Si les fonctions aα = aα(x;ξ) pour |α| ≤ k appartiennent à C|α|(Ω×Rκ), pour toute fonction u∈C2k(Ω), la fonction
v(x) = X
|α|≤k
(−1)|α|Dαaα(x;δku(x)) (2.24)
est dansC0(Ω). La formule (2.24) dénie un opérateur diérentielAqui associe à la fonctionu∈C2k(Ω) la fonction v=AudeC0(Ω) :
A:C2k(Ω) −→ C0(Ω) u 7−→ v=Au avec
v(x) = X
|α|≤k
(−1)|α|Dαaα(x;δku(x)).
Limitons le domaine de l'opérateurA. Nous choisissons pourDA, le domaine de A, l'ensemble de toutes les fonctionsudeC2k(Ω×Rκ)qui vérie les conditions aux limites (2.23).
Donc, pourf ∈C0(Ω)donnée ainsi que les fonctionsaα(x;ξ)dansC|α|(Ω×Rκ) (|α| ≤k), résoudre le problèmes aux limites classique (2.22), (2.23) revient à trouver la (ou les) solution(s)u∈DAde l'équation opératorielle :
Au=f, u∈DA. (2.25)
2.6.1 À propos de l'équation opératorielle (2.25)
Après avoir clarié la notion de solution classique d'un problème aux limites et l'avoir réduit à la recherche des solution d'une équation opératorielle du type (2.25), nous nous trouvons confrontés à deux problèmes théoriques fondamentaux :
a) Le problème d'existence d'une solution du problème aux limites ou, ce qui revient au même de l'équation (2.25).
b) Le problème de déterminer cette solution.
L'agissant du problème (b), nous devons immédiatement noter qu'une formule explicite donnant la (ou les) solution(s) d'un problème aux limites non linéaires ne peut être trouvée que dans des cas très
exceptionnels. Les méthodes numériques sont alors les bienvenues ici et elles sont eectivement très largement utilisées.
L'objet de ce cours est d'étudier le problème (a). Il n'existe pas de méthodologie générale pour ré-soudre les problèmes aux limites relatifs aux équations aux dérivées partielles non linéaires. Toutefois, si les équations ont une forme particulière, on connaît quelques méthodes pour démontrer l'éxistence de solution. C'est principalement cette question d'existence qui nous intéresse ici.
Voici une méthode d'approche des problèmes liés aux opérateurs diérentiels :
1re étape. Recherche des estimations a priori ; on suppose que tout se passe bien i.e. qu'on travaille formellement : On essaie d'avoir des informations sur le problème en question, en particulier pour savoir dans quel espace ou ensemble il convient de chercher la ou les solutions.
2e étape. Construction de l'ensemble (ou des ensembles) où on va chercher la (ou les) solutions.
3e étape. Recherche de la méthode de résolution.
La plupart des méthodes que l'on va adopter dans ce cours seront basées sur : La résolution d'un problème élémentaire.
Exemples :
1. Ramener le problème à un problème en dimension nie (méthode de Galerkin) (on dit qu'on a fait une projection).
2. Ramener le problème à un problème déja résolu, cela se fait par
Une approximation du problème par une famille de problèmes classiques qu'on sait résoudre.
Si l'équation (2.25) a une structure adéquate, on connaît un certain nombre de méthodes telles que celles basées sur l'utilisation :
d'un théorème de point xe ou d'une fonctionnelle ou
de la théorie des opérateurs monotones.
Pour donner un avant goût de ces méthodes donnons un exemple qui peut être aisément traité par un théorème de point xe.
2.6.2 Le théorème du point xe de Banach (1922)
Théorème 2.6.1 Soit T un opérateur d'un espace de Banach X dans lui-même. Supposons qu'il existe une constante` vériant0< ` <1 et telle que
|T x−T y|X≤`|x−y|X, ∀x, y∈X.
Alors, l'opérateurT possède un point xe unique, i.e. il existeu∈X, unique, tel que T u=u.
Ce théorème s'appelle aussi le principe de contraction de Banach1.
C'est le plus simple et le plus ancien des théorèmes du point xe. Il a l'avantage d'être constructif ; plus précisement la méthode de sa démonstration (méthode des approximations successives) fournit aussi un moyen d'approcher le point xe.
Comment utiliser ce théorème pour résoudre les problèmes aux limites ? Cela se fait en utilisant :
2.6.3 La méthode de linéarisation
Illustrons cette méthode sur un exemple.
PrenonsN = 1et Ω =]0,1[et cherchons à résoudre le problème trouver u: Ω→R solution de
−u00+g(u(x)) =f(x) dans Ω =]0,1[
(2.26)
u(0) =u(1) = 0 (2.27)
où f ∈ C0(Ω) est une fontion donnée et g : R → R est aussi une fonction donnée qu'on suppose lipschitzienne.
En terme d'opérateur, on peut poser ce problème comme suit : Résoudre l'équation
Au=f ∈C0(Ω) où
DA={u∈C2(Ω)|u(0) =u(1) = 0}
et
Au=−u00+g(u(x)).
La non linéarité de ce problème est portée parg.
Soitv∈C0(Ω)une fonction xée, mais choisié arbitrairement, et considérons le problème aux limites linéaire :
trouver u: Ω→R vériant
−u00=f(x)−g(v(x)), x∈Ω =]0,1[
(2.28)
u(0) =u(1) = 0.
(2.29)
Ce problème aux limites linéaire possède une solution unique qui est donnée explicitement, voir l'exer-cice ??, par
u(x) = (1−x) Z x
0
tF(t)dt+x Z 1
x
(1−t)F(t)dt où
F(t) =f(t)−g (v(t)), t∈Ω = [0,1].
1. Stéphane (18921945), mathématicien polonais. Autodidacte, il fut découvert par H. Steinhaus. Un des plus grands mathématiciens du 20e siècle. Fondateur de l'analyse fonctionnelle moderne. Avec ses élèves, tels S. Mazur, W. Orlicz, J.
Schauder, Banach fonda la célèbre école mathématique de Lvov.
Il est classique d'écrireusous la forme
u(x) = Z 1
0
K(x, t)F(t)dt
où K =K(x, t)est ce qu'on appelle la fonction de Green du problème (2.28), (2.29) et elle est donnée par
K(x, t) =
(1−x)t pour 0≤t≤x x(1−t) pour x < t≤1.
En posant, pourv∈C0(Ω):
T v(x) = Z 1
0
K(x, t)[f(t)−g(v(t))]dt, (2.30)
on dénit un opérateur de C0(Ω) dans lui même. En fait, on a T v ∈ DA (T v est l'unique solution de (2.28), (2.29)).
On voit rapidement que chercher une solution du problème (2.26), (2.27) revient à trouver un point xe deT dansC0(Ω); i.e. à trouveru∈C0(Ω) tel que
T u=u.
Le problème (2.262.27) sera résolu si on peut s'arranger pour montrer que l'opérateurT déni par (2.30) possède un point xe. Il sut de montrer que T est une contraction sur X =C0(Ω), muni de la norme de la convergence uniforme.
Lemme 2.6.1 Si la fonction g:R→Rvérie la condition de Lipschitz2 :
|g(s)−g(t)| ≤`|s−t|, ∀s, t∈R avec 0< ` <8, l'opérateurT :X=C0(Ω)→X déni par
T v(x) = Z 1
0
K(x, t)[f(t)−g(v(t)]dt, v∈X est une contraction.
Preuve. Soientuet v deux fonctions deX. On a
|T u−T v|X= sup
x∈[0,1]
|T u(x)−T v(x)|, et comme
|T u(x)−T v(x)| ≤ Z 1
0
K(x, t)|g(u(t))−g(v(t))|dt
≤ `|u−v|X
Z 1 0
K(x, t)dt
≤ 1
2`|u−v|Xx(1−x)≤ `
8|u−v|X, il vient
|T u−T v| ≤k|u−v|X, ∀u, v ∈X avec0< k=8` <1. L'opérateurT est donc une contraction dansX.
Donc, d'après le Théorème 2.6.1, l'opérateurT possède un point xe uniqueu dansX =C0(Ω) et commeT u∈DA cela montre que la problème (2.26), (2.27) possède une solution unique.
2. Rudolf Otto Sigismund (18321903), mathématicien allemand. S'est occupé de plusieurs branches de mathématique telles la théorie des nombres, le calcul des variations, les fonctions de Bessel, les séries de Fourier, les équations diérentielles, la physique mathématique...
2.6.4 Encore sur la méthode de linéarisation
SoitΩun domaine deRN,N >1 et considérons le problème non linéaire ( −∆u+g(u(x)) =f dans Ω
u= 0 sur ∂Ω
oùf ∈C0(Ω)etg:R→Rsont deux fonctions données avecg lipschitzienne.
En linéarisant, on obtient le problème
( −∆u = F(x) dans Ω u = 0 sur ∂Ω
avecF(x) =f(x)−g(v(x)),v∈C0(Ω)xé. En essayant de résoudre ce problème linéaire, on est confronté à des dicultés beaucoup plus sérieuses que dans le cas N= 1. Par exemple :
• Le problème linéaire n'étant pas toujours soluble pour toutF dansC0(Ω), on est obligé d'imposer à f,g etv des contraintes plus fortes que celles nécessaires dans le casN = 1.
• De plus, la forme concrète de la fonction de Green, analogue de la fonction K servant à dénir T, n'est connue que pour des domaines de types très spéciaux et elle n'a pas des propriétés aussi bonnes que celle deK pourN = 1.
Des dicultés de ce type et d'autres similaires font que l'application de la méthode de linéarisation avec le principe de contraction de Banach n'est pas très souhaitable pour prouver l'existence de solution classique d'un problème aux limites pour une équation déérentielle non linéaire.