3.4 Caractérisation locale d’exaltation de champ
4.1.1 Le diapason
Un diapason est un objet composé de deux " bras " en quartz, un matériau pié- zoélectrique. Sur ces bras, sont déposées des électrodes et chaque bras est connecté à une des broches (contact électrique) du composant. Une représentation simplifiée d’un diapason est représentée en figure 4.1.
Figure 4.1: Représentation schématique (volontairement simplifiée) d’un diapason. Une fois excités par voie électrique, les deux bras oscillent à résonance et en oppo- sition de phase à une fréquence bien précise appelée fréquence de résonance. Cette fré- quence est donnée par la géométrie du diapason comme le montre l’équation (4.1) [164]. Cette équation présente une solution approximée pour la fréquence de résonance du pre- mier mode d’oscillation du diapason (nous n’utiliserons que celui-ci dans le reste de ce manuscrit bien qu’il en existe d’autres pour d’autres modes d’oscillation à des fréquences supérieures). ω0 ≈ 1, 76 a l2 s EY ρ (4.1)
avec a la largeur d’un bras, l la longueur d’un bras, EY le module d’Young du quartz
Selon la géométrie du diapason, sa fréquence de résonance ne sera donc pas la même. Ainsi, pour des diapasons avec des bras plus longs, la fréquence de résonance diminue pour atteindre la gamme des fréquences audibles : ce type de diapason est utilisé pour le son qu’il émet quand on tape un des bras afin d’accorder des instruments de musique. Nos diapasons sont de dimension beaucoup plus réduite et vibrent donc à des fréquences bien plus élevées.
Comparés aux cantilevers, les diapasons ont la particularité d’avoir une rigidité forte qui leur permet d’osciller à des amplitudes très faibles, ce qui a tendance à diminuer leur sensibilité à la détection de forces. Toutefois, les diapasons restent très sensibles aux interactions puisqu’ils sont connus pour leur grand facteur de qualité (noté Q par la suite) associé à cette oscillation. Ce facteur de qualité peut avoir plusieurs définitions selon le contexte de l’étude [164] :
– (1) Q est défini comme le rapport entre l’énergie emmagasinée dans le résonateur et l’énergie dissipée par ce même résonateur pour chaque période d’oscillation, – (2) Q peut être défini de façon équivalente comme le rapport entre la fréquence
de résonance et la largeur de fréquence pour laquelle le gain maximal est divisé par un facteur √2. Il s’agit de la définition " scolaire " du facteur de qualité Q, – (3) Q peut être défini toujours de façon équivalente comme étant le paramètre tel
que l’amplitude atteint 1/e de son amplitude maximale au bout de Q/π périodes dès que l’oscillation est arrêtée,
– (4) Q est proportionnel à la pente de la tangente de la courbe de l’évolution de la phase en fonction de la fréquence dϕdf à la fréquence de résonance f0: dϕdf(f0) = −2Qf0.
Dans la suite de ce manuscrit, nous nous servirons des définitions (2) et (4).
Les diapasons utilisés sont disponibles commercialement à un prix dérisoire. En effet, le diapason est un composant devenu commun et est utilisé notamment dans les montres et en électronique pour obtenir des signaux d’horloge bien précis. Ils sont livrés encapsulés sous vide afin de les protéger des influences extérieures. Deux types de diapasons ont été utilisés : des diapasons ayant une fréquence de résonance de 32,768 kHz (215kHz) et d’autres à 100 kHz. C’est avec les diapasons à 32,768 kHz que sont faits,
par divisions successives de fréquence, les signaux d’horloge à 1 Hz pour les montres. Leur production est d’ailleurs beaucoup plus contrôlée que celle des diapasons à 100 kHz. La figure 4.2 présente une image vue sous binoculaire d’un diapason de 100 kHz encapsulé 4.2a et décapsulé 4.2b.
Le diapason tire son grand facteur Q de la symétrie du mouvement de ses bras. Le centre de gravité de l’ensemble reste le même tout le long du cycle d’oscillation, ce qui supprime les pertes d’énergie au niveau du support. Encapsulé sous vide, le diapason oscille avec un facteur Q de l’ordre de 105. En retirant sa capsule, les bras du diapason
sont exposés à l’humidité, à la poussière (une différence de masse entre les deux bras de quelques µg suffit à faire chuter de façon drastique le facteur Q [165]) et surtout aux pertes dues aux frottements de l’air qui s’opposent à l’oscillation des bras. Un diapason
(a) Diapason encapsulé. Les pointillés blancs indiquent la zone observée en fi- gure 4.2b
(b) Diapason décapsulé révélant sa struc- ture. Les électrodes sont en noir et les bras sont translucides.
Figure 4.2: Images d’un diapason de 100 kHz observé à l’aide d’une loupe binoculaire sur laquelle nous avons installé une caméra CCD. Les légendes de la figure 4.1 sont reprises. Le cylindre protecteur a un diamètre de 2 mm et une longueur de 6 mm (caractéristiques techniques Farnell).
décapsulé voit ainsi son facteur de qualité divisé par 10 soit Q = 104 en moyenne. Modèle mécanique du diapason
Le diapason est assimilable à un oscillateur mécanique de fréquence de résonance
ω0 bien définie excité par une fréquence d’entraînement ωdavec un facteur de qualité Q
associé à cette résonance [166] [90]. De la même façon, un cantilever peut être considéré comme un oscillateur harmonique entretenu oscillant à une fréquence bien précise mais avec un facteur de qualité plus petit. Pour plus de simplicité, nous utiliserons le modèle du cantilever pour n’avoir qu’un seul élément à prendre en considération. Les résultats sont directement transposables au diapason. Les références [167] et [168] considèrent le diapason comme un système de deux oscillateurs couplés : chaque bras est représenté par un oscillateur, ce qui permet de traiter les cas d’une dissymétrie entre les deux bras, notamment après avoir collé une pointe sur l’un des bras du diapason.
La fréquence propre d’oscillation du cantilever ω0 est donnée par l’équation (4.2). ω02 = kef f
m avec kef f = k0+ ∂F
∂z (4.2)
avec m, la masse effective du cantilever, kef f sa raideur effective. Le terme kef f peut
être décomposé en deux termes : – k0 la raideur du cantilever,
– ∂F∂z le gradient de force jouant sur le cantilever quand une interaction pointe- échantillon est détectée.
Ainsi, la présence d’une interaction change le terme ∂F
∂z ce qui a pour conséquence
de décaler la fréquence de résonance du cantilever de sa fréquence propre ω0 à une fré-
L’équation du mouvement pour le cantilever est développée en équation (4.3).
m¨x + mω0
Q ˙x + mω
2
0z = F0cos(ωdt) (4.3)
Dans notre cas, l’excitation est délivrée électriquement par l’envoi d’une sinusoïde d’amplitude F0 et de fréquence ωd(elle peut aussi faire suite à une excitation mécanique
comme le quartz est un matériau piézoélectrique). On peut considérer le cas où il n’y a pas d’interaction entre la pointe et la surface (cas 1) et le cas où il y a une interaction entre la pointe et la surface (cas 2).
Cas 1 :
Le cantilever est directement oscillant à la fréquence d’entrainement de l’excitation (equation(4.4)). zcas1(t) = A0cos(ωdt + ϕ0) (4.4) avec A0 = F0 m q (ω2 0 − ω2d)2+ ( ω0ωd Q )2 (4.5) et ϕ0 = arctan ω0ωd Q(ω2 0 − ωd2) ! (4.6) Il est supposé que l’excitation est constante et que le cantilever oscille en régime permanent.
Cas 2 :
Dès qu’une interaction est détectée, la fréquence de résonance se décale : une nouvelle solution de l’équation (4.3) différente du cas 1 est obtenue. Cette solution peut être décomposée en deux termes : un terme correspondant à un régime permanent (terme de gauche de l’équation (4.7)) et un terme correspondant à un régime transitoire (terme de droite de l’équation (4.7)).
zcas2(t) = A00cos(ωdt + ϕ00) + Atexp −
ω00t
2Q
!
cos(ωtt + ϕ1) (4.7)
La partie transitoire de l’équation (4.7) permet de définir un temps de réponse du système τ (équation (4.8)). τ = 2Q ω00 ≈ 2Q ω0 (4.8)
Ainsi, plus le facteur de qualité est élevé, plus le temps de réponse est grand. Il y a donc un compromis à trouver entre sélectivité en fréquence (et du coup bande-passante) du résonateur et son temps de réponse. Ce sera un paramètre à prendre en compte pour définir les conditions expérimentales à utiliser pour la construction d’images en topo- graphie avec le diapason.
L’évolution de l’amplitude et de la phase (déphasage entre le signal d’excitation et celui lié à la réponse du diapason) en fonction de la fréquence est représentée en figure 4.3. Ces deux courbes seront par la suite appelées " courbes de résonance ". La résonance est obtenue pour une phase de π/2.
Figure 4.3: Mesure expérimentale des courbes de résonance du diapason. L’amplitude d’oscillation et la phase sont tracées en fonction de la fréquence d’excitation. L’ampli- tude est maximale à la fréquence de résonance Fr.
Modèle électrique du diapason
Le schéma équivalent électrique du diapason est présenté en figure 4.4 (modèle de Butterworth - Van Dyke).
Le modèle électrique du diapason (figure 4.4) présente deux parties :
– la première branche correspond à l’élément fonctionnel du diapason : un circuit RLC composé d’une résistance R1, d’une inductance L1 et d’une capacité C1 en
série
– la deuxième branche permet de modéliser la capacité C0 qui s’établit entre les
électrodes des deux bras. Cette capacité traduit le couplage entre les deux bras et sera par la suite qualifiée de capacité parasite.
Figure 4.4: Équivalence des modèles mécanique et électrique du diapason [164]. Les grandeurs typiques obtenues pour ces grandeurs électriques ont été mesurées par Rychen et al. [169] sous vide. Pour un diapason à 32,768 kHz décapsulé, on a
R1 = 27, 1 kΩ, L1 = 8, 1 kH, C1 = 2, 9 f F et C0 = 1, 2 pF pour une fréquence de
résonance mesurée de f0 = 32, 765 kHz et un Q = 61730. Les valeurs de C0 données
par le fournisseur pour nos diapasons sont davantage de l’ordre de 12,5 pF, résultat d’un couplage entre les deux bras plus fort pour nos diapasons.
Au niveau des contacts électriques sur un diapason, les contacts 1 et 2 permettent d’appliquer un potentiel aux électrodes. Les électrodes sont placées de telle sorte que les faces adjacentes d’un même bras dépendent d’un potentiel différent. L’autre bras porte des électrodes branchées en miroir par rapport à celles du premier bras (voir figure 4.5).
Figure 4.5: Représentation schématique des contacts électriques sur les bras d’un dia- pason (les faces avec des couleurs identiques sont au même potentiel). Vue représentant les extrémités des bras [165].