Le groupe de Schrödinger des symétries cinématiques

En termes mathématiques, le principe de Galilée de la relativité est codé dans le groupe de Galilée. Pour cette raison, la structure de ce groupe joue un rôle important dans la physique non relativiste [159]. Dans un espace àd dimensions spatiales, le groupe agit sur les coordonnées spatiales x et le temps t comme

(t, x)→ g(t, x) = (t + β, Rx + vt + a), (8.1) où β ∈ R ; v, a ∈ Rd et R est une matrice de rotations dans les d dimensions spatiales. En mécanique quantique, le groupe de Galilée agit par des représentations projectives sur l’espace de Hilbert des solutions de l’équation de Schrödinger lorsque le potentiel est invariant par les translations d’espace et de temps¹. En d’autres termes, dans ce cas, toute solution est transformée en une solution de la forme

ψ(t, x)→ γ g(t, x)
ψ g⁻¹(t, x)

, (8.2)

où γ est un facteur de phase compatible avec les lois de multiplication du groupe [160]. Par exemple, une fonction d’onde scalaire ψ décrivant une seule particule de masse m se transforme sous un boost galiléen pur g_v comme

ψ(t, x)→ exp  −^im₂ (v²t− 2 v · x)  ψ g⁻¹_v (t, x)
. (8.3)

La présence du facteur de phase dépendant de la masse dans la loi de transformation implique une règle de supersélection interdisant la superposition des états de masses diffé-rentes, connues sous le nom de règle de superselection de Bargmann [161]. Cette règle limite la dynamique et précise que chaque terme dans le lagrangien de la théorie non-relativiste invariante sous Galilée doit conserver la masse totale. Pour cette raison, la masse joue le rôle d’une charge conservée dans la physique non relativiste.

En élargissant le groupe de Galilée par le biais d’une extension centrale, connue sous le nom d’opérateur de masse (ou bien opérateur du nombre de particules), nous pouvons trouver des représentations unitaires [159,160]. L’extension centrale du groupe de Galilée est parfois appelée le groupe de Bargmann [162]. Son algèbre de Lie se compose des générateurs suivants : la masse cM ; une translation temporelle bP_t ;d translations spatiales bP_i ; ^d(d₂⁻¹⁾ rotations spatiales cM_ij etd boosts galiléens bK_i. Les commutateurs non triviaux sont

[ cM_ij, cM_kl] = i(δ_ikMc_jl− δjkMc_il− δilMc_jk+ δ_jlMc_ik) ,

[ cM_ij, bK_k] = i(δ_ikKb_{j− δjkK}b_{i) , [ cMij, bPk] = i(δikP}b_{j− δjkP}b_{i) ,} [ bP_i, bK_j] =−iδijM ,c [ bP_t, bK_j] =−i bP_j.

(8.4)

Notons que les relations de commutation entre les générateurs de translation et des boosts galiléens sont les relations de commutation canoniques de l’algèbre d’Heisenberg h_d en d dimensions spatiales, où les générateurs des boosts galiléens jouent le rôle des opérateurs position tandis que le rôle de la constante de Planck réduite est joué par la masse.

Il est remarquable que le groupe des symétries d’espace-temps de l’équation libre de Schrödinger avec le potentiel chimique nul (c’est-à-dire sans terme constant dans le hamil-tonien)

i ∂_tψ(t, x) =− ^∆

2m^{ψ(t, x) (8.5)}

est plus grand que le groupe de Bargmann si l’on relâche la restriction de module unitaire (|γ| = 1) sur le facteur γ apparaissant dans la loi de transformation. D’après Niederer [163], nous appelons symétrie cinématique de l’équation de Schrödinger toute transformation de la forme (8.2), où γ est un facteur complexe compatible avec la structure du groupe, qui envoie des solutions vers des solutions².

Tout d’abord, rappelons-nous que la masse est juste une charge et a donc une dimen-sion d’échelle nulle. Ainsi, le système sans interaction n’a pas de paramètre avec dimendimen-sion d’échelle non nulle, ce qui implique une symétrie d’échelle supplémentaire. Dans la phy-sique non relativiste, cette symétrie redimensionne les coordonnées de temps et d’espace 2. Certains mathématiciens appellent ces transformations une représentation “multiplier” (voir para-graphe 1.1.1.3) du groupe de symétrie.

différemment (t, x)→  t α2,^x α  , α∈ R (8.6)

ce qui correspond à l’exposant critique dynamique z = 2, qui détermine l’échelle relative des coordonnées spatiales et temporelles.

Deuxièmement, Niederer trouve dans [163] qu’en plus de la symétrie d’échelle, une transformation d’inversion discrèteΣ, qui agit sur l’espace-temps comme3

(t, x)→ Σ(t, x) =  −¹_t ,^x t  (8.7)

est également une symétrie de l’équation de Schrödinger libre. Par la conjugaison d’une translation temporelleg_β et d’une inversion Σ,

(t, x)→ (Σ⁻¹g_βΣ)(t, x) =  t 1 + βt^, x 1 + βt  (8.8)

une nouvelle symétrie de l’équation de Schrödinger libre est trouvée [163,164]. Cette formation est connue sous le nom d’expansion et est l’analogue non-relativiste des trans-formations conformes spéciales. Notons qu’un boost galiléen g_v est la conjuguaison d’une translation spatialeg_a et d’une inversion Σ.

L’extension du groupe de Bargmann par les transformations d’échelle et les expansions est connue sous le nom de groupe de Schrödinger à d dimensions spatiales, notée Sch(d). Apparemment, cette structure était déjà connue par Jacobi (voir la conclusion de [165]), mais a été retrouvée après l’avènement de la mécanique quantique dans [163, 164]. La structure imbriquée des groupes de Galilée, Bargmann et Schrödinger est illustrée dans la figure 8.1. Le groupe de Schrödinger est la contrepartie non-relativiste du groupe conforme, bien que le premier ne peut pas être obtenu comme la contraction d’Inönu-Wigner de ce dernier.

Le groupe de Schrödinger est simplement généré par les isométries euclidiennes (ro-tations et translations spatiales), la translation temporelle, la transformation d’échelle et l’inversion⁴. En plus de (8.4), les commutateurs non triviaux de l’algèbre de Schrödinger sch(d) à d dimensions spatiales sont

[ bPi, bD] = i bPi, [ bPi, bC] =−i bKi, [ bKi, bD] =−i bKi,

[ bD, bC] = 2i bC , [ bD, bPt] =−2i bPt, [ bC, bPt] =−i bD . ^(8.9) Ensemble, le générateur de translation temporelle bP_t, le générateur d’échelle bD et le générateur de l’expansion bC forme une sous-algèbre sl(2,R) de l’algèbre de Schrödin-ger complète. Ces générateurs commutent avec les générateurs cM_ij de la sous-algèbre de rotation o(d). L’algèbre de Schrödinger a la structure d’une somme semi-directe : sch(d) = h_dB o(d) ⊕ sl(2, R)
.

3. Elle est l’analogue de la transformation conformex^µ→ x^µ

x2 et elle n’est pas définie pourt = 0. Il est nécessaire de compactifier l’espace usuel, c’est-à-dire de tenir compte des points à l’infini.

4. Les boosts galiléens et les expansions apparaissent naturellement (plus précisément, par l’intermé-diaire de la conjugaison des translations d’espace-temps et de l’inversion).

Figure 8.1 – L’algèbre de Schrödinger

Enfin, la représentation “standard” de l’algèbre de Schrödinger, comme opérateurs dif-férentiels d’ordre un, agissant sur la fonction d’onde d’une particule ψ(t, x) est

b P_i =−i∂i, Pb_t= i∂_t, M = m,c c M_ij =−i(xi∂_j − xj∂_i), b K_i= mx_i+ it∂_i, b D = i  2 t ∂_t+ xⁱ∂_i+^d 2  , b C = i  t²∂_t+ t xⁱ∂_i+^d 2   +^m 2 ^x 2.