans
n'importe quel ordre ;
- tout travail appartenant aux deux b-pyramides Pb1 et Pb2 est séquencé soit dans σ1, soit
dans σ2, dans n'importe quel ordre ;
est optimale avec :
Cmax = pb11+
X
j∈J
pj2.
Démonstration. La preuve est similaire à la précédente. En eet, considérons à nouveau la séquence optimale de Johnson rangeant les travaux dans l'ordre croissant de leur pj1. Cette
séquence optimale est de la forme b1 ≺ σ1 ≺ b2 ≺ σ2 (voir gure 7.3) et respecte clairement
les conditions du théorème 4 puisque, b1 précède b2, les travaux appartenant seulement à
Pb1 sont aectés à σ1 et tous les autres travaux (appartenant soit à Pb1∩ Pb2 soit à Pb2 seul)
sont aectés à σ2. Puisque b1 et b2 sont deux bases telles que precedes(b1, b2)est faux, alors
la relation pb11 ≤ pb21 ≤ pb12 est valide. Selon la preuve du théorème 1, on peut déduire
que ∆tσ1 ≥ pb21. La valeur optimale du makespan est donc :
Cmax= Cσ1+{b1}+ Cσ2+{b2}− pb21 = pb11+ X j∈σ1+{b1} pj2+ X j∈σ2+{b2} pj2
Selon le théorème 1, les valeurs de Cσ1+{b1}et Cσ2+{b2}(donc celle du makespan optimal)
ne changent pas quels que soient les ordres de travaux à l'intérieur de σ1 et σ2. De plus,
ordonnancer un travail appartenant à la fois à Pb1 et Pb2 dans σ1 (au lieu de σ2 comme dans
la séquence de Johnson) ne diminue pas ∆tσ1. Donc la relation ∆tσ1 ≥ pb21 reste toujours
valide et la valeur de Cmax ne change pas. En n, dans le cas particulier où pb11 = pb21, les
index de bases peuvent être permutés dans le théorème.
7.3.2.2 Les bases b1 et b2 appartiennent à la même structure d'intervalles I2
Nous supposons ici que b1 et b2 sont deux bases appartenant à I2 telles que pb12 ≥ pb22.
Les théorèmes suivants sont alors directement énoncés puisque leur preuve est similaire aux deux preuves précédentes, en considérant la formulation inverse du problème. Dans ce cas, la structure de séquences optimales est σ1 ≺ b1 ≺ σ2 ≺ b2.
Théorème 5. Si Pb1 et Pb2 sont deux b-pyramides de I2 telles que precedes(b2, b1), alors
toute séquence telle que : - b1 précède b2;
- tous les travaux appartenant à Pb1 sont séquencés à l'intérieur de σ1 dans n'importe quel
ordre ;
- tous les travaux appartenant à Pb2 sont séquencés à l'intérieur de σ2 dans n'importe quel
ordre ;
est optimale avec : Cmax= X j∈σ1+{b1} pj1+ max(pb22+ X j∈σ2+{b2} pj1, X j∈σ2+{b2} pj2+ pb12).
Théorème 6. Si Pb1 et Pb2 sont deux b-pyramides de I2telles que la relation precedes(b2, b1)
n'est pas véri ée, alors toute séquence telle que : - b1 précède b2;
- tous les travaux appartenant seulement à Pb1 sont séquencés à l'intérieur de σ1 dans
n'importe quel ordre ;
- tous les travaux appartenant seulement à Pb2 sont séquencés à l'intérieur de σ2 dans
n'importe quel ordre ;
- tout travail appartenant à Pb1 et Pb2 est séquencé soit dans σ1, soit dans σ2, dans n'im-
porte quel ordre ; est optimale avec :
Cmax = pb22+
X
j∈J
7.3 Analyse de structures d'intervalles mono-pyramidales et bi-pyramidales139 7.3.2.3 Les bases b1 et b2 n'appartiennent pas à la même structure d'intervalles
Dans cette partie, nous supposons que b1 est la base de I1 et b2 est la base de I2. Notons
que seuls les travaux j tels que pj1 = pj2 peuvent appartenir aux deux b-pyramides Pb1 et
Pb2 (leur intervalle étant un point). Comme illustré sur la gure 7.4, nous nous concentrons
sur les séquences de la forme b1 ≺ σ1 ≺ σ2 ≺ b2. Nous énonçons alors le théorème suivant :
Théorème 7. Si Pb1 est une b-pyramide de I1 et Pb2 est une b-pyramide de I2, alors toute
séquence telle que : - b1 précède b2;
- tous les travaux appartenant seulement à Pb1 sont séquencés à l'intérieur de σ1 dans
n'importe quel ordre ;
- tous les travaux appartenant seulement à Pb2 sont séquencés à l'intérieur de σ2 dans
n'importe quel ordre ;
- tout travail appartenant à Pb1 et Pb2 est séquencé soit dans σ1, soit dans σ2 dans n'im-
porte quel ordre ; est optimale avec :
Cmax= pb11+ pb22+ max( X j∈σ1∪σ2 pj1+ pb21, X j∈σ1∪σ2 pj2+ pb12).
Fig. 7.4: Séquences optimales pour le cas bi-pyramidal (b1 appartient à I1 et b2 appartient
à I2)
Démonstration. À nouveau, nous considérons la séquence optimale de Johnson rangeant les travaux appartenant à I1 dans l'ordre croissant de leur pj1 et les travaux appartenant
à I2 dans l'ordre décroissant de leur pj2. Cette séquence optimale respecte évidemment les
trois conditions du théorème 7 car, b1 précède b2, tout travail j ∈ Pb1 est aecté à σ1 et
tout travail j ∈ Pb2 est aecté à σ2. À partir du théorème 1, on constate que les valeurs
de Cσ1+{b1} et Cσ2+{b2} (donc la valeur du makespan optimal) ne changent pas quels que
soient les ordres de travaux à l'intérieur de σ1 et σ2. De plus, si un travail j appartient
aux deux pyramides Pb1 et Pb2 (pj1 = pj2), alors il peut être aecté soit à σ1 soit à σ2 car,
quelle que soit l'aectation, cette aectation ne modi e ni les valeurs de ∆tσ1 et ∆tσ2 ni la
Si ∆tσ1 ≥ ∆tσ2 alors : Cmax = pb11+ pb12+ X j∈σ1∪σ2 pj2+ pb22 Sinon, Cmax = pb11+ X j∈σ1∪σ2 pj1+ pb21+ pb22
D'où l'expression générale de Cmax du théorème 7.