Le modèle articulé de la colonne vertébrale

Étant donné que les vertèbres sont des structures plutôt rigides, mais que la colonne vertébrale est non-rigide, une transformation qui modélise simultanément ces deux déformations est néces- saire pour le recalage. En effet, cette section décrit le modèle articulé qui a été proposé par Boisvert et al. pour la modélisation de la variabilité de la colonne vertébrale [73].

Le modèle articulé est défini par des transformations locales entre des trames regroupées. Dans le cas de la colonne vertébrale, une trame désigne une vertèbre. Chaque trame consiste en un point et trois axes orthogonaux. Donc, les transformations entre les trames sont de nature rigide, ou la transformation entre chaque trame et la trame successive est définie par une translation et une rotation :

△S = [T1,2, T2,3, ...., Tn−1,n], (2.27)

où S est l’ensemble de transformations entre trames consécutives, et Ti,i+1 la transformation

rigide entre les trames i et i + 1.

Les méthodes de statistique conventionnelle ne s’appliquent pas dans de cadre des transforma- tions rigides, celles-ci appartenant à un groupe Lie. Un groupe Lie est une variété (manifold) lisse et pas nécessairement un espace vectoriel. Des modèles de variabilité basés sur les groupes Lie ont donc été construits, ceci en utilisant une moyenne et une covariance plus généralisées.

La moyenne généralisée pour les espaces non vectoriels peut être obtenue à partir de la moyenne de Fréchet. Celle-ci peut être définie comme l’élément du manifold xiqui minimise la somme des

distances entre lui-même et un groupe M d’éléments x du même manifold :

µ = argminxEM N

∑

i=0

d(x, xi)2 (2.28)

Le minimum peut être obtenu avec la méthode d’optimisation de descente de gradient. La co- variance généraliséeσ peut être obtenue en calculant l’espérance de la distance au carré :

σ= 1 N N

∑

Ce modèle a été utilisé par Boisvert et al. afin d’évaluer les modes de déformations principales de la colonne vertébrale [73] et de concevoir un atlas statistique des déformations chez les patients scoliotiques [74]. Ce modèle a ensuite été utilisé afin de reconstruire un modèle 3D la colonne verté- brale à partir de radiographies [75]. Ces travaux n’effectuent pas de recalage multimodale d’images. Kadoury et al. [76] ont utilisé ce modèle pour recaler des reconstructions RX préopératoires avec des images CT intraopératoires de la colonne vertébrale de patients scoliotiques. Des contraintes

entre vertèbres consécutives modélisent les dépendances géométriques entre ces vertèbres, en plus d’une contrainte globale sur la forme de la colonne. Ces dépendances contraignent les transforma- tions lors du processus d’optimisation. Ce travail optimise ensuite une fonction d’énergie à l’aide de champs aléatoires de Markov, celles-ci nécessitant un temps de calcul important. Un tel modèle, composé uniquement d’informations sur les structures osseuses, ne fournit pas une représentation pour les tissus mous. Le et al. [77] se sont basés sur un modèle articulé afin de recaler des images RX en 2D avec une surface du corps humain en 3D. Des bâtons ont servi pour représenter chacun des segments du corps, et des transformations avec 3 degrés de liberté ont modélisé le mouvement articulé entre les bâtons. Les paramètres de transformation ont été obtenus en utilisant les contours du corps en tant que mesure de similarité. Des modèles articulés ont aussi été utilisés pour la seg- mentation de structures anatomiques. Par exemple, Klinder et al. [78] se sont servis du modèle articulé afin de segmenter des vertèbres à partir d’images CT. du Bois d’Aishe et al. [79] modé- lisent les déformations des vertèbres cervicales à l’aide d’un modèle articulé. Ces transformations sont propagées à l’aide d’un modèle élastique linéaire, et une déformation non-rigide est ensuite appliquée aux tissus mous. Le recalage est effectué à l’aide de l’information mutuelle comme me- sure de similarité. Les segments représentant les vertèbres à recaler à l’aide du modèle articulé sont séparés par seulement deux degrés de liberté : la rotation due à la flexion dans le plan défini par le segment et son voisin, et la rotation autour du segment même.

Les relations entre les vertèbres adjacentes ont aussi été modélisées par Gill et al. [80] en se servant d’un un modèle biomécanique. Dans ce travail, des images ultrason et CT sont recalées en considérant chaque vertèbre comme un corps rigide. Le recalage se fait en maximisant une mesure de similarité, puisqu’une relation existe entre les intensités des images à recaler. L’avantage de cette méthode est qu’une présegmentation des vertèbres n’est pas nécessaire. Par contre, leur processus d’optimisation est coûteux. Il est fort possible que leurs contraintes biomécaniques diminue le temps de calcul, puisqu’ils limitent les translations et les rotations vu leurs deux postures couchées sur le ventre et sur le dos. Dans notre cas, nous ne pouvons utiliser ces contraintes puisque toutes les translations et rotations sont possibles entre les postures debout et couchée.

De tous les travaux qui se servent du modèle articulé, aucune des méthodes n’effectue le reca- lage entre des images RX et RM, une tache nécessaire dans le contexte de notre projet. Par contre, le modèle articulé nous offre un cadre dans lequel nous pouvons modéliser les transformations non- rigides de la colonne entre ces 2 modalités d’images, tout en préservant la rigidité des vertèbres. Étant donné que ce modèle a été utilisé par Boisvert et al. au sein de notre laboratoire, nous pou- vons nous servir des outils développés lors de ces travaux (tel que le modèle de transformation et le calcul d’une colonne moyenne) afin de résoudre notre problématique de recalage.