2.2 Description individuelle des amas
2.2.1 Le mod`ele sph´erique d’effondrement gravitationnel
A la fin du chapitre 1 (1.3.3.2) nous avons vu qu’apr`es le d´ecouplage de la mati`ere et du rayonnement les surdensit´es croissent et deviennent de plus en plus denses. Nous utilisions alors une approche perturbative pour d´ecrire leur ´evolution. Cette approche ne permet cependant pas de d´ecrire l’effondrement gravitationnel intense, fortement non lin´eaire, qui suit cette p´eriode. Le mod`ele d’effondrement sph´erique pr´esent´e ici le permet. Il est expos´e en d´etail dans Kitayama (1997), Peacock (1999) ou encore Rich (2002).
On ´etudie l’effondrement sph´erique d’un nuage de gaz. En nous pla¸cant dans un cadre Newtonien et en consid´erant un d´ecoupage du nuage en couronnes sph´eriques qui ne se chevauchent pas, on peut d´ecrire l’´evolution temporelle d’une couronne de rayon physique r(t) par l’´equation du mouvement suivante :
d2r(t)
dt2 + GM
r2(t) = 0 (2.1) On appelle M la masse totale incluse `a l’int´erieur de la coquille de rayon r(t). On s’int´eresse `a l’´evolution de cette structure ferm´ee : la masse M est une constante du mouvement. Cette ´equation d´ecrit l’expansion et la contraction d’une sph`ere de rayon r(t) sous l’effet de l’autogravitation. On peut ´ecrire que M est une constante dans le cas o`u des coquilles concentriques ne se chevauchent pas : il n’y a pas d’´echanges de mati`ere entre elles et l’ext´erieur.
On peut int´egrer une premi`ere fois cette ´equation (R
dr) sous la forme : 1 2 dr dt 2 − GMr = −E < 0 (2.2) c’est l’´equation de conservation de l’´energie d’un syst`eme gravitationellement li´e avec E > 0. La solution `a l’´equation pr´ec´edente qui conduit `a la formation d’un syst`eme li´e est la suivante :
r = rm 2 (1 − cosθ) t = tm π (θ − sinθ) θ ∈ [0, 2π] (2.3) o`u on a introduit rm = 2GM E et tm = πGM
E3/2, le rayon et le temps correspondant `a θ = π. La figure 2.2.1 illustre l’´evolution du rayon d’une sph`ere de masse constante dans le cas d’un univers Einstein-de Sitter parfaitement uniforme et dans le cas d’une surdensit´e. La densit´e `a l’int´erieur de la coquille est donn´ee par :
Fig. 2.2.1 – ´Evolution du rayon d’une sph`ere de masse constante dans le cas d’une surdensit´e (trait plein) et dans le cas d’un univers parfaitement uniforme (tirets) : r ∝ t2/3 .
¯
ρ(< r, t) = 3M
4πr3 (2.4)
On cherche dans cette section `a d´efinir un crit`ere sur la formation d’une structure virielle pour le champ des perturbations lin´eaires de densit´e. On regarde donc le comportement dans un r´egime lin´eaire o`u θ 1 :
r ' rm 2 θ2 2 t ' tm π θ3 6 (2.5) On cherche alors un crit`ere sur le contraste de densit´e δ d´efinit comme :
¯
δ = ρ(< r, t) − ¯¯ ρ(t) ¯
ρ(t) (2.6)
On s’int´eresse pour cela aux contrastes, lin´eaire ∆l ou non-lin´eaire ∆nl, d´efinis `a partir des expressions de la densit´e moyenne `a l’int´erieur de la sph`ere de rayon r dans le cas o`u on a utilis´e une extrapolation lin´eaire ¯ρl(< r, t) et dans le cas o`u on consid`ere la valeur r´eelle de cette densit´e : ¯ρnl(< r, t). En utilisant les expressions lin´earis´ees de r et t, on obtient, par extrapolation lin´eaire, pour le contraste lin´eaire :
∆l ≡ ρ¯ l(< r, t) ¯ ρEdS(t) = 1 + 3 20[6(θ − sin(θ))]2/3 (2.7) et pour le contraste non lin´eaire :
∆nl ≡ ρ¯ nl(< r, t) ¯ ρEdS(t) = 9 2 (θ − sin(θ))2 (1 − cos(θ))3 (2.8)
2.2 Description individuelle des amas 41
Fig. 2.2.2 – Rapport des densit´es, lin´eaire et non-lin´eaire, sur la densit´e moyenne de l’univers (ici Einstein-de Sitter). Le trait en pointill´es correspond `a l’´evolution moyenne d’un univers uniforme. Le trait rouge correspond au syst`eme virialis´e. Le trait bleu repr´esente l’´evolution non-lin´eaire de la surdensit´e, tandis que le trait continu noir repr´esente l’extrapolation lin´eaire de cette ´evolution.
En suivant l’´evolution de la sph`ere illustr´ee par les figures 2.2.1 et 2.2.2, on d´ecompose l’effondrement en 4 ´etapes :
1. Expansion : dans un premier temps la sph`ere suit l’expansion cosmologique (courbe en pointill´es de la figure 2.2.1).
2. Equilibre : les ´equations d’´evolution montrent que pour θ = π le syst`eme atteint un point “de retour” `a partir duquel son ´evolution est d´ecoupl´ee de l’expansion de l’univers. On a alors :
r = rm = 2GME t = tm = πEGM3/2
(2.9) 3. Effondrement : si les forces entre les coquilles de rayon r restaient radiales on aurait un effondrement complet r = 0 atteint en θ = 2π. On aurait alors un contraste non-lin´eaire de densit´e infini (2.8).
4. Virialisation : Cette solution montre qu’au temps θ = 2π le syst`eme atteint un rayon nul avec une densit´e infinie. En r´ealit´e la coquille ext´erieure subit un ph´enom`ene de “relaxation violente”. La pression du gaz joue un rˆole de force de rappel oppos´ee `a l’action de la gravitation. Les forces en pr´esence ne sont plus uiniquement radiales : la sph`ere atteint un rayon non nulle, le rayon viriel de la structure, donn´e par :
rvir = r(θ = π) 2 =
GM
On suppose que le temps auquel le syst`eme atteint cet ´equilibre correspond `a θ = 2π :
tvir = 2πGM
E3/2 (2.11) On peut calculer le rapport des densit´es de la r´egion sph´erique et de l’univers `a cette ´epoque. Dans le mod`ele non lin´eaire on obtient :
∆c≡ ∆nl(rvir) = ρ¯ nl(< rvir, tvir) ¯ ρ(tvir) = 18π 2 ' 178 (2.12) et dans l’approximation lin´eaire :
∆l(rvir) = 3 20(12π)
2/3
' 2.69 (2.13) Il est important de noter que ∆ est ind´ependant de G, M , E et de tvir. Dans le cas d’univers diff´erents de EdS on observe une d´ependance en temps. Dans les mod`eles d´ecrivant les amas, individuellement ou statistiquement, on utilise ces deux quantit´es :
– δc≡ ∆l(rvir) − 1 pour calculer l’abondance des amas d’une masse donn´ee et `a un redshift donn´e (voir la section 2.3) et
– ∆c pour estimer la temp´erature du gaz, le rayon viriel de l’amas, etc (voir la section 2.2.2).
Dans le formalisme de la fonction de masse (section 2.3) le crit`ere retenu pour consid´erer qu’une surdensit´e s’est virialis´ee est le suivant, une structure est virialis´ee `a un instant t si `a un instant ant´erieur donn´e ti la condition suivante a ´et´e satisfaite : δ(< r, ti) > δl(< rvir, tvir) = ∆l(rvir) − 1 ≡ δc' 1.69 (2.14) Si cette condition est remplie on consid`ere qu’au temps t il existe une structure form´ee `a cette position. Je rappelle ici les r´esultats pr´esent´es par Kitayama dans sa th`ese (Kitayama, 1997) concernant les valeurs de δcet ∆c pour des univers diff´erents de Einstein-de Sitter :
– univers de type Enstein-de Sitter, ΩM = 1 et ΩΛ = 0 : ∆c = 18π2 ' 178
δc = 3(12π)202/3 ' 1.69
(2.15) – univers ouvert sans constante cosmologique, ΩM < 1 et ΩΛ= 0 :
∆c= 4π2 (cosh ηvir−1)3
(sinh ηvir−ηvir)2
δc= 32h
3 sinh ηvir(sinh ηvir−ηvir)
(cosh ηvir−1)2 − 2i 1 +
2π sinh ηvir−ηvir
2.2 Description individuelle des amas 43 – univers de type ΛCDM , ΩM < 1 et ΩΛ= 1 − Ωtot :
∆c ' 18π2(1 + 0.4093w0.9052 vir )
δc' 3(12π)202/3 (1 + 0.0123 log10ΩM(tvir))
(2.17) Dans ces ´equations on a : ηvir = cosh−1(2/ΩM(tvir) − 1) et wvir = 1/ΩM(tvir) − 1. L’´equation 2.16 provient de Lacey and Cole (1993) et l’´equation 2.17 est tir´ee de Nakamura et al. (1997).