Compatibilité modèle-observation : les tests d’hypothèses

7.2 Outils statistiques d’analyse des donn´ees

7.2.1 Compatibilité modèle-observation : les tests d’hypothèses

Le premier outil statistique que nous avons mis en place pour l’étude d’une observation grand champ d’amas SZ est le test d’hypothèse. Nous avons développé dans un premier temps un test de Kolmogorov-Smirnov. Mais son utilisation en pratique s’est révelée trop coûteuse en temps de calcul et nous avons ensuite mis en place un test d’hypothèse basé sur l’estimateur de vraisemblance étendue L_E (nommé dans la suite simplement vraisemblance, L pour Likelihood ). Le principe est le même pour les deux tests. La différence provient uniquement de la manière dont on mesure “l’écart” entre la distribution des observations et la distribution théorique prédite par le modèle cosmologique. Cet outil statistique est complémentaire de l’outil de calcul des paramètres cosmologiques.

7.2.1.1 Interˆet

Pour chacun des modèles cosmologiques ~P que l’on veut tester on fait l’hypothèse suivante : “l’observation considérée est une génération aléatoire du modèle ~P ”. Les tests d’hypothèses permettent de calculer la probabilité que cette hypothèse soit vraie. Plusieurs arguments ont guidé notre choix vers cet outil statistique : tout d’abord le fait que les prochaines expériences Olimpo ou APEX auront, dans un premier temps, des données de “test” (vol test pour Olimpo et premiers mois de prise de donnée pour APEX) comptant moins d’une centaine d’amas, ensuite le fait que les modèles de la physique interne des amas soient peu contraints. Les tests d’hypothèses permettent de trouver une classe de modèles compatibles avec les données. On peut imaginer placer des contraintes sur les paramètres cosmologiques sans faire ce travail préalable, et aboutir à des contraintes raisonnables alors que les modèles testés ne sont pas statistiquement compatibles avec les données. En pratique l’analyse statistique des données se compose des trois étapes suivantes : 1) on conduit un ensemble de test d’hypothèses sur une large gamme de modèles, 2) on sélectionne ceux qui sont statistiquement compatibles avec nos données, 3) on cherche le modèle le plus en accord avec les données et on calcule les contraintes sur les paramètres testés (i.e. les erreurs sur l’estimation du meilleur modèle).

Par exemple, un test d’hypothèse permet de décider si un modèle cosmologique ~

P qui serait en accord avec d’autres observations indépendantes (CMB, supernovae, amas en X, etc.) est incompatible avec nos données. On est en mesure de dire si l’hypothèse “mon observation est une génération aléatoire de ce modèle ~P ” est vraie ou fausse, et avec quelle probabilité.

7.2.1.2 L’estimateur de vraisemblance

L’estimateur de vraisemblance est défini d’une manière générale par : L =

i=1

f (xi; θ) (7.1) où les variables xi sont les N mesures et f la p.d.f théorique du modèle testé fonction du paramètre θ.

Dans notre cas nous devons tenir compte des contaminations (les sources que le suivi optique indique comme n’étant pas des amas), des amas dont on a mesuré le redshift (on est alors sûr que ce sont des amas) et des sources dont on ignore si ce sont des amas ou des contaminations (pas de mesure en redshift). L’estimateur de vraisemblance L que nous utilisons pour comparer une observation exp et un modèle cosmologique ~P s’écrit alors de la manière suivante :

L( ~P |exp) = _dN^dP_det(N_exp^det; ~P )

Namas exp Y i=1 dP dzobsdYobs (z_iâmas, Y_iâmas; ~P ) Ndetection expY i=1 dP dYobs (Y_i^detection; ~P ) (7.2) Le premier terme du produit permet d’estimer l’information contenue dans le nombre total de détections. Le nombre de sources détectées est une information en soi, indépendante des mesures individuelles de flux ou redshift. La p.d.f est donnée par le modèle statistique et Ndet

expest le nombre total de sources brillantes détectées dans le champ. Le premier produit permet de mesurer l’information contenue dans les amas détectés (dont on est sûr que ce sont des amas grâce au suivi optique) étant donnés leurs redshift zamas

i et flux Yamas

i . Le dernier produit mesure l’information contenue dans le flux Ydetection

i des détections dont on ne sait pas si elles sont des contamina-tions ou des amas. La p.d.f correspondante est calculée à partir de la distribution en flux des amas à laquelle on a ajouté la distribution en flux des contaminations. Les détections dont on est sûr que ce sont des contaminations n’apportent aucune information sur la cosmologie. Elles sont exclues du calcul de la vraisemblance.

En pratique on travaille avec les quantités − ln L. Les méthodes de “maximum de vraisemblance” deviennent alors des méthodes de “minimum d’in-vraisemblance”.

Le modèle statistique joue ici un rôle primordial dans le calcul des paramètres cosmologiques à travers la connaissance des différentes p.d.f observées-simulées. Dans le paragraphe 7.4 ses limites en tant qu’outil “d’estimation” des paramètres cosmo-logiques ont été démontrées.

7.2.1.3 Test d’hypoth`ese en pratique

Les étapes pour effectuer un test d’hypothèse sur un modèle cosmologique vis-à-vis d’une observation sont en pratique les suivantes :

1. on dispose d’une observation,

2. on se place dans le cadre d’un modèle cosmologique ~P que l’on désire tester, 3. on calcule la distribution théorique des amas dans le cadre de ce modèle, 4. le modèle statistique, construit au préalable, nous donne les distributions

ef-fectivement observ´ees des amas et des contaminations (typiquement : leur nombre, la dispersion sur ce nombre, les distributions en fonction des obser-vables),

5. on génère par simulation de Monte-Carlo un ensemble d’observations simulées compatibles avec ce modèle ~P ,

6. chacune à une vraisemblance vis-à-vis du modèle testé Li = L( ~P |expi). On construit la distribution de ces vraisemblances,

7.2 Outils statistiques d’analyse des donn´ees 171 7. `a partir de cette p.d.f de vraisemblance (7.2.2 gauche) on peut construire la

courbe de probabilit´e de compatibilit´e (7.2.2 droite),

8. la vraisemblance de l’observation que l’on analyse vis-à-vis du modèle testé correspond alors à une probabilité dans cette courbe : c’est la probabilité de compatibilité recherchée.

La construction de la courbe de probabilité se fait en calculant, dans un premier temps la valeur de la vraisemblance de référence L0 : le pic de la distribution. Celle-ci étant bien ajustée par une gaussienne, on considère comme référence la moyenne de la distribution. La probabilité de compatibilité de l’observation est donnée par le rapport du nombre de générations ayant un écart de vraisemblance supérieur à l’observation exp sur le nombre total de génération N :

P robexp= ^{N (∆L}ⁱ ^{> ∆L}^exp⁾

N ^(7.3)

La figure 7.2.2 illustre les trois derni`eres ´etapes.

Fig.7.2.2 – (gauche) Distribution des vraisemblances pour N générations aléatoires d’observations à partir du modèle cosmologique à tester. (droite) Courbe de proba-bilité déduite de la p.d.f. Les traits verticaux bleus donnent la valeur de la vraisem-blance de l’observation. La courbe rouge indique l’ajustement gaussien effectué sur les données du Monte-Carlo représentées par l’histogramme noir. Le trait vertical discontinu indique la valeur de L0.

7.2.1.4 Rejeter Press & Schechter

Les tests d’hypothèses peuvent permettre, par exemple, de calculer la probabilité de compatibilité entre une observation, simulée dans notre cas avec la fonction de

masse de Sheth et Tormen (et pour le modèle cosmologique de concordance), et un modèle cosmologique dans lequel la distribution des amas est calculée grâce à la fonction de masse de Press et Schechter.

On fait l’hypothèse suivante : “l’observation est une génération aléatoire d’une distribution d’amas calculée grâce à la fonction de masse de Press & Schechter”. On calcul, en utilisant la méthode précédente, la courbe de probabilité en fonction des différences de vraisemblance, pour ce modèle physique de formation d’amas. Elle est donnée dans la figure 7.2.3. La probabilité de compatibilité pour l’observation considérée est inférieure à 1 ×10−5. Avec les données du vol scientifique d’Olimpo on devrait être en mesure de tester les différentes fonction de masse (Sheth & Tormen, Press & Schechter, Jenkins & al.) en utilisant les paramètres cosmologiques estimés par d’autres expériences.

Fig.7.2.3 – En trait continu la courbe de probabilité pour le modèle de concordance avec utilisation de la fonction de masse de Press & Schechter. En trait discontinu la valeur de la vraisemblance de l’observation considérée (calculée avec la fonction de masse de Sheth & Tormen). L’observation a une probabilité d’être une génération aléatoire du modèle cosmologique considérée inférieure à 1 × 10−5. Elle est donc incompatible à 5 σ avec le modèle théorique.

Dans le document Exploration, par simulation, des observations grand champ d'amas de galaxies Sunyaev-Zel'dovich: intérêt en cosmologie (Page 186-189)