4.5 Applications
5.1.3 Cas vectoriel : équation dans espace de Banach de dimension innie
Notre but est d'étendre cette méthode d'utilisation d'une fonctionnelle à des espaces de dimension innie.
Soient doncX etY deux espaces de Banach etAun opérateur deX dansY. Pourf ∈Y, considérons l'équation
Au=f (5.3)
oùuest l'inconnue à chercher dansX.
Posons nous la question suivante : Peut-on trouver des conditions susantes simples surAgarantissant l'existence de solution pour l'équation (5.3) ? Ici le problème est beaucoup plus dicile même pour A linéaire. Penser aux problèmes à deux points pour les équations diérentielles ordinaires.
Pour tenter de répondre à cette question, essayons d'utiliser une fonctionnelle dans le cas oùY =X0, le dual topologique deX. Supposons donc qu'il existe une fonctionnelleJ :X →Rpossédant un gradient (voir dénition5.2.2)∇J en tout point deX tel que
∇J(u) =Au−f, ∀u∈X.
Dans ce cas chercher les solutions de (5.3) revient à chercher les points critiques deJ.
Peut on trouver des conditions susantes simples garantissant l'existence de point critique ? Dans le cas ni-dimensionnel, nous avons vu qu'il sut que la fonctionnelle soit continue et qu'elle tende vers +∞quand la norme de la variable tend vers+∞pour être assuré de l'existence d'au moins un minimum.
Ces conditions sont elles susantes pour garantir l'existence de minimum dans le cas inni-dimensionnel ? Supposons donc queJ soit continue et que
lim
|u|→+∞J(u) = +∞.
(5.4)
Essayons d'adapter la preuve donnée en dimension nie. Soitm= inf
X J.
Première question : m est-t-il ni ? Non en général, ou plutôt nous n'avons aucun moyen pour le prouver. La méthode utilisée en dimension nie prote essentiellement de la compacité des boules bornées.
Ici, en dimension innie, les boules fermées bornées ne sont jamais compactes pour la topologie associée à la norme, d'après un théorème bien connu de Riesz.
Nous pouvons toutefois armer quem <+∞. Considérons une suite minimisante {un} ⊂X et J(un)→m quand n→ ∞.
(5.5)
Cette suite{un} reste bornée dansX; dans le cas contraire,{J(un)}tendrait vers+∞, ce qui contredi-rait (5.4). Cela ne nous avancera pas beaucoup, puisque les boules fermées bornées ne sont pas relativement compactes. On ne peut pas extraire de{un}une sous-suite convergente qui nous permettrait, comme en dimension nie, de prouver l'existence d'un minimum.
Il y a-t-il moyen de surmonter cette diculté ? Nous souhaitons avoir plus de compacité. Pour cela nous devons changer de topologie ; remplacer la topologie dénie par la norme de X par une topologie ayant moins d'ouverts pour espérer avoir plus de compacité. Pour sentir qu'il faut prendre une topologie avec moins d'ouverts pour espérer avoir plus de compacité, penser à la topologie grossière sur X, i.e. la topologie dont les seuls ouverts sont∅ etX. Pour cette topologie toute partieE deX est compacte. Par contre, pour la topologie discrète deX, i.e. la topologie dont les ouverts sont toutes les parties deX, les parties innies ne sont jamais compactes.
La topologie qu'on prend habituellement est la topologie faible, i.e. la topologie la moins ne (avec le minimum d'ouverts) rendant continue toutes les applicationsϕf :X →R,f ∈X0 dénies par
ϕf(x) =hf, xi.
Cette topologie est (par bonheur) séparée.
Lorsque surX on considère ces deux topologies, celle dénie par la norme est dite topologie forte.
Noter qu'en appauvrissant la topologie, on a moins de fonctions continues.
Tout ensemble fermé pour la topologie faible est fermé pour la topologie forte. La réciproque est fausse en dimension innie. On montre que si dimX= +∞, l'adhérence deS ={x∈X| |x|X= 1}est la boule unité ferméeBF(O,1). Toutefois on a le résultat :
Théorème 5.1.1 SoitCun convexe deX. Alors,Cest faiblement fermé si et seulement si il est fortement fermé.
Qu'a-t-on gagné, du point de vue de la compacité, en introduisant la topologie faible ? En particulier, est ce que les fermés bornés de X sont faiblement compacts ? Disons tout de suite que dans les espaces de Hilbert, les fermés bornés sont séquentiellement faiblement compacts. Ce qui signie que de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite faiblement convergente. Pour les espaces de Banach, la question est plus délicate. Le résultat n'est pas vrai pour tous les espaces de Banach ; il l'est seulement pour les espaces réexifs.
Notons que les espaces de fonctions continues ou dérivables sur un compact deRN ne sont pas réexifs.
Cela n'est pas fait pour arranger les choses. Noter aussi que l'espace de LebesgueL1(Ω)n'est pas réexif lui aussi.
On a le résultat suivant :
Théorème 5.1.2 Soit X un espace de Banach réexif et soit {xn} une suite bornée dans X. Alors, il existe une sous-suite extraite{xnk} faiblement convergente dansX.
Revenons à notre problème d'existence de minimum. Supposons queX est réexif et considérons la suite minimisante vue dans (5.5). Cette suite est bornée ; on peut donc en extraire une sous-suite{unk} faiblement convergente vers un élémentu∈X :
unk* u, k→ ∞.
Considérons maintenant la suite des réels{J(unk)}. Peut-on armer qu'elle converge ? et si oui converge-rait-elle vers J(u)? Cela aurait était le cas si {unk} tendait fortement vers u. Mais tel n'est pas le cas.
Nous sentons que nous devons introduire une (ou d') autre(s) notion(s) de continuité. Le fait qu'on a maintenant deux types de topologies distinctes sur un même espace de Banach nous conduit à diérents types de continuités :
Dénition 5.1.1 SoientX et Y deux espaces de Banach etA:X →Y un opérateur. Soitx∞∈X. On dit queAest
• fortement continu au pointx∞ si
xn →x∞ fortement dansX implique Axn →Ax∞ fortement dansY.
• faiblement continu au pointx∞ si
xn* x∞ faiblement dansX implique Axn* Ax∞ faiblement dansY.
• fortement (respectivement faiblement) continu surX s'il est fortement (respectivement faiblement) continu en tout point de X.
Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer le
Théorème 5.1.3 Soit X un espace de Banach réexif est soit J :X →R une fonctionnelle faiblement continue surX. Supposons que
lim
|u|X→∞J(u) = +∞.
Alors, J possède un minimum au moins surX.
Preuve. L'hypothèse queJ est faiblement continue permet de terminer la preuve commencée ci-dessus.
Pour terminer cette section nous donnons un ranement du théorème précédent.
Théorème 5.1.4 Soit X un espace de Banach réexif et soitJ : X →R une fonctionnelle faiblement semi-continue inférieurement (s.c.i) surX. Supposons que
lim
|u|X→∞J(u) = +∞.
Alors, J possède un minimum (absolu) au moins sur X, i.e. il existeu∈X tel queJ(u) = min
v∈XJ(v). La notion de s.c.i. faible est dénie comme suit :
Dénition 5.1.2 Soient X un espace de Banach,J :X →Rune fonctionnelle et x∞∈X. On dit que J est faiblement semi-continue inférieurement (s.c.i.) au pointx∞ si
xn* x∞ faiblement dansX implique lim inf
n→∞ J(xn)≥J(x∞).
Si J est faiblement s.c.i. en tout point deX, on dit qu'il est faiblement s.c.i. surX.
Si la convergence faible dansX est remplacée par la convergence forte, on dit queJ est fortement s.c.i. en un point ou sur X, selon le cas.
Exercise 5.1.1 Étudier la continuité (forte) et la semi-continuité inférieure faible de la fonctionnelle F :L2(0,1)3u7−→F(u) = 1−
Z 1 0
u2(x)dx3R. Le théorème5.1.4précédent peut-être donnée sur une partie deX.
Théorème 5.1.5 SoitB une partie non vide faiblement fermée d'un espace de Banach réexifX et soit J :B →Rune fonctionnelle faiblement s.c.i. surB. Supposons que
|u|limX→∞
u∈B
J(u) = +∞.
Alors, il existeu∈ B tel queJ(u) = min
v∈BJ(v).
Encore un ranement : Comme il est plus dicile de vérier la s.c.i. faible que la s.c.i. forte, on aimerait savoir quand la s.c.i. forte implique la s.c.i. faible.
Proposition 5.1.1 Soit J : X → R∪ {+∞} une fonctionnelle convexe s.c.i. pour la topologie forte.
Alors, J est s.c.i. pour la topologie faible. En particulier, sixn* x∞ faiblement, alors J(x∞)≤lim inf
n→∞ J(xn).
Rappelons la dénition de la convexité.
Dénition 5.1.3 Soient E un espace vectoriel réel. Une fonctionnelle J : E → R∪ {+∞} est dite convexe surE si
J(tx+ (1−t)y)≤tJ(x) + (1−t)J(y), ∀x, y∈E, ∀t∈]0,1[.
Exercise 5.1.2 Soient E un espace vectoriel réel et a: E×E →R une forme bilinéaire. On suppose quea(x, x)≥0,∀x∈E. Montrer que la fonctionnelleF dénie surE parF(x) =a(x, x)est convexe.
On a alors le théorème suivant :
Théorème 5.1.6 Soit X un espace de Banach réexif est soit J : X → R∪ {+∞} une fonctionnelle convexe fortement s.c.i. sur X. Supposons que
lim
|u|X→∞J(u) = +∞.
Alors, J possède un minimum (absolu) au moins sur X.
Terminons cette section par un résultat utile pour les applications :
Proposition 5.1.2 Soit B une partie convexe non vide fortement fermée dans un espace de Banach réexif X et soit J :B →Rune fonctionnelle convexe fortement s.c.i. sur B. SupposonsJ coercitif dans le sens que
J(v)→+∞ quand ||v||V → ∞, v∈ B, alors
∃u∈ B tel que J(u) = min
v∈BJ(v).
Pour pouvoir appliquer la méthode variationnelle (utilisation d'une fonctionnelle) pour montrer l'exis-tence de solution faible de problème aux limites, nous avons besoin de quelques éléments de calcul dié-rentiel dans les espaces de Banach.