1.3 Mod´ elisation des condensats de Bose-Einstein ` a temp´ erature non nulle
2.1.3 Le ph´ enom` ene de condensation de Bose-Einstein pour un gaz parfait
Le ph´enom`ene de condensation apparaˆıt quand un grand nombre de particules est dis- tribu´e suivant la statistique (2.1). Ce nombre total N de particules est donn´e, en fonction de T et µ par, N =X j∈N nT ,µ(j) = X j∈N 1 e(εj−µ)/kBT − 1.
Comme pr´ecis´e plus haut, il est n´ecessaire que le potentiel chimique soit plus petit que le plus petit niveau d’´energie (µ < ε0) pour que la densit´e de particules soit bien d´efinie
et positive pour chaque niveau d’´energie. Pour distinguer les particules r´eparties sur le niveau d’´energie fondamental (suppos´e non-d´eg´en´er´e), et celles sur les autre niveaux, on note N0le nombre de particules sur ce premier niveau, et Nexcle nombre total de particules
excit´ees sur les autres niveaux. On a alors,
N = N0+ Nexc, N0 = 1 e(ε0−µ)/kBT − 1, Nexc= X j6=0 1 e(εj−µ)/kBT − 1.
On peut alors majorer Nexc en majorant le potentiel chimique µ par ε0,
Nexc≤ Nexcmax(T ) =
X
j6=0
1
e(εj−ε0)/kBT − 1. (2.3)
Ainsi, lorsque le nombre de particules d’un syst`eme devient grand devant Nexcmax(T ), il devient n´ecessaire qu’un nombre macroscopique d’entre elles s’accumulent dans l’´etat fon- damental, qui lui n’est pas born´e en terme de nombre de particules qu’il peut accueillir. C’est cette remarque qui justifie le ph´enom`ene de condensation de Bose-Einstein.
Notons que ce ph´enom`ene est bien sp´ecifique `a la statistique de Bose-Einstein. Dans le cadre de la statistique de Boltzmann (nBoltz.T ,µ (j) = e−(εj−µ)/kBT), une accumulation
de particules dans le premier niveau peut ´egalement survenir, lorsque la temp´erature est suffisamment faible (kBT ε1− ε0). Or, dans le cas de la statistique de Bose-Einstein, le
ph´enom`ene est bien de nature diff´erente car il peut intervenir pour toute temp´erature.
2.1.4 Le passage `a la limite thermodynamique, sans interactions
Le but de cette partie est de v´erifier si l’effet d´ecrit dans la partie pr´ec´edente est uni- quement un effet de taille finie, ou s’il persiste `a la limite thermodynamique. Celle-ci est d´efinie comme la limite o`u le nombre de particules tend vers l’infini, mais `a densit´e volu- mique constante. En effet, les niveaux d’´energies εj d´ependent de la taille caract´eristique L
du potentiel de confinement. Plus cette grandeur sera grande, et plus les niveaux d’´energie seront proches, et donc plus le nombre d’atomes Nexc sera grand. La question est donc
de savoir comment grandit Nexcmax/Ld dans le cas d-dimensionnel. Si ce nombre n’est pas born´e dans la limite thermodynamique, alors le ph´enom`ene d’accumulation disparaˆıtra dans cette limite.
Nous suivons ici l’approche de [138]. Pour mener ces calculs, la technique consiste `a approcher la sommation discr`ete apparaissant dans (2.3) par une sommation continue. Cette proc´edure donne une bonne approximation du nombre d’atomes que peuvent conte- nir les ´etats excit´es, dans la limite thermodynamique. Notons alors g(ε) la densit´e d’´etats excit´es d’´energie ε. Nous traiterons dans la suite le cas d’une particule libre confin´ee dans une boˆıte, et celui d’une particule confin´ee dans un un pi`ege harmonique. Nous verrons ( ´Equation (2.6) et (2.8)) que dans ces deux cas, cette densit´e g est donn´ee par
g(ε) = Cαεα−1, (2.4)
o`u α d´epend de la dimension, et Cαest une constante. Nous verrons aussi ( ´Equation (2.7)
et (2.9)) que dans ces deux cas le passage `a la limite thermodynamique survient lorsque Cα−1Nexc reste born´e car cette quantit´e est proportionnelle `a la densit´e de particules. Le
nombre de particules Nexc(T, µ) dans les ´etats excit´es est alors approch´e par,
Nexc(T, µ) =
Z +∞
ε0−µ
g(ε) 1
2.1. La physique de la condensation de Bose-Einstein 43 d’o`u, Cα−1Nexc(T, µ) = Z +∞ ε0−µ εα−1 1 eε/kBT − 1dε.
On obtient alors que la condensation est pr´eserv´ee par le passage `a la limite si et seulement si cette int´egrale converge quand µ tend vers ε0. Cela est le cas si et seulement si α > 1.
Dans ce cas, le nombre de particules maximale Nmax
exc (T ) que peuvent contenir les ´etats
excit´es `a la temp´erature T est donn´e par,
Cα−1Nexc(T ) = (kBT )α Z +∞ 0 xα−1 ex− 1dx, = (kBT )αΓ(α)ζ(α),
o`u Γ(α) d´esigne la fonction gamma, et ζ la fonction zeta de Riemann.
Pour un syst`eme `a N particules, on peut alors introduire la notion de temp´erature cri- tique Tc, qui correspond `a la temp´erature minimale telle que toutes les particules puissent
ˆetre contenues dans les ´etats d’´energie excit´es. Elle est donc donn´ee par,
kBTc= Cα−1N Γ(α)ζ(α) 1/α .
On peut ´egalement introduire pour un syst`eme `a N particules `a la temp´erature T ≤ Tc,
la notion de fraction condens´ee. Notons N0le nombre de particules dans l’´etat fondamental,
et Nexc le nombre de particules dans les ´etats excit´es. Par d´efinition de la temp´erature
critique, on a, Nexc= N T Tc α .
Ainsi, la fraction condens´ee est d´efinie par N0/N , et est donn´ee dans la limite thermody-
namique pour T ≤ Tc par,
N0 N = 1− T Tc α . (2.5)
Calcul de la densit´e d’´energie pour une particule libre dans une boˆıte cubique de taille L
Pour un tel syst`eme, les niveaux d’´energie ε(n1, n2, n3) sont donn´es par,
ε(n1, n2, n3) =
π2~2 2mL2(n
2
Ce sont les niveaux d’´energie ε tels qu’il existe une solution non-nulle au probl`eme, − ~ 2 2m∆φ = εφ sur Ω =]0, L[ 3, φ = 0 sur ∂Ω.
Le nombre de modes G(˜ε) d’´energie inf´erieure `a ˜ε est donn´e par,
G(˜ε) = Card{(n1, n2, n3)∈ (R+)3; ε(n1, n2, n3)≤ ˜ε}.
Ce cardinal peut ˆetre approch´e, dans la limite thermodynamique, par le volume d’un octant d’une boule de rayon R = (2mLπ2 2ε
~2 ) 1/2, G(ε) = 1 8 · 4 3πR 3 = L3 √ 2(mε)3/2 3π2~2 .
La densit´e d’´energie g(ε) est alors donn´ee par,
g(ε) = dG(ε) dε = L3m3/2 √ 2π2~3ε 1/2. (2.6)
Ainsi, en reprenant la notation donn´ee par l’´equation (2.4), on obtient,
α = 3 2, C3/2= L3m3/2 √ 2π2 ~3 . (2.7)
On peut aussi v´erifier que C3/2 est bien proportionnel au volume L3 du syst`eme, ce qui justifie que la limite thermodynamique doit ˆetre prise quand le nombre de particule tend vers l’infini, mais que C3/2−1N converge vers une limite finie. Ce calcul peut ˆetre g´en´eralis´e pour une dimension d quelconque, et on peut alors d´emontrer que α = d2, et que la constante Cαest `a nouveau proportionnelle au volume du syst`eme. On peut donc conclure
que le ph´enom`ene de condensation de Bose-Einstein ne survit `a la limite thermodynamique, dans le cas d’une particule libre, que lorsque la dimension est plus grande ou ´egale `a trois.
Calcul de la densit´e d’´energie pour une particule dans un pi`ege harmonique
Par souci de simplification, on suppose que le potentiel quadratique (3D) est harmo- nique et donn´e par,
V (r) = 1 2mω(x
2+ y2+ z2).
Dans ce cas, les niveaux d’´energie ε(n1, n2, n3) sont donn´es par,
ε(n1, n2, n3) = n1+ n2+ n3+ 3 2 ~ω.