Les T-ensembles et leurs propriétés

Dénition 7.2.1 L'ensembleL^1,p₀ (Ω)formé des fonctionsu: Ω→Rmesurables telles que∀T ∈Lipp(R), T(u)appartient àW₀^{1, p}(Ω)et

sup

k>0

Z

Ω

|∇u^k|^p

(1 +|u^k|)^1+δ <∞, ∀δ >0 est appelé T-ensemble ; le T est mis pour troncature.

Une fois la dénition d'un T-ensemble posée, plusieurs questions très naturelles se posent.

• Existe-t-il des relations en les T-ensembles et les espaces de Sobolev ; est ce que les T-ensembles élargissent réellement les espaces de Sololev.

• Puisque les espaces de Sobolev sont un bon cadre pour résoudre notre problème dans le casp >2−_N¹ ; que deviennent alors les T-ensembles pour p >2−_N¹ ?

Ensuite, pour que le T-ensembleL^{1, p}₀ (Ω)puisse servir de cadre pour résoudre le problème(P0): −div(ˆa(x, u,∇u)) = µ dans D⁰(Ω)

u = 0 sur ∂Ω,

il doit posséder susamment de propriétés pour donner un sens à tous les éléments constituant notre problème. En particulier, pouru∈L^{1, p}₀ (Ω), peut-on

• parler de∇uet dans quel sens ?

• justier l'existence de div(ˆa(x, u,∇u))au sens des distributions ?

• parler de trace deusur∂Ωet dans quel sens ?

C'est à ces diérentes questions que nous allons tenter de répondre dans ce qui suit. Nous donnerons les relations liant les T-ensembles et les espaces de Sobolev pour les diérentes valeurs de p, nous montrerons que ∇u existe presque partout dans Ω. Nous réaliserons la condition u= 0 sur ∂Ω en exigeant simplement queuappartient aL^{1, p}₀ (Ω).

Pour justier l'existence de div(ˆa(x, u,∇u)) au sens de D⁰(Ω), il sut que ˆa(x, u,∇u)) soit dans L¹_loc(Ω)^N et comme

|ˆa(x, u,∇u)| ≤C

|u|^p−1+|∇u|^p−1+a₀ , il sut d'avoir|u|^p−1+|∇u|^p−1 dansL¹_loc(Ω). Cela peut être prouvé.

Théorème 7.2.1

a) On a l'inclusion algébriqueW₀^{1, p}(Ω)⊂L^{1, p}₀ (Ω), ∀p >1.

b) Siv∈L^{1, p}₀ (Ω), le gradient ∇v(x)existe p.p. dansΩet pour toutk >0, la fonctionv^k=Tk(v) est telle que

∇v^k(x) =







∇v(x) si |v(x)|< k

p.p. dans Ω.

0 sinon

La dérivée ici n'est pas en général une dérivée distribution penser àumod, la solution de l'exemple modèle donnée à la sous-section 6.2.1, qui est dansL^{1, p}₀ (Ω) pour tout p > 1 (vérier le) et cette solution n'est dansL¹(U)que pour p > _N+1^2N ·

Preuve.

a) Soitu∈W₀^{1, p}(Ω). D'après le lemme de Stampacchia6.3.1, pourT ∈Lipp(R),T(u)∈W₀^{1, p}(Ω) et pour k >0et δ >0, on peut écrire

Z

Ω

|∇u^k|^p (1 +|u^k|)^1+δ ≤

Z

Ω

|∇u|^p (1 +|u|)^1+δ ≤

Z

Ω

|∇u|^p<∞.

D'où W₀^{1, p}(Ω)⊂L^{1, p}₀ (Ω),∀p≥1.

b) Soitv∈L^{1, p}₀ (Ω). CommeΦ0=Arctg est dans Lipp(R), on aw= Φ0(v)∈W₀^{1, p}(Ω). Donc, d'après un théorème de Deny-Lions, w est (eventuellement après modication sur un sous-ensemble de Ω de mesure N-dimensionnelle nulle) absolument continue sur presque tous les segments deΩ parallèles aux axes de coordonnées et le gradient dewau sens usuel existe p.p. dansΩ. Donc, pour touti∈ {1, . . . , N} et pour presque tout x ∈ Ω, ∇w(x) existe et l'application R 3 t → w(x+te_i) ∈ R(e_i étant le i-ème vecteur de la base canonique deR^N) est absolument continue pour tdans un intervalle fermé I(x)⊂R centré à l'origine. Nous avons donc pour xnon exceptionnel et t∈I(x)(remarquer quew(y)∈]−^π₂,^π₂[, y p.p. dansΩ) :

v(x+tei)−v(x) = tg w(x+tei)−tgw(x)

= (1 +tg²Cx,t)[w(x+tei)−w(x)].

En faisant tendretvers zéro, la continuité (absolue) dewsur le segment passant parxdans la direction ei montre queCx,ttend versw(x)de sorte que

∂v

∂x_i(x) = lim

t→0

v(x+tei)−v(x) t

= (1 +tg²w(x))_∂x^∂w

i(x).

c) Soitk >0. PourΦ0(t) =Arctgt, posonsw^Φ0(k)=T_Φ0(k)(w). Comme

T_Φ0(k)(w) =







Φ₀(k) si w >Φ₀(k)

w si −Φ0(k)≤w≤Φ0(k)

−Φ0(k) si w <−Φ0(k),

en prenant la tangente de w^Φ0(k), on obtient v^k = tgw^Φ0(k) et donc, pour presque tout x ∈ Ω, tous i= 1, . . . , N, on peut écrire en utilisation la règle de dérivation en chaîne dans les espaces de Sobolev :

∂v^k

∂xi

(x) = (1 +tg²w^Φ0(k))∂w^Φ0(k)

∂xi

(x)

= (1 +tg²w^Φ0(k)) ∂w

∂x_i(x) si |w(x)|<Φ0(k)

0 sinon

= (1 +v²) 1

1+v²

∂v

∂x_i si |v|< k

0 sinon.

d'où

∇v^k(x) =







∇v si |v(x)|< k

p.p. dans Ω.

0 si |v(x)| ≥k

Remarque 7.2.1 Comme les fonctions deL^{1, p}₀ (Ω)ne sont pas nécessairement dansL¹_loc(Ω), les dérivées partielles dont il est question ici ne sont pas des dérivées au sens des distributions.

Théorème 7.2.2 (Inclusions de type Sobolev) Pour a) 1< p < N, on a l'inclusion algébrique :

L^{1, p}₀ (Ω)⊂L^s(Ω), ∀s∈i 0, N

N−p(p−1)h

· b) p=N, on a

L^{1, p}₀ (Ω)⊂L^s(Ω), ∀s >0.

c) p > N, on a

L^{1, p}₀ (Ω)⊂L^∞(Ω).

Remarque 7.2.2 L'exposant de Lebesgue s peut être pris dans l'intervalle ]0,1[; et dans ce cas, on qui en fait un espace métrique.

Preuve du théorème 7.2.2. théorème d'injection de Sobolev et de l'inégalité de Poincaré que :

|Ψα(v^k)|_Lp?(Ω)≤C_Ω est strictement positif, l'appartenance dev à L^{1, p}₀ (Ω) implique que

sup

oùC est une constante indépendante dek. Il résulte alors du lemme de Fatou que

oùαest un nombre positif quelconque tel queαp >1. Proposition 7.2.1 En utilisant le théorème7.2.1.b, on peut écrire

Z

oùχ_k est la fonction caractéristique de l'ensemble{x∈Ω| |v(x)|< k}. Et comme χk→1 p.p. dans Ω,

il résulte du lemme de Fatou que Z

Ω

|∇v|^s= Z

Ω

|∇v|^q(p−1)≤lim inf

k→∞

Z

Ω

|∇v^k| ≤C.

b) Pour p > N, on écrit : Z

Ω

|∇v^k|^p = Z

Ω

|∇v^k|

(1 +|v^k|^1+δ(1 +|v^k|)^1+δ

≤ (1 +|v|_L∞(Ω))^1+δsup

k>0

Z

Ω

|∇v^k|^p (1 +|v^k|)^1+δ

et ceci d'après le théorème7.2.2.c. On utilise alors le lemme de Fatou pour conclure que Z

Ω

|∇v|^p<∞.

Corollaire 7.2.1

a) Si2−_N¹ < p≤N, on a

L^{1, p}₀ (Ω)⊂W₀^{1, s}(Ω), ∀s∈h 1, N

N−1(p−1)h

· b) Sip > N, on a

L^1,p₀ (Ω) =W₀^{1, p}(Ω).

Preuve.

a) Soit p ∈]2− _N¹, N]. Alors _N^N₋₁(p−1) > 1. Soient s ∈]1,_N−1^N (p−1)[ et q = s/(p−1); donc q∈]_p−1¹ ,_N^N₋₁[, de sorte que, pourv∈L^{1, p}₀ (Ω), on a (voir preuve de la proposition7.2.1.a)

Z

Ω

|∇v^k|^s≤C, ∀k >0

oùC est une constante indépendante dek. D'après l'inégalité de Poincaré, on a Z

Ω

|v^k|^s1/s

≤CΩ

Z

Ω

|∇v^k|^{s 1/s}

.

Donc{v^k} est bornée dans l'espaceL^s(Ω) et comme v^k →v p.p. dansΩ, il résulte du lemme de Fatou quev∈L^s(Ω)et de l'exercice7.2.1ci-dessous que

v^k * v faiblement dans L^s(Ω).

Donc

v^k→v dans D⁰(Ω) et ∇v^k→ ∇v dans D⁰(Ω)^N, k→ ∞.

Et comme{∇v^k}est bornée dansL^s(Ω)^N, on peut en extraire un sous-suite (notée de même) telle que

∇v^k * w dans L^s(Ω)^N faiblement donc aussi

∇v^k →w dans D⁰(Ω)^N,

d'où

w=∇v∈L^s(Ω)^N.

Cela montre quev∈W₀^{1, s}(Ω), puisquev^k * vdans cet espace. Donc : L^{1, p}₀ (Ω)⊂W₀^{1, s}(Ω), ∀s∈h

1, N

N−1(p−1)h et ceci pour2−_N¹ < p≤N.

b) La preuve se fait de la même manière que ci-dessus. De la suite{v^k}, qui est bornée dansW₀^{1, p}(Ω), on extrait une sous-suite qui converge faiblement dansW^{1, p}(Ω)versv, de sorte quev∈W₀^{1, p}(Ω), puisque lesv^k dont toutes à traces nulles.

Exercise 7.2.1 Soit{gn}une suite deL^q(Ω) avec1< q <+∞. Supposons|Ω|<∞, {gn} bornée dans L^q(Ω)et il existeg∈L^q(Ω)tel que g_n→g p.p. dansΩ. Montrer queg_n* g faiblement dansL^q(Ω).

7.3 Application à la résolution des problèmes de type Leray-Lions à donnée mesure

Revenons au problème du chapitre précédent : (P0)

−div(ˆa(x, u,∇u)) = µ dans D⁰(Ω) u = 0 sur ∂Ω = Γ

avecˆa(x, s, ξ)de Carathéodory vériant les conditions(ˆa.1)−(ˆa.3)mais cette fois avec 1< p≤2− 1

N· (Le cas2−_N¹ < p≤N a été traité dans le chapitre précédent.)

Nous formulons(P₀)comme suit : Trouveru: Ω→Rtel que (P0)

u∈L^1,p₀ (Ω) R

Ωˆa(x, u,∇u)· ∇ϕ=hµ, ϕi, ∀ϕ∈ D(Ω).

Théorème 7.3.1 Sous les hypothèses du théorème 6.3.1, le problème(P0)admet une solution au moins pour toutpvériant 1< p≤2−_N¹·

Comme dans le cas2−_N¹ < p≤N, on approche(P0)par la suite des problèmes (Pn)

un∈W₀^{1, p}(Ω) R

Ωˆa(x, un,∇un)· ∇ϕ=hµn, ϕi, ∀ϕ∈W₀^{1, p}(Ω).

où{µn}est une suite choisie comme dans la sous-section6.3.1.

D'après le corollaire ??, les problèmes(Pn)possèdent des solutionsun. Dans tout ce qui suit, on note par{un}une telle suite de solutions de(Pn).

7.3.1 Estimations des solutions approchées

Lemme 7.3.1 Soit{un}une suite des solutions de(Pn). Alors

∀T ∈Lipp(R), ∃C=C(T) tel que Z

Ω

|∇T(u_n)|^p≤C, ∀n≥1;

(7.1)

∀δ >0, ∃C=C(δ)>0 tel que Z

Ω

|∇un|^p

(1 +|un|)^1+δ ≤C,∀n≥1.

(7.2)

Preuve. Voir les preuves des propositions6.3.1et6.3.2.

7.3.2 Construction d'une solution de (P

₀

)

Comme la fonctiont7→Arctgtest dans Lipp(R), d'après le lemme7.3.1, la suite{vn}={Arctgun} reste dans un borné de l'espace réexifW₀^{1, p}(Ω). On peut donc en extraire une sous-suite, qu'on note de la même manière, telle que

vn * v dans W₀^{1, p}(Ω) faiblement.

Comme l'injection deW₀^{1, p}(Ω)dansL^p(Ω)est compacte, on peut s'arranger (par des extractions succes-sives) pour que

v_n →v dans L^p(Ω) fort et p.p. dans Ω.

Posonsu=tg vavec la convention que tg(±^π₂) =±∞. Donc un →u p.p. dans Ω.

Pour montrer que u est nie p.p. dans Ω, on prend s ∈]0,_N^N_−p(p−1)[ et on raisonne comme dans la preuve du théorème7.2.2.a avec u_n etα= 1−_p^s_?, on trouve que

Z

Ω

|un|^s 1/p?

≤ s

p^?2^1−1/p?C_Ω Z

Ω

|∇u_n|^p (1 +|un|)^αp

1/p

+ 2^1−1/p?|Ω|^1/p?. (7.3)

Commeαp >1, on peut l'écrireαp= 1 +δ, avecδ >0, et en utilisant le lemme 7.3.1, on a Z

Ω

|un|^s≤C, ∀n≥1, C=une constante indépendante de n.

Il résulte alors du lemme de Fatou que

u∈L^s(Ω) et Z

Ω

|u|^s≤lim inf

n→∞

Z

Ω

|un|^s≤C.

Ce qui prouve queuest ni p.p. dansΩ.

Exercise 7.3.1 Soit{un}la suite des solutions approchées etula fonction construite ci-dessus telle que u_n→up.p. dansΩ. Montrer que

|un−u|^s→0 dans L¹(Ω) et ceci pour touts∈]0,_N^N_−p(p−1)[si1< p < N et pour tout s >0sip=N. Proposition 7.3.1 Soit ula fonction construite dans la sous-section7.3.2.

Alors

∀Φ∈Lipp(R), Φ(u)∈W₀^{1, p}(Ω).

En particulier, u^k =Tk(u)∈W₀^{1, p}(Ω) pour toutk >0.

Preuve. Soit Φ∈Lipp(R). Commeu_n→up.p. dansΩet {Φ(un)} est bornée sur le domaine bornéΩ avec

Φ(u_n)→Φ(u) p.p. Ω,

il résulte du théorème de convergence dominée de Lebesgue queΦ(u)∈L^p(Ω) et Φ(un)→Φ(u) dans L^p(Ω) fort,

donc

Φ(un)*Φ(u) dans L^p(Ω) faible de sorte que, d'une part :

Φ(u_n)→Φ(u) et ∂_iΦ(u_n)→∂_iΦ(u) dans D⁰(Ω), i= 1, . . . , N.

D'autre part, d'après le lemme7.3.1, il exiteC=C(Φ)telle que Z

Ω

|∂iΦ(un)|^p≤C, i= 1, . . . , N, ∀n≥1.

Donc, pouri= 1, on peut extraire de{∂1Φ(u_n)}une sous-suite, notée de la m�me manière, telle que

∂1Φ(un)* w1 dans L^p(Ω) faiblement, d'où

∂₁Φ(u_n)→w₁ dans D⁰(Ω).

La séparation de la topologie deD⁰(Ω)implique alors que w1=∂1Φ(u)∈L^p(Ω).

En faisant le m�me travail pouri = 2, . . . , N, on voit, par des extractions convenables, de sous-suites que

∇Φ(u)∈L^p(Ω) et

Φ(u_n)*Φ(u) dans W₀^{1, p}(Ω) faiblement, doncΦ(u)∈W₀^{1, p}(Ω).

Proposition 7.3.2 Soit ula fonction construite dans7.3.2. Alors, pour tout δ >0, on a : sup

k>0

Z

Ω

|∇u^k|^p

(1 +|u^k|)^1+δ <∞.

Preuve. Soientδ >0et {un} une suite de solutions approchées telle queun →up.p. dansΩ. Comme la fonction

ψ_δ(t) = Z t

0

dσ (1 +|σ|)^(1+δ)/p

est de classe C¹ avecψδ(0) = 0et0< ψ_δ⁰(t)≤1, pour toutk >0, la fonctionψδ(u^k_n)est dansW₀^{1, p}(Ω) et l'on a :

|ψδ(u^k_n)| ≤ Z |u^k_n|

0

dσ

(1 +|σ|)^(1+δ)/p ≤ Z k

0

dσ=k p.p. dans Ω.

Donc

ψδ(u^k_n)→ψδ(u^k) dans L^p(Ω) puisque

ψ_δ(u^k_n)→ψ_δ(u^k) p.p. dans Ω.

D'où

ψδ(u^k_n)→ψδ(u^k) dans D⁰(Ω) et, pouri= 1, . . . , N :

∂ψ_δ(u^k_n)→∂ψ_δ(u^k) dans D⁰(Ω).

Mais

∂iψδ(u^k_n) =ψ_δ⁰(u^k)∂iu^k_n= ∂iu^k_n (1 +|u^k_n|)^(1+δ)/p, donc

Z

Ω

|∂iψδ(u^k_n)|^p ≤ Z

Ω

|∂iu^k_n|^p (1 +|u^k_n|)^1+δ

≤ Z

Ω

|∂iun|^p

(1 +|un|)^1+δ ≤C,∀n≥1 (grâce à7.3.1)

avecCune constante indépendante denet dek. Et, commençons pari= 1; comme{∂1ψ_δ(u^k_n)}demeure dans un borné de L^p(Ω), on peut en extraire une sous-suite (noté de m�me) telle que

∂1ψδ(u^k_n)* w1 dans L^p(Ω) faible,

En refait le m�me travail aveci= 2, . . . , N pour voir que, par des extractions convenables de sous-suites, l'on a l'estimation :

Z

Ω

|∇u^k|^p

(1 +|u^k|)^1+δ ≤C, ∀k >0 oùC est une constante indépendante dek. Donc

sup

Les propositions7.3.1et7.3.2prouvent que la fonctionuconstruite en7.3.2est dansL^{1, p}₀ (Ω). Proposition 7.3.3 Pour toutk >0, on a :

Z

{x∈Ω| |un(x)−u^k(x)|≤ε}

ˆ

a(x, u_n,∇un)· ∇(un−u^k)≤ε||µ||_M(Ω), ∀ε >0.

Preuve. Elle se fait exactement de la même manière que celle de la proposition 6.3.4; pour k >0, se rappeler que u^k ∈W₀^{1, p}(Ω) et prendre pour fonction testv_n=T_ε(u_n−u^k).

D'après le lemme7.3.1, il existeC_δ tel que Z

Ω

|∇un|^p

(1 +|un|)^1+δ ≤Cδ, ∀n≥1, de sorte que

yn≤C+CZ

Ω

|un|^s1−p/p⁰

; et d'après l'estimation (7.3)

Z

Ω

|un|^s≤ s

p^?2^1−1/p?CΩ

Z

Ω

|∇un|^p (1 +|un|)^βp

1/p

+ 2^1−1/p?|Ω|^1/p?. avecβ= 1−_p^s? ∈]0,1[etβp^?>1, une application du lemme 7.3.1donne

yn≤C, ∀ ∈N^?.

Exercise 7.3.2 A quel résultat doit-on s'attendre dans le casp≥N?

Lemme 7.3.3 (de compacité) Soit {un} une suite deW₀^{1, p}(Ω) possédant les propriétés suivantes : a) Il existeu∈L^{1, p}₀ (Ω) telle que

un →u p.p. dans Ω et il existe q∈]1,_N^N₋₁[tel que

Z

Ω

|∇un|^q(p−1)≤C, ∀ n ≥ 1 . b) Pour toutk >0, {u^k_n}={Tk(u_n)} reste bornée dans W₀^{1, p}(Ω). c) Pour tout k >0, il existe deux fonctions θ_k etθ telles que

lim sup

n→∞

Z

{|u_n−u^k|≤ε}

ˆ

a(x, u_n,∇un)· ∇(un−u^k)≤θ_k(ε) +θ(k), ∀ε∈[0, ε₀]

oùε₀>0,lim

ε↓0θ_k(ε) = 0,θ ne dépend que deket lim

k→∞θ(k) = 0.

Alors, il existe une sous-suite{∇un⁰} convergeant vers∇up.p dans Ωet (pour toute la suite), on a

n→∞lim Z

Ω

|∇(un−u)|^s(p−1) = 0, ∀s ∈ [1, q[.

7.3.3 Passage à la limite dans les problèmes approchés

Soient q∈]1,_N^N₋₁[ et {u_n} la suite des solutions approchées. D'une part, l'on a u_n −→ up.p. dans Ωet u∈L^{1, p}₀ (Ω), d'après les propositions7.3.1et7.3.2. D'autre part, on déduit de la proposition7.3.2 que,{u^k_n} demeure dans un borné deW₀^{1, p}(Ω)et d'après la proposition7.3.3, on a, pour toutk >0 :

Z

{x∈Ω||un−u^k|≤ε}

ˆ

a(x, u_n,∇u_n)· ∇(u_n−u^k)≤ε||µ||_M(Ω), ∀ε >0.

Cela montre que toutes les hypothèses du lemme7.3.3sont satisfaites par{un}etu. On peut donc trouver une sous-suite{uν} telle que

u_ν −→u et ∇uν−→ ∇u p.p. dans Ω

et

n→∞lim Z

Ω

|∇(u_n−u)|^s(p−1)= 0, ∀s∈[1, q].

Fixons maintenant ϕ∈ D(Ω). On a : Z

Ω

ˆ

a(x, uν,∇uν)· ∇ϕ= Z

Ω

µνϕ.

a) Passage à la limite dans R

Ωµνϕ. Par le choix même de la suite, on a :

ν→∞lim Z

Ω

µνϕ=hµ, ϕi.

b) Passage à la limite dans R

Ωˆa(x, u_ν,∇u_ν)· ∇ϕ. Puisqueˆaest de Carathéodory, on a : ˆ

a(x, uν,∇uν)· ∇ϕ−→ˆa(x, u,∇u)· ∇ϕ p.p. dans Ω.

SoitE⊂Ω. On a : Z

E

|ˆa(x, u_ν,∇u_ν)· ∇ϕ| ≤ |||∇ϕ|||_L∞(Ω)C Z

E

{|u_ν|^p−1+|∇u_ν|^p−1+a₀}

≤ C Z

E

|u_ν|^q(p−1)1_q +Z

E

|∇u_ν|^q(p−1)1_q

|E|^1−1q +Z

E

a^p₀⁰_p¹0

|E|^p1. Comme{uν} est bornée dansL^q(p−1)(Ω) (utiliser l'inégalité de Poincaré), on a :

Z

E

|ˆa(x, uν,∇uν)· ∇ϕ| ≤C|E|^1−1q +C|E|^1p, ∀ν≥1,

ce qui prouve l'équi-intégrabilité de la suite {ˆa(x, uν,∇uν)· ∇ϕ}. Il résulte alors du théorème de Vitali que

ν→∞lim Z

Ω

ˆ

a(x, u_ν,∇uν)· ∇ϕ= Z

Ω

ˆ

a(x, u,∇u)· ∇ϕ.

On a donc prouvé que

Z

Ω

ˆ

a(x, u,∇u)· ∇ϕ=hµ, ϕi, ∀ ∈ D(Ω) i.e. queuest solution du problème

u∈L^{1, p}₀ (Ω),

Au=µ dans D⁰(Ω).

Le théorème7.3.1est alors démontré (et le problème(P0)résolu) dans le cas1< p≤2−_N¹·

Bibliographie

[1] R.A. ADAMS [1975, 286 p.], Sobolev spaces", Academic Press, New York.

[2] A. AMBROSETTI & G. PRODI [1993, 175 p.], A primer of nonlinear analysis, Cambridge Univ.

Press, Cambridge.

[3] Y. ATIK, Introdution aux problèmes elliptiques quasi-linéaires à donnée mesure, Cours spéciaux de l'ENSKouba, Alger, (1992).

[4] L. BOCCARDO & T. GALLOUËT, Nonlinear elliptic and parabolic equations involving measure data, J. Funct. Anal., 87 (1989), 149169.

[5] R.K. BOSE & M.C. JOSHI [1985, 311 p.], Some topics in nonlinear functional analysis, Wiley Eastern Ltd, New Delhi.

[6] H. BREZIS [1983, 248 p.], Analyse fonctionnelle, théorie et applications", Masson, Paris.

[7] J. CÉA [1971, 237 p.], Optimisation, théorie et algorithmes", Dunod, Paris.

[8] G. CHOQUET [1964, 310 p.], Cours d'analyse, tome 2, Topologie", Masson, Paris.

[9] R. COURANT & D. HILBERT [1937, 1962, 576 p., 852 p.], Methods of mathematical physics", Volumes I and II, Interscience Publishers, N.Y.

[10] M. CROUZEIX & A.L. MIGNOT [1984, 180 p.], Analyse numérique des équations diérentielles", Masson, Paris.

[11] M. CROUZEIX & A.L. MIGNOT [1986, 182 p.], Exercices d'analyse numérique des équations diérentielles", Masson, Paris.

[12] R. DAUTRAY & J.L. LIONS [1984, 1985, 1434 p., 1088 p.], Analyse mathématique et calcul numé-rique pour les sciences et les techniques", Tomes 1 et 2, Masson, Paris. Nouveau tirage en 9 volumes, 198788.

[13] N. DUNFORD and J.T. SCHWARTZ [1958, 872 p.], Linear operators, Part I : general theory, Interscience Publishers, Inc., New York.

[14] S. FUƒIK & A. KUFNER [1980, 359 p.], Nonlinear dierential equations, Elsevier, New York.

[15] P.R. GARABEDIAN [1964, 672 p.], Partial dierential equations", John Wiley, New York.

[16] D. GILBARG & N.S. TRUDINGER [1977, 401 p.], Elliptic partial dierential equations of second order", Springer-Verlag, New York.

[17] M.A. KRASNOSEL'SKII [1964, p.], Topological Methods in the theory of nonlinear integral equations, Macmillan, New York.

[18] F. JOHN [1975, 358 p.], Partial dierential equations", Springer-Verlag, Berlin.

[19] L. KANTOROVITCH & G. AKILOV [1981, 491 p., 343 p.], Analyse fonctionnelle", Tomes 1 et 2, Éditions Mir, Moscou.

[20] B. KAWOHL, From p-Laplacian to mean curvature operator and related questions, In Progress in P.D.E. : The Metz surveys, M. Chipot & Saint Jean Paulin editors, Pitman Research Notes in Mathematics Series, No 249, Longman, Harlow, (1991), 4056.

[21] S. KICHENASSAMY, Quasilinear problems with singularities, Manuscripta math. 57 (1987), 281 313.

[22] A. KIRILLOV & A. GVICHIANI [1982, 324 p.], Théorèmes et problèmes d'analyse fonctionnelle", Éditions Mir, Moscou.

[23] O.A. LADYZHENSKAYA [1985, 322 p.], The boundary value problems of mathematical physics", Translated by J. Lohwater, Springer-Verlag, New York.

[24] O.A. LADYZHENSKAYA N. URAL'TSEVA [1968, 503 p.], Linear and quasilinear elliptic equa-tions", Translated by Scripta Technica, Inc., Academic Press, New York.

[25] O.A. LADYšENSKAJA, V. SOLONNIKOV & N. URAL'CEVA [1968, 660 p.], Linear and quasi-linear parabolic equations", Translated by S. Smith, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island.

[26] J.L. LIONS [1969, 564 p.], Quelques méthodes de résoution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Paris, 1969.

[27] J.L. LIONS [1973, p.], Cours d'analyse numérique de l'École Polytechnique, Hermann, Paris.

[28] A. MARTIN [1991, 224 p.], Exercices résolus d'équations aux derivées partielles", Dunod Université, Paris.

[29] V. MIKHAÏLOV [1980, 390 p.], Équations aux derivées partielles", Éditions Mir, Moscou.

[30] J. NEƒAS [1967, 351 p.], Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques, Masson (Paris) et Academia (Prague).

[31] I.G. PETROVSKY [1950, 255 p.], Lectures on partial dierential equations, Dover Publications, N.Y. 1991.

[32] M.H. PROTTER & H.F. WEINBERGER [1967, 264 p.], Maximum principles in dierential equa-tions, Prentice-Hall, Englewood Clis, N.J.

[33] P. RABIER & J.-M. THOMAS [1985, 208 p.], Exercices d'analyse numérique des équations aux derivées partielles", Masson, Paris.

[34] P. RABINOWITZ, Minimax methods in critical point theory with applications to dierential equa-tions, Publication du Laboratoire d'Analyse Numérique, Univ. P. & M. Curie, No 9001, (1990).

[35] J. M. RAKOTOSON, Quasilinear elliptic problems with measures as data, Di. Int. Equ. 4 (1991), 449457.

[36] J.M. RAKOTOSON, Introduction aux problèmes non linénaires, Cours de DEA, Univ. Poitiers, (1992).

[37] P. RAVIART & J.-M. THOMAS [1988, 224 p.], Introduction à l'analyse numérique des équations aux derivées partielles", 2^e tirage, Masson, Paris.

[38] W. RUDIN [1973, 414 p.], Functional analysis", McGraw-Hill, N.Y.

[39] W. RUDIN [1966, 424 p.], Real and complex analysis", McGraw-Hill, N.Y.

[40] M. SCHECHTER [1977, p.], Modern methods in partial dierential equations (an introduction), McGraw-Hill, N.Y.

[41] D.R. SMART [1974, p.], Fixed point theorems, Cambridge Univ. Press.

[42] G. STEPHENSON [1985, 171 p.], Partial dierential equations for scientists and engineers", Third edition, Longman, N.Y.

[43] V. TRENOGUINE [1985, p.], Analyse fonctionnelle", Éditions Mir, Moscou.

[44] V. TRENOGUINE & al. [1987, 246 p.], Problèmes et exercices d'analyse fonctionnelle", Éditions Mir, Moscou.

[45] V. VLADIMIROV & al. [1976, 264 p.], Recueil de problèmes équations de la physique mathéma-tiques", Éditions Mir, Moscou.

[46] M.M. VAINBERG [1973, 356 p.], Variational method and method of monotone operators in the theory of nonlinear equations, John Wiley & Sons New York.

[47] H. WEINBERGER [1965, 458 p.], A rst course in partial dierential equations", John Wiley &

Sons, New York.

[48] K. YOSIDA [1971, 485 p.], Functional analysis", Third edition, Springer-Verlag, Berlin.

[49] E. ZEIDLER [1990], Nonlinear functional analysis and its applications, 4 volumes, Springer-Verlag, New York. Volume I : Fixed-point theorems. Volume II/A : Linear monotone operators, 485 p.

Volume II/B : Nonlinear monotone operators, 750 p. III : Variational methods and optimization.

IV/V : Applications to mathematical physics.

Dans le document Introduction aux Problèmes aux Limites Non-Linéaires (Page 94-0)