Le cas des courbes hyperelliptiques de genre 2

Cette partie est reprise de [CF96]. Nous ne donnons que les ´enonc´es qui nous seront utiles par la suite. Pour les preuves et les notions concernant les isog´enies de Richelot, le lecteur peut consulter [CF96] ou [BM88].

Notations 3.5.3.1 Soit K un corps de caract´eristique 0. Soit

G_i(y) = g_i,2y² +g_i,1(y) + g_i,0 ∈ K[y] un polynˆome de degr´e au plus 2.

SoitC la courbe hyperelliptique sur K d’´equation affine

C:z²=G₁(y)G₂(y)G₃(y). Nous posons : * ∆ := det(g_i,j), * L₁(y) :=G′ 2(y)G₃(y)−G₂(y)G′ 3(y), * L2(y) =G^′₃(y)G1(y)−G3(y)G^′₁(y) et * L₃(y) =G^′₁(y)G₂(y)−G₁(y)G^′₂(y).

Soit_Cb_{la courbe hyperelliptique sur K d’´equation affine} b

C: ∆bz² =L₁(by)L₂(yb)L₃(yb).

Notations 3.5.3.2 La correspondance (2,2) entre les courbes hyperellip-tiques C et _Cbd´efinie par la sous-courbe Z ⊂ C ×C^bd’´equations

G1(y)L1(yb) +G2(y)L2(yb) = 0

zzb= (y−by)G₁(y)L₁(yb)

induit une isog´enieϕ:Jac(C)−→Jac(_Cb).Cette isog´enie est appel´ee isog´enie de Richelot. En intervertissant C et _Cb_{, nous d´efinissons une isog´enie de}

Richelot ϕb:Jac(_Cb)−→Jac(C).

Remarque :

Les compos´ees ϕb◦ϕ et ϕ◦ϕb sont les multiplications par 2 de Jac(C) et Jac(_Cb) respectivement. Nous allons appliquer la proposition 3.5.1.1 aux isog´eniesϕetϕb.

D´efinition 3.5.3.3 Nous conservons les notations 3.5.3.1. Soit

Ki,C :=K[T]/(Gi(T))(l’anneauKi,C est soit un corps soit le produitK×K). Nous d´efinissons un morphisme Π_C :Jac(C)(K) −→ (K^×/K^×2)³ de la fa¸con suivante : si div(u, v) ∈ Div⁰(K(C)) est un diviseur semi-r´eduit tel que u soit premier `a Gi, et si α d´esigne la classe d’´equivalence lin´eaire de div(u, v), alors la i-`eme coordonn´ee de Π_C(α) est la classe de N_Ki,C/K((−1)deg(u)u(T))dans K×/K×2 (aveci= 1,2 ou 3).

Proposition 3.5.3.4 Nous conservons les notations 3.5.3.1 et 3.5.3.2. Alors le noyau de Π_C est l’imageϕb(Jac(_Cb)(K)).

D´emonstration.

Le lecteur se reportera `a [CF96], ´equation 10.2.13.

Remarque :

Les courbes C et _Cbont un rˆole sym´etrique. En intervertissant ces deux courbes, nous d´efinssons un morphisme Π_Cbde noyau ´egal `a l’imageϕ(Jac(C)(K)).

Corollaire 3.5.3.5 Nous conservons les notations 3.5.3.1. SiGest un groupe ab´elien, nous notons Gtors le sous-groupe des ´el´ements de torsion de G.

Alors le rang de Mordell-Weil de Jac(C)(K) est nul si et seulement si

Π_C(Jac(C)(K)) = Π_C(Jac(C)(K)_tors)etΠ_b

C(Jac(_Cb)(K)) = Π_C(Jac(_Cb)(K)_tors).

D´emonstration.

D’apr`es la proposition 3.5.3.4, les morphismes Π_C et Π_Cbd´efinissent deux isomorphismes : entre Jac(C)(K)/ϕb(Jac(_Cb)(K)) et l’image de Π_C d’une part, et entre Jac(_Cb_{)(K)/ϕ(Jac(C)) et l’image de Πb}

C d’autre part. Pour conclure, nous appliquons la proposition 3.5.1.1.

Th´eor`eme 3.5.3.6 Soientη, ω, ρ∈Rdes r´eels. Soitk:=Q(η, ω, ρ). Nous posons : b₁ = ^ρ 2−η² ω2−η2 +^η 2−ω² 4 ^. Soient B(x) := (x+b₁)²−η² et C(x) := 2(x+b₁) +ω² −η²−1. Nous supposons que les ´el´ements

* η, ω, ρ etω²−η², * 2b₁−2 +ω²−η², * η2−ω2+ 2 + 2η et η2−ω2+ 2−2η, * η²−ω²+ 2ω et η²−ω²−2ω, * ω²−η²−1 + 2η et ω²−η²−1−2η, * 2b₁+ω2−η2−1, b₁+η, b₁−η, b₁−1 +ω et b₁−1−ω sont non nuls.

Soit C la courbe hyperelliptique d’´equation affine

C:z²+ (y²+ 1)(y²+C(x²))(y⁴+ (1 +C(x²))y²+B(x²)) = 0. `

A tout δ ∈ k(x)^× nous associons les k(x)-courbes hyperelliptiques C_δ⁺,

b

C_δ⁺,C_δ⁻,_Cb−

δ d’´equations affines respectives :

C_δ⁺:z2 = y+^δ(1+C(x))₂ y2−^δ(1−₂^C(x))2 y2−^δ2[(1+C(x))₄^2−4B(x)] b C_δ⁺:z² = (y+δ(1 +C(x)))(y²−4δ²B(x))(y²−4δ²C(x)) C_δ⁻:z² =y(y²−δ[(1−C(x))²−2(B(x)−C(x))]y+δ²(B(x)−C(x))²) b C_δ⁻:t²=y(y+δ(1−C(x))²)(y+δ((1−C(x))²−4(B(x)−C(x)))).

Alors le R(x)-rang de Mordell-Weil de la jacobienne de la courbe C est nul si et seulement si, pour tout ζ ∈ k strictement positif, les images des homomorphismes γ_C− ζ, γ_C− ζx, γ_Cb− ζ, γ_Cb− ζx, Π_C+ ζ , Π_C+ ζx, Π_Cb+ ζ et Π_Cb+ ζx

sont respectivement les images des points de torsion k(x)-rationnels de

C_ζ⁻, C_ζx⁻, _Cb− ζ , _Cb−

ζx, Jac(C_ζ⁺), Jac(C_ζx⁺), Jac(_Cb+

ζ ) et Jac(_Cb+ ζx).

D´emonstration.

SiGest un groupe ab´elien, nous notonsG_torsle sous-groupe des ´el´ements de torsion deG.

Nous nous donnons un polynˆome δ∈k[x] et nous Posons

G₁(s) :=s, G₂(s) := (s−δ)(s−δC(x)) etG₃(s) :=s²−δ(1+C(x))s+δ²B(x).

SoitH⁺_δ la courbe hyperelliptique sur k(x) d’´equation affine

H⁺_δ :t²=G₁(s)G₂(s)G₃(s).

Suivant les notations 3.5.3.1, nous posons : * ∆ = det   0 1 0 δ²C −δ(1 +C) 1 δ²B −δ(1 +C) 1  =δ²(B−C), * L1(yb) := G^′₂G3−G2G^′₃ = 2δ²(B−c)yb+δ³((1 +C)C−(1 +C)B) = δ2(B−C)(2by−δ(1 +C)), * L2(by) :=G^′₃G1−G3G^′₁=by²−δ²B, et * L₃(by) :=G^′₁G₂−G₁G^′₂=δ²C−yb².

La courbe hyperelliptique surk(x) d’´equation affine ∆bz² =L1(yb)L2(yb)L3(by) est isomorphe `a la courbe _Cb+

δ (via le changement de variable z := 4zb et

y:=−2yb). Ainsi, d’apr`es la proposition 3.5.3.5, le rang de Mordell-Weil de Jac(H⁺_δ)(k(x)) est nul si et seulement si

* Π_H+ δ(Jac(H_δ⁺)(k(x))) = Π_H+ δ(Jac(H⁺_δ)(k(x))tors),et * Π_Cb+ δ(Jac(_Cb+ δ)(k(x))) = Π_Cb+ δ(Jac(_Cb+ δ )(k(x))tors).

Dans le crit`ere ci-dessus nous souhaitons maintenant remplacer la courbeH⁺_δ

par la courbe C_δ⁺. La courbeH⁺_δ est isomorphe sur k(x) `a la courbe hyper-elliptiqueC_δ⁺ via le changement de variabley:=s−^δ(1+C)₂ . Ce changement de variables induit un isomorphisme de groupe Ψ : Jac(C_δ⁺) −→ Jac(H⁺_δ).

De plus, l’image de Π_C+

δ est engendr´ee par l’image des point de torsion de Jac(C_δ⁺) si et seulement si l’image de Π_H+

δ = Π_C+

δ ◦Ψ⁻¹ est engendr´ee par l’image des points de torsion de Jac(H⁺_δ).Par suite, le rang de Mordell-Weil de Jac(C_δ⁺)(k(x)) est nul si et seulement si

* Π_C+ δ(Jac(C_δ⁺)((k(x)))) = Π_C+ δ (Jac(C_δ⁺)((k(x)))tors),et * Π_Cb+ δ(Jac(_Cb+ δ)((k(x)))) = Π_Cb+ δ (Jac(_Cb+ δ )((k(x)))_tors).

Chapitre 4

Une famille de polynˆomes

positifs ou nuls sur R

²

qui ne

sont pas somme de trois

carr´es dans R(x, y).

Nous rappelons tout d’abord la forme g´en´erale des polynˆomes ´etudi´es dans ce chapitre. Soient η, ω, ρ ∈ R des r´eels. Soit k := Q(η, ω, ρ). Nous posons : b1 = ^ρ 2−η² ω2−η2 +^η 2−ω² 4 ^. SoientB(x) := (x+b₁)²−η² etC(x) := 2(x+b₁) +ω²−η²−1.

Le but de ce chapitre est de trouver des conditions sous lesquelles le polynˆome

P(x, y) = y²+ 1

y²+C x²

y⁴+ 1 +C x²

y²+B x²

est positif ou nul surR² mais n’est pas une somme de trois carr´es. SoitC la courbe hyperelliptique sur k(x) d’´equation affine

C:z²+P(x, y) = 0.

Nous supposons que les ´el´ements * η,ω, ρetω2−η2, * 2b1−2 +ω²−η², * η²−ω²+ 22 −4η²= η²−ω²+ 2 + 2η η²−ω²+ 2−2η , * η²−ω²2 −4ω²= η²−ω²+ 2ω η²−ω²−2ω , * ω2−η2−1 + 2η etω2−η2−1−2η, * 2b1+ω²−η²−1, b1+η,b1−η,b1−1 +ω etb1−1−ω

sont non nuls. Alors, d’apr`es le corollaire 2.4.9, la jacobienne Jac(C) n’a aucunR(x)-point de torsion antineutre. L’objet de ce chapitre est de montrer que Jac(C)(R(x)) est de rang de Mordell-Weil nul : dans ce cas, Jac(C) n’a aucunR(x)-point antineutre, et doncP n’est pas une somme de trois carr´es dansR(x, y). Pour cela nous utilisons le th´eor`eme 3.5.3.6.

`

A tout δ ∈ k(x)^× nous associons les k(x)-courbes hyperelliptiques C_δ⁺,

b

C_δ⁺,C_δ⁻,_Cb−

δ d’´equations affines respectives :

C_δ⁺:z2 = y+^δ(1+C(x))₂ y2−^δ(1−C(x))₂ ² y2−^δ2[(1+C(x))₄^2−4B(x)] b C_δ⁺:z² = (y+δ(1 +C(x))) y²−4δ²B(x) y²−4δ²C(x) C_δ⁻:z2 =y y2−δh (1−C(x))²−2 (B(x)−C(x))i y+δ2(B(x)−C(x))² b C_δ⁻:t² =y y+δ(1−C(x))² y+δh (1−C(x))²−4 (B(x)−C(x))i .

Notations 4.1 Siα, β ∈k(x)^×sont deux fractions rationnelles non nulles, nous disons que α et β sont ´equivalentes modulo les carr´es et nous notons

α ∼ β s’il existe γ ∈ k(x)× telle que α = γ2β. Nous notons [a] la classe d’´equivalence d’un ´el´ementa dek(x)^× pour la relation∼.

Soit P ∈ k[x] un polynˆome irr´eductible. Si α, β ∈ k[x] sont deux po-lynˆomes non divisibles par P, nous disons que α et β sont ´equivalents modulo les carr´es et modulo P, et nous notons α ∼ β modP, s’il existe

γ₁, γ₂∈k[x] non divisibles parP tels queγ₁²α≡γ₂²β modP.

Nous reprenons les d´efinitions introduites dans la section 3.5.

Notations 4.2 Soit k un corps de caract´eristique 0. Soient α ∈ k[x] et

β∈k[x] deux polynˆomes tels queβ(α²−4β)6= 0. SoitE la courbe elliptique surk(x) d’´equation affine

E :t² =s(s²+αs+β).

SoitO l’´el´ement neutre de E(k(x)).Nous d´efinissons un morphisme

γ_E :E(k(x))−→k(x)^×/k(x)^×2

en posantγ_E(s, t) := [s] sis6= 0, γ_E(0,0) := [β] etγ_E(O) := [1].Nous notons aussi γ_E,k(x) le morphisme γ_E lorsque nous souhaitons pr´eciser le corps de base.

Notations 4.3 Soitkun corps de caract´eristique 0.SoientG1(y)∈k(x)[y] un polynˆome de degr´e 1 en y, et G₂(y),G₃(y)∈k(x)[y] deux polynˆomes de degr´es 2 eny (pas n´ecessairement irr´eductibles).

Soit Hla courbe hyperelliptique sur k(x) d’´equation affine

H:z² =G₁(y)G₂(y)G₃(y).

SoientA_i:=k(x)[y]/(G_i(y)) et y_i la classe de y dansA_i. Nous notons Π_H : Jac(H)(k(x))−→(k(x)^×/k(x)^×2)³

l’unique morphisme dont la i-`eme coordonn´ee envoie la classe d’´equivalence lin´eaire d’un diviseur semi-r´eduit div(u, v) sur H tel que u soit premier `a

Gi(y) sur la classe dansk(x)^×/k(x)^×2 de N_Ai,H/k(x)

(−1)^deg(u)u(yi)

.

Notations 4.4 Soit k un corps de caract´eristique 0.Soit δ ∈ k(x)^×. Nous pr´ecisons l’utilisation des notations 4.3 dans deux cas particuliers.

Lorsque H=C_δ⁺ est la courbe hyperelliptique surk(x) d’´equation affine

C_δ⁺:z² =

y+^δ(1+C(x))₂ y²−^δ(1−C(x))₂ ² y²−^δ2[(1+C(x))₄^2−4B(x)],

nous utilisons les notations 4.3 en posant

G₁(y) :=y+^δ(1+C(x))₂

G₂(y) :=y2−^δ(1−₂^C(x))2 et

G₃(y) :=y2−^δ2[(1+C(x))₄^2−4B(x)].

Lorsque H=_Cb+

δ est la courbe hyperelliptique surk(x) d’´equation affine

b

C_δ⁺ :z² = (y−δ(1 +C(x))) y²−4δ²B(x)

y²−4δ²C(x)

,

nous utilisons les mˆeme notations 4.3 en posant

G₁(y) :=y−δ(1 +C(x))

G₂(y) :=y²−4δ²B(x) et

G₃(y) :=y2−4δ2C(x).

Les notations 4.2, 4.3 et 4.4, nous permettent d’´enoncer la conclusion du th´eor`eme 3.5.3.6 : leR(x)-rang de Mordell-Weil de Jac(C) est nul si et seulement si, pour toutζ ∈k strictement positif, les images des homomor-phismes γ_C− ζ , γ_C− ζx, γ_b Cζ⁻, γ_b C⁻ζx, Π_C+ ζ, Π_C+ ζx, Π_b Cζ⁺ et Π_b Cζx⁺

sont respectivement les images des points de torsionk(x)-rationnels de

C_ζ⁻, C_ζx⁻, _Cb− ζ, _Cb−

ζx, Jac(C_ζ⁺), Jac(C_ζx⁺), Jac(_Cb+

ζ ) et Jac(_Cb+ ζx).

Au cours de ce chapitre, nous ´etudions, dans quatre section distinctes, l’image des quatre morphismes γ_C−

δ , γ_Cb−

δ ,Π_C+

δ et Π_Cb+

δ . De ces ´etudes, nous d´eduisons des conditions surη,ωetρsous lesquelles leR(x)-rang de Mordell-Weil de Jac(C) est nul.

4.1 La m´ethode g´en´erale de l’´etude.

Notations 4.1.1 Soit k un corps de caract´eristique 0. Soit f(y)∈ k(x)[y] un polynˆome unitaire sans facteur carr´e de degr´e impair. Nous consid´erons la courbe hyperelliptiqueHsur k(x) d’´equation affine

H:z² =f(y).

Soit f =

r

Y

i=1

P_i(y) la d´ecomposition de f en facteurs premiers dans

k(x)[y].SoitM :=k(x)[t]/f(t). SoientK_i :=k(x)[y]/P_i(y) ety_i la classe de

y dansK_i.

Nous notons J_H := Jac(H). Soit π_H : J_H(k(x)) −→ M×/M×2 le mor-phisme de Cassels-Schaefer associ´e `a la courbe H et au corps k(x). Grˆace au lemme chinois, le morphisme π_H peut ˆetre vu comme un morphisme

π_H:J_H(k(x))−→

r

Y

i=1

K_i^×/K_i^×2.

Notations 4.1.2 Dans ce qui suit nous notonsπ_H,i:J_H(k(x))−→K_i^×/K_i^×2

la i-`eme coordonn´ee deπ_H.

La norme N_Ki/k(x) de l’extension Ki/k(x) induit un homomorphisme

N_Ki/k(x):K_i^×/K_i^×2 −→k(x)^×/k(x)^×2.Nous posons Ξ_H,i:=N_Ki/k(x)◦π_H,i. Nous notons Ξ_H :J_H(k(x))−→ r Y i=1 k(x)^×/k(x)^×2 l’homomorphisme de i-`eme coordonn´ee Ξ_H,i.

Soientζ ∈k×strictement positif. Nous supposonsH ∈ {C_ζ⁺,C_ζx⁺,_Cb+ ζ ,_Cb+

δ }. Nous souhaitons montrer que Im(Π_H) est ´egale `a l’image du sous-groupe de torsion de Jac(H)(k(x)) par Π<sub>H</sub>. Pour cela, nous ´etudions l’image de Ξ<sub>H</sub>. Nous en d´eduisons ensuite des renseignements sur l’image de Π<sub>H</sub>. ´Etudier d’abord le morphisme Ξ<sub>H</sub> permet une ´etude plus pr´ecise de l’image de Π<sub>H</sub>. En effet les composantes de Π<sub>H</sub>s’obtiennent `a partir des composantes de Ξ_H.

Par ailleurs, si f(y) est de la forme f(y) = y(y2 +αy+β) (avec α,

β ∈ k(x) tels que β α²−4β

6

= 0), alors γ_H est la coordonn´ee de Ξ_H as-soci´ee au facteur premier y du polynˆomey(y²+αy+β).

La premi`ere ´etape de notre ´etude consiste `a utiliser les ´equations de Jac(H) obtenues grˆace `a la repr´esentation de Mumford (c.f. [Mum84]). Plus pr´ecis´ement nous utilisons l’assertion suivante : si div(u, v)∈Div⁰(k(x)(H)) est un diviseur semi-r´eduit, alors

f ≡v² modu.

Cette congruence, nous a pr´ec´edemment permis de montrer les propositions 1.5.9 et 3.3.1.3. En associant ces deux propositions, nous obtenons la pro-position :

Proposition 4.1.3 Nous conservons les notations 4.1.1 et 4.1.2. Soit

i∈ {1,· · · , r}. Pour tout j6=i, nous posons d_i,j :=pgcd  N_Ki/k(x)  P_i^′(y_i)Y k6=i P_k(y_i)  , N_Kj/k(x)  P_j^′(y_j)Y k6=j P_k(y_j)    . Soit div(u, v) un diviseur semi-r´eduit de k(x)(H). Nous notons Cl(div(u, v))∈Jac(H)(k(x)) sa classe d’´equivalence lin´eaire.

Il existe alors une famille (µi,j) ₁

≤i≤r, j6=i

d’´el´ements de k[x]sans fac-teur carr´e telle que

* les facteurs premiers de µ_i,j soient des facteurs premiers de d_i,j, * µ_i,j =µ_j,i, et

* Ξ_H,i(Cl(div(u, v))) soit la classe de Y

j6=i

µi,j.

D´emonstration.

Nous pouvons sans perte de g´en´eralit´e supposer que u est premier `af : tout diviseur sur H est lin´eairement ´equivalent `a un diviseur semi-r´eduit div(u, v) avecu premier `a f.

Le corps K_i est un corps de fonction sur k. Le corps K_i est donc le corps des fractions d’un anneau de Dedekind Oi. Nous notons (Pi,l)_l∈I la famille des id´eaux premiers deOien lesquels (−1)^deg(u)u(y_i) a une valuation impaire et (Qi,l)_l

∈I^e la famille des id´eaux en lesquels (−1)deg(u)u(y_i) a une valuation paire. Pour tout indicel∈I nous notonsn_l∈Zl’unique entier tel quev_Pi,l(u) = 2n_l+ 1. De mˆeme pour tout indicel∈I^enous notonsm_l∈Z

l’unique entier tel quev_Qi,l(u) = 2m_l. La d´ecomposition en id´eaux premiers de l’id´eal associ´e `a (−1)deg(u)u(y_i) est

(−1)^deg(u)u(yi) =Y l∈I P²ⁿl+1 i,l ×^Y l∈I^e Q^2ml i,l

En appliquant N_Ki/k(x), nous obtenons N_Ki/k(x)((−1)deg(u)u(y_i)) = β_iθ2 i avec : * β_i ∈k[x] un repr´esentant de l’id´eal Y l∈I N_Ki/k(x)(Pi,l), et * θ_i∈k(x) un repr´esentant deY l∈I N_Ki/k(x)(Pi,l)ⁿl×^Y l∈I^e N_Ki/k(x)(Qi,l)^ml. Soient αi ∈ k[x] un polynˆome sans facteur carr´e et γi ∈ k(x) tels que

β_i =α_iγ_i². Nous rappelons queπ_H,i(Cl(div(u, v)) est la classe de (−1)^deg(u)u(y_i) dans K_i^×/K_i^×2. L’image Ξ_H,i(Cl(div(u, v)) = N_Ki/k(x)(π_H,i(Cl(div(u, v)))) est donc ´egale `a la classe de αi dansk(x)^×/k(x)^×2.

Soitǫ_i le coefficient dominant deα_i. Nous d´efinissonsµ_i,j comme un plus grand commun diviseur deαi etαj avec le choix de coefficient dominantǫi,j

(deµ_i,j) suivant :

* sij /∈ {i−1, i, i+ 1}, nous choisissonsµ_i,j unitaire ; * nous prenonsǫ1,2 etǫ2,1 ´egaux `a ǫ1;

* par r´ecurrence sur i, nous posons ǫ_i,i+1:= ^ǫi

ǫi−1,i puisǫ_i+1,i :=ǫ_i,i+1. Par construction, nous avonsǫ_i,i−1ǫ_i,i+1 := ^ǫi,i−1ǫi

ǫi−1,i =ǫ_i. Ainsi les polynˆomes

α_i et Y

j6=i

µ_i,j ont mˆeme coefficient dominant (et ce coefficient dominant est

ǫ_i).

Il existe un polynˆome sans facteur carr´e Λ_i ∈k[x] et un polynˆome uni-taire Γ_i ∈ k[x] tels que Y

j6=i

µ_i,j = Λ_iΓ²_i. Le coefficient dominant de Λ_i est

ǫi.

L’image de π_H est contenue dans le noyau de l’application

M×/M×2 −→ k(x)×/k(x)×2 induite par la normeN_M/k(x) :=

3

Y

i=1

N_Ki/k(x). Par cons´equent le polynˆome

r

Y

i=1

α_i est un carr´e dansk(x).

Soient i ∈ {1,· · · , r} fix´e et p un facteur premier de α_i. Puisque

r

Y

i=1

α_i

est un carr´e dans k(x), sa valuation en p est paire. Or les α_j sont sans facteur carr´e, donc p doit diviser un nombre pair de α_j. De plus, p divise

α_i donc p divise un nombre impair d’´el´ements de {α_j |j 6=i}, ou de fa¸con ´equivalente p divise un nombre impair de µ_i,j = pgcd(α_i, α_j) (avec j 6=i). Le polynˆomeµ_i,j est sans facteur carr´e, donc de valuation 0 ou 1 en p. Par suite, Λ_i = Γ⁻_i ²Y

j6=i

µ_i,j est de valuation impaire en p. Ainsi, tout facteur premier de α_i divise Λ_i. Or α_i est sans facteur carr´e, donc α_i divise Λ_i.

R´eciproquement, nous montrons que Λ_i diviseα_i. Soitpun facteur pre-mier de Λi. Alors p divise µi,j = pgcd(αi, αj) pour un certain j 6= i. En

particulierpest un diviseur de α_i. Ceci permet de conclure : puisque Λ_i est sans facteur carr´e, le polynˆome Λi diviseαi.

Ainsi les polynˆomesα_i et Λ_i sont ´egaux `a multiplication par un ´el´ement de k× pr`es. Par ailleurs, les polynˆomes Λ_i etα_i ont mˆeme coefficient domi-nant. Les deux polynˆomesαi et Λi sont donc ´egaux, et par suite les classes de αi etY

j6=i

µi,j dansk(x)^×/k(x)^×2 sont ´egales.

D’apr`es la proposition 3.3.1.3, les id´eaux premiers de Oi en lesquels

π_H,i(Cl(div(u, v)) a une valuation impaire sont des id´eaux apparaissant dans la d´ecomposition en id´eaux premiers de la classe def^′(y_i) dansK_i. Ainsi, les facteurs premiers deα_i∈k[x] sont des facteurs premiers deN_Ki/k(x)(f′(y_i)), c’est-`a-dire des facteurs premiers de N_Ki/k(x)(P′

i(y_i)Y j6=i P_j(y_i)) puisque f^′(T)≡P_i^′(T)Y j6=i P_j(T) modP_i(T).

Les facteurs premiers deµi,j = pgcd(αi, αj) sont donc des facteurs premiers ded_i,j = pgcd(N_Ki/k(x)(P_i^′(y_i)Y

k6=i

P_k(y_i)), N_Kj/k(x)(P_j^′(y_j)Y

k6=j

P_k(y_j))).

Dans le cas particulier des courbes elliptiques, la proposition 4.1.3 est une cons´equence de la proposition suivante (dont la d´emonstration est reprise de [CEP71]).

Proposition 4.1.4 Soient k un corps de caract´eristique0 et K une exten-sion de k. Soient S, T ∈ k[x] tels que T(S²−4T) 6= 0. Nous notons D la courbe elliptique d’´equation de weierstrass

D:β² =α(α²+Sα+T). Soit (α, β)6= (0,0)un K(x)-point de D.

Il existe alors ǫ∈K, µ∈K[x] unitaire sans facteur carr´e divisant T et deux polynˆomes θ∈k[x]et ψ∈k[x] tels que

* µθsoit premier avec ψ, * α=ǫµ_ψ^θ22,

* ǫµν² =ǫ²µ²θ⁴+Sǫµθ²ψ²+T ψ⁴.

D´emonstration.

Nous commen¸cons par ´ecrire α = ^χ_ϕ et β = _φ^ξ avec χ, ϕ, ξ et φ∈K[x] des polynˆomes tels que

* χ etϕsoient premiers entre eux, * ξ etφ soient premiers entre eux, et * φetϕsoient unitaires.

En chassant les d´enominateurs dans l’´equation deD,nous obtenons :

ϕ³ξ²=φ²χ(χ²+Sϕχ+T ϕ²). (4.1) Commeφ²diviseϕ³ξ²et est premier `aξ,le polynˆomeφ²diviseϕ³.De mˆeme

ϕ3 divise φ2χ(χ2+Sϕχ+T ϕ2) et est premier `a χ et `a (χ2+Sϕχ+T ϕ2) (car χ²+Sϕχ+T ϕ² ≡χ² modϕ),donc ϕ³ diviseφ².Ainsi φ² etϕ³ sont ´egaux (ils sont tous deux unitaires). Il existe doncψ∈K[x] unitaire tel que

ϕ=ψ2 etφ=ψ3.

Nous posons χ = ǫµθ² avec ǫ ∈ K et µ, θ ∈ K[x] deux polynˆomes unitaires. L’´equation 4.1 se r´e´ecrit alors

ξ² =ǫµθ²(ǫ²µ²θ⁴+Sǫµθ²ψ²+T ψ⁴).

Cette ´egalit´e impose `aµde diviserξet entraˆıne donc l’existence deν ∈K[x] tel que

ǫµν² =ǫ²µ²θ⁴+Sǫµθ²ψ²+T ψ⁴.

Cette ´egalit´e montre queµdiviseT ψ4. Par ailleursµest premier `aψ (puis-qu’il divise χ). Le polynˆome µest donc un diviseur de T.

Remarque :

Ce r´esultat ´etant plus pr´ecis que la proposition 4.1.3, nous l’utilisons au cours des sections 4.2 et 4.3. Ceci explique pourquoi nous ne parlons pas du morphisme Ξ_H au cours de ces deux sections.

SoientP une place dek(x),OP l’anneau de valuation correspondant, et

k(P) :=OP/P le corps r´esiduel enP. La surjection canoniqueOP −→k(P) induit un morphisme ev_P :O^×_P/O^×_P² −→k(P)^×/k(P)^×2.

La proposition 4.1.3 ne suffit en g´en´eral pas `a calculer Im(Ξ<sub>H</sub>). Ainsi, comme dans [CEP71], nous devons affiner notre ´etude de Im(Ξ<sub>H</sub>) en consid´erant la restriction de ev<sub>P</sub> `a Im(Ξ_H,i) et {p⁻¹µ|µ∈Im(Ξ_H,i)} (avec p une uni-formisante deP). Ceci motive l’introduction de la notation suivante.

Notations 4.1.5 Soient P une place de k(x) et OP l’anneau de valuation correspondant. Soitα, β ∈ O_P^×.

Nous disons queα est ´equivalent `a β modulo P et modulo les carr´es, et nous notons α ∼β modP, s’il existeγ ∈ O^×_P tel que α et βγ² soient dans la mˆeme classe moduloP.

Dans ce qui suit, les placesP pour lesquelles nous ´etudions le morphisme ev_P sont soit la place `a l’infini de k(x), soit des places admettant un fac-teur premier du discriminant de f comme uniformisante. En effet, modulo les facteurs premiers de son discriminant, le polynˆome f(y) `a un facteur carr´e. L’id´ee est d’utiliser l’existence d’un tel facteur carr´e pour comprendre Im(Ξ_H). `A titre d’exemple, nous d´emontrons le r´esultat :

Proposition 4.1.6 Soit k un corps de caract´eristique 0. Soient A ∈ k(x)

et K:=k(x)[T]/(T²−A). Soitt la classe de T dansK.

Soient P une place dek(x),OP l’anneau de valuation correspondant et v_P la valuation associ´ee. Soit p une uniformisante de P. Nous conservons la notation 4.1.5. Nous supposons v_P(A) impaire.

Soit u := u₀(y²) + yu₁(y²) ∈ k(x)[y] un polynˆome. Nous notons α:=p^−vP(N_K/k(x)(u(t)))N_K/k(x)(u(t))∈ O_P^× et Ae:=p−vP(A)A∈ O^×_P.

1. Si v_P(N_K/k(x)(u(t))) est paire, alors α∼1 modP; 2. si v_P(N_K/k(x)(u(t))) est impaire, alors α∼ −A^emodP et

v_P(A) + 1

2 ^+vP(u1(A))≤v_P(u₀(A)).

D´emonstration.

La valuationv_P((u₀(A))²) est paire et la valuationv_P(A(u₁(A))²) est im-paire. Ces deux valuations sont donc diff´erentes. Par suite, la valuation enP

deN_K/k(x)(u(t)) = (u0(A))²−A(u1(A))²est Min(v_P((u0(A))²), v_P(A(u1(A))²)).

Si v_P(N_K/k(x)(u(t))) est paire. Alors la valuation v_P(N_K/k(x)(u(t))) est ´egale `av<sub>P</sub>((u<sub>0</sub>(A))<sup>2</sup>) = 2v<sub>P</sub>(u<sub>0</sub>(A)).En particulier, la valuationv<sub>P</sub>((u<sub>0</sub>(A))<sup>2</sup>) est strictement inf´erieure `av_P(A(u₁(A))2), et ainsi

p^−vP(NK/k(x)(u(t)))A(u₁(A))² =p^−vP((u0(A))2)A(u₁(A))² est un ´el´ement deP.Par suite, la classe de

α=p^−vP(N_K/k(x)(u(t)))(u0(A))²−p^−vP(N_K/k(x)(u(t)))A(u1(A))² dans le corps r´esiduel enP est non nulle et ´egale `a celle de

p^−vP(N_K/k(x)(u(t)))(u₀(A))2 = p−vP((u0(A))2)(u₀(A))2

= p−2vP(u0(A))(u₀(A))2

= p−vP(u0(A))(u₀(A))2

.

Si v_P(N_K/k(x)(u(t))) est impaire. Alors la valuationv_P(N_K/k(x)(u(t))) est ´egale `a v<sub>P</sub>(A(u<sub>1</sub>(A))<sup>2</sup>). En particulier, la valuation v<sub>P</sub>((u<sub>0</sub>(A))<sup>2</sup>) est strictement sup´erieure `a v_P(A(u₁(A))2), et ainsi

p^−vP(NK/k(x)(u(t)))(u₀(A))² =p^−vP(A(u1(A))2)(u₀(A))² est un ´el´ement deP.Par suite, la classe de

dans le corps r´esiduel enP est non nulle et ´egale `a celle de

−p^−vP(N_K/k(x)(u(t)))A(u1(A))² = −p^−vP(A(u1(A))2)A(u1(A))² = −A^e(p^−vP(u1(A))u1(A))².

De plus, la valuation v_P((u₀(A))²) est sup´erieure ou ´egale `a

v_P(A(u₁(A))2) + 1, donc

v_P(A) + 1

2 ^+vP(u1(A))≤v_P(u₀(A)).

Proposition 4.1.7 Soit k un corps de caract´eristique 0. Soient A ∈ k(x)

et K:=k(x)[T]/(T2−A).

Soient P une place dek(x),OP l’anneau de valuation correspondant et v_P la valuation associ´ee. Soit p une uniformisante de P. Nous conservons la notation 4.1.5.

Nous supposons que

* la valuation v_P(A) est paire,

* p^−vP(A)A n’est pas pas un carr´e dans le corps r´esiduel OP/P. Alors, pour tout polynˆome u := u₀(y2) +yu₁(y2) ∈ k(x)[y], la valuation v_P(N_K/k(x)(u(t))) est paire.

D´emonstration.

Nous supposons que la valuationv_P(N_K/k(x)(u(t))) est impaire. Nous no-tonsr := Min

v_P(u₀(A)),^vP(A)

2 +v_P(u₁(A))

.Lorsque les classes de deux ´el´ementsαetβ deOP dans le corps r´esiduelOP/P sont ´egales, nous notons

α≡β modP.

Par d´efinition der, la valuation enP de

p^−2rN_K/k(x)(u(t)) = p^−ru₀(A)2

−p^−vP(A)A

p^(vP(A)/2−r)u₁(A)2

est positive ou nulle. Cette valuation ´etant impaire elle est strictement po-sitive, c’est-`a-dire que

p^−ru₀(A)2

≡p^−vP(A)A

p^(vP(A)/2−r)u₁(A)2

modP. (4.2) Par d´efinition de r, l’une des deux valuationsv_P p^(vP(A)/2−r)u1(A)

et

v_P(u₀(A)) est nulle. En fait, la congruence 4.2 impose `a ces deux valua-tions d’ˆetre nulles. En particulier, l’´el´ementp−vP(A)A appartenant `aO_P^×, la classe dep^(vP(A)/2−r)u1(A) dans le corps r´esiduelOP/P est inversible. Nous d´eduisons alors de la congruence 4.2 que

p^−vP(A)A∼ p−ru₀(A) p(vP(A)/2−r)u₁(A) 2 modP ∼1 modP.

Ceci contredit l’hypoth`ese selon laquellep−vP(A)An’est pas un carr´e dans le corps r´esiduel O_P/P. La valuation v_P(N_K/k(x)(u(t))) doit donc ˆetre paire.

Dans le document Calculs dans les jacobiennes de courbes algébriques, applications en géométrie algébrique réelle. (Page 102-116)