Th´eor`eme 4.6.1 Soient η, ω, ρ ∈ R des r´eels. Soit k:= Q(η, ω, ρ). Nous posons : b1 = ρ 2−η2 ω2−η2 +η 2−ω2 4 . Soient B(x) := (x+b1)2−η2 et C(x) := 2(x+b1) +ω2 −η2−1. Nous supposons que les ´el´ements
* η et ρ, * ω2−η2−2−2η et ω2−η2−2 + 2η, * ω2−η2−22 −4η2−4, * ω2−η2−1 + 2η et ω2−η2−1−2η, * ω2−η2−12 −4η2−1, * ω2−η2−2η et ω2−η2+ 2η sont non nuls.
Nous supposons de plus ω > 1 +|η|, ω2 −η2 > 2ω, b1 >1 + ω2−2η2 et qu’aucun des ´el´ements
a. ω2−η22 −4ω2 = ω2−η2−2ω ω2−η2+ 2ω b. (2b1−2 +ω2−η2)(ω2−η2−2ω), c. (2b1−2 +ω2−η2)(ω2−η2+ 2ω), d. 2(ω2−η2−2ω)(b1−1−ω), e. 2(ω2−η2+ 2ω)(b1−1 +ω) f. 2 2b1−2 +ω2−η2 (b1−1 +ω), g. 2 2b1−2 +ω2−η2 (b1−1−ω), h. (b1−1)2−ω2 ω2−η22 −4ω2 i. 2 ω2−η2 ω2−η2−2ω (ω+ 1)2−η2n (pour n∈ {0,1}), j. 2 ω2−η2 ω2−η2+ 2ω (ω−1)2−η2n (pour n∈ {0,1})
k.
(b1−1)2−ω2n1
(ω−1)2−η2n2
(ω+ 1)2−η2n3
(avec(n1, n2, n3)
un triplet non nul d’´el´ements de{0,1}), l. 2 ω2−η2 2b1−2 +ω2−η2 , m. 2n1 ω2−η2+ 2ω (b1−1 +ω) ω2−η2n1 2b1−2 +ω2−η21−n1 ×(ω−1−η)1−n2(ω−1 +η)n2 (avecn1, n2 ∈N), et n. 21−n1 ω2−η2+ 2ω ω2−η2n1 2b1−2 +ω2−η2n1 ×(ω−1−η)1−n2(ω−1 +η)n2, (avecn1, n2 ∈N) o. b21−η2, et p. 2b1+ω2−η2−1, n’est un carr´e dansk.
Alors le polynˆome P(x, y) := y2+ 1
y2+C x2
y4+ 1 +C x2
y2+B x2
est positif ou nul sur R2, mais n’est pas une somme de trois carr´es dans
R(x, y).
D´emonstration.
Des trois in´egalit´es b1 > 1 + ω2−2η2, ω2−2η2 > ω et ω > 1 +|η|, nous d´eduisons que l’´el´ementb1 est strictement sup´erieur `a 2 +|η|et donc stricte-ment positif. En particulier, nous avonsb1>0 etb2
1> η2. Ainsi, le polynˆome
B(x2) =x4+ 2b1x2+b21−η2
est positif ou nul surR.
De mˆeme, puisque 2b1 > 2 + ω2 − η2 et ω2 > η2, les ´el´ements 2b1−2 +ω2−η2= 2b1−2− ω2−η2
+ 2 ω2−η2
et 2b1−1 +ω2−η2
sont strictement positifs. Ainsi, le polynˆome
C(x2) := 2x2+ 2b1−1 +ω2−η2
est positif ou nul surR. Par cons´equent, le polynˆome
P(x, y) = y2+ 1
y2+C x2
y4+ 1 +C x2
y2+B x2
est positif ou nul surR2. Le reste C x2 −1 B x2 −C x2 de la division euclidienne de y2+C x2 y4+ 1 +C x2 y2+B x2
pary2+ 1 est non nul (il est mˆeme de degr´e 6 eny). Les polynˆomes y2+ 1 et y2+C x2
y4+ 1 +C x2
y2+B x2
sont donc premiers entre eux. De mˆeme, le reste B x2 −C x2 de la division euclidienne de y4 + 1 +C x2 y2 +B x2 par y2 +C x2
est non nul, donc les po-lynˆomes y2+C x2
et y4 + 1 +C x2
y2+B x2
sont premiers entre eux.
Par ailleurs, le polynˆome C x2
est non nul, donc le polynˆome
y2+ C x2
est sans facteur carr´e.
Enfin, le discriminant 16B x2 1 +C x22
−4B x22
du polynˆome
y4+ 1 +C x2
y2+B x2
est non nul doncy4+ 1 +C x2
y2+B x2
est sans facteur carr´e. Ainsi, des relations de primalit´e pr´ec´edentes, nous d´eduisons que le polynˆome P(x, y)∈k[x][y] est sans facteur carr´e. En par-ticulier, les hypoth`eses de la proposition 1.2.8 sont satisfaites.
Nous montrons maintenant que P(x, y) n’est pas une somme de trois carr´es dans R(x, y). Pour cela, nous introduisons la courbe hyperelliptique
C surR(x) d’´equation affine
C:z2+ y2+ 1
y2+C x2
y4+ 1 +C x2
y2+B x2
= 0.
D’apr`es la proposition 1.2.8, le polynˆome P(x, y) est une somme de trois carr´es dans R(x, y) si et seulement si la jacobienne Jac(C) a un point
R(x)-rationnel antineutre.
Nous commen¸cons par montrer que le groupe Jac(C)(R(x)) est de rang de Mordell-Weil nul, c’est-`a-dire ´egal `a son sous-groupe de torsion. Pour cela, nous utilisons la proposition 3.5.3.6.
Nous avons suppos´e ω > 1 + |η|, donc ω est non nul. De mˆeme,
ω2 −η2 > 2|ω|, donc ω2 −η2, ω2 −η2 + 2ω et ω2 −η2 −2ω sont non nuls (ils sont mˆeme strictement positifs).
Par ailleurs les ´el´ements 2b1+ω2−η2−1, b21−η2 et (b1−1)2−ω2 ne sont pas des carr´es dansk, donc les ´el´ements 2b1+ω2−η2−1, b1+η,b1−η,
b1−1 +ω etb1−1−ω sont non nuls. Nous venons ainsi de montrer que les ´el´ements * η,ω, ρetω2−η2, * 2b1−2 +ω2−η2, * ω2−η2−2−2η etω2−η2−2 + 2η, * ω2−η2+ 2ω etω2−η2−2ω, * ω2−η2−1 + 2η etω2−η2−1−2η, * 2b1+ω2−η2−1, b1+η,b1−η,b1−1 +ω etb1−1−ω
Afin d’utiliser la proposition 3.5.3.6, nous associons `a toutδ∈k(x)×les deux k(x)-courbes hyperelliptiques Cδ+ et Cb+
δ (qui sont de genre 2), et les deuxk(x)-courbes elliptiquesCδ− etCb−
δ d’´equations affines respectives :
Cδ+:z2 = y+δ(1+C(x))2 y2−δ(1−C(x))2 2 y2−δ2[(1+C(x))42−4B(x)] b Cδ+:z2 = (y+δ(1 +C(x))) y2−4δ2B(x) y2−4δ2C(x) Cδ−:z2 =y y2−δh (1−C(x))2−2 (B(x)−C(x))i y+δ2(B(x)−C(x))2 b Cδ−:t2 =y y+δ(1−C(x))2 y+δ (1−C(x))2−4 (B(x)−C(x)) .
Nous reprenons les notations 4.2 et 4.4.
D’apr`es la proposition 3.5.3.6, le R(x)-rang de Mordell-Weil de la jaco-bienne de la courbeC est nul si et seulement si, pour toutζ ∈kstrictement positif, les images des homomorphismes
γC− ζ , γC− ζx, γCb− ζ , γCb− ζx, ΠC+ ζ, ΠC+ ζx, ΠCb+ ζ et ΠCb+ ζx
sont respectivement les images des points de torsionk(x)-rationnels de
Cζ−, Cζx−, Cb− ζ, Cb−
ζx, Jac(Cζ+), Jac(Cζx+), Jac(Cb+
ζ ) et Jac(Cb+ ζx).
Nous ´etudions maintenant les images des homomorphismes
γC− ζ , γC− ζx, γCb− ζ , γCb− ζx, ΠC+ ζ, ΠC+ ζx, ΠCb+ ζ et ΠCb+ ζx
en utilisant les propositions 4.2.5, 4.2.7, 4.3.5, 4.3.6, 4.4.4.1, 4.4.4.2 et 4.5.12.
1. Les hypoth`eses de la proposition 4.2.5 sont v´erifi´ees : * ω2> η2, et
* ω2−η2
−4ω2
= ω2−2ω−η2
ω2+ 2ω−η2
n’est pas un carr´e dansk.
Par cons´equent, pour tout ζ ∈k strictement positif, l’image du morphisme
γC−
ζ est triviale.
2. Commeω2> η2 et comme les ´el´ements * (b1−1)2−ω2 (voir l’hypoth`esek.), * (2b1−2 +ω2−η2)(ω2−η2+ 2ω), * (2b1−2 +ω2−η2)(ω2−η2−2ω),
* 2(ω2−η2−2ω)(b1−1−ω), et * 2(ω2−η2+ 2ω)(b1−1 +ω)
ne sont pas des carr´es dans k, les hypoth`eses de la proposition 4.2.7 sont satisfaites. Nous d´eduisons de cette proposition que, pour tout ζ ∈k stric-tement positif, l’image du morphismeγC−
ζx est triviale. 3. Puisque ω2−η2 >2|ω|, l’´el´ement
(ω2−η2−2ω)(ω2−η2+ 2ω)
est strictement positif. La proposition 4.3.5 s’applique donc : pour toutζ ∈k
strictement positif, l’image deγb
C−ζ,k(x) est l’image des points de 2-torsion de
b
Cζ−(k(x)).
4. Les hypoth`eses de la proposition 4.3.6 sont v´erifi´ees : les ´el´ementsω2−η2
etρ sont non nuls (en fait ω2 > η2), et les ´el´ements * (b1−1)2−ω2 (voir l’hypoth`ese k.), * ω2−η22 −4ω2, * 2 2b1−2 +ω2−η2 (b1−1 +ω), * 2 2b1−2 +ω2−η2 (b1−1−ω) et * (b1−1)2−ω2 ω2−η22 −4ω2
ne sont pas des carr´es dans k. Ainsi, pour tout ζ ∈ k strictement positif, l’image deγCb−
ζx,k(x) est l’image des points de 2-torsion de Cb−
ζx(k(x)).
5. De l’in´egalit´eω2−η2 >2|ω|nous d´eduisons
ω2−η22
−2ω2−2η2>4ω2−2ω2−2η2= 2 ω2−η2
>0.
En particulier, l’´el´ement ω2−η22
−2ω2 −2η2 est non nul. Par ailleurs, nous avons suppos´e que les ´el´ements
* ω2−η2−12 −4η2= ω2−η2−1 + 2η ω2−η2−1−2η et * ω2−η2−22 −4η2= ω2−η2−2 + 2η ω2−η2−2−2η
sont non nuls. De plus, aucun des ´el´ements * (ω−1)2−η2n1 (ω+ 1)2−η2n2 (avec (n1, n2)∈ {(0,1),(1,0),(1,1)}) (voir l’hypoth`esek.), * 2 ω2−η2 ω2−η2−2ω (ω+ 1)2−η2n (avec n∈ {0,1}) et * 2 ω2−η2 ω2−η2+ 2ω (ω−1)2−η2n (avec n∈ {0,1})
n’est un carr´e dans k. Or ω > 1 +|η|, donc les hypoth`eses de la proposi-tion 4.4.4.1 sont satisfaites. Par suite, pour tout ζ ∈k strictement positif, l’image de ΠC+
de Jac(Cζ+)(k(x)). 6. Les ´el´ements * ω2−η2−12 −4η2= ω2−η2−1 + 2η ω2−η2−1−2η et * ω2−η2−22 −4η2= ω2−η2−2 + 2η ω2−η2−2−2η
sont non nuls.
Nous avons suppos´e ω2 −η2 > 2ω,b1 > 1 + ω2−2η2 etω > |η|+ 1. Par ailleurs, aucun des ´el´ements
*
(b1−1)2−ω2n1
(ω−1)2−η2n2
(ω+ 1)2−η2n3
(avec (n1, n2, n3) un triplet non nul d’´el´ements de{0,1}),
* 2 ω2−η2 2b1−2 +ω2−η2 , * 2n1 ω2−η2+ 2ω (b1−1 +ω) ω2−η2n1 2b1−2 +ω2−η21−n1 ×(ω−1−η)1−n2(ω−1 +η)n2 (avecn1,n2∈N), et * 21−n1 ω2−η2+ 2ω ω2−η2n1 2b1−2 +ω2−η2n1 ×(ω−1−η)1−n2(ω−1 +η)n2 (avecn1,n2∈N)
n’est un carr´e dans k. Ainsi, les hypoth`eses de la proposition 4.4.4.2 sont satisfaites. Nous en d´eduisons que, pour tout ζ ∈ k× strictement positif, l’image de ΠC+
ζx est engendr´ee par l’image des points de torsion 2-primaire de Jac(Cζx+)(k(x)).
7. Nous avons suppos´e que l’´el´ement
(b1−1)2−ω2 ω2−η22
−4ω2
n’est pas un carr´e dansk. Par suite, (b1−1)2−ω2 est non nul. Nous avons aussi suppos´e que les ´el´ements
* η, * ω2−η2−12 −4η2 et ω2−η2−12 −4η2−1, * ω2−η2−22 −4η2 et ω2−η2−22 −4η2−4,et * ω2−η22 −4η2= ω2−η2+ 2η ω2−η2−2η
sont non nuls. Par ailleurs, l’´el´ement
ω2−η22
−4ω2= ω2−η2−2ω
ω2−η2+ 2ω
n’est pas un carr´e dansk, donc
* η2−ω2−2ω n’est pas un carr´e dansk ou * η2−ω2+ 2ω n’est pas un carr´e dansk
Ainsi, puisque les ´el´ements
* (1 +ω)2−η2 et (1−ω)2−η2 (voir l’hypoth`esek.), * b21−η2 et
ne sont pas des carr´es dans k, la proposition 4.5.12 s’applique : pour tout
ζ ∈k strictement positif, * l’image de ΠCb+
ζ est ´egale `a l’image de la torsion de Jac(Cb+
ζ )(k(x)) par ΠCb+
ζ, et * l’image de Πb
Cζx+ est ´egale `a l’image de la torsion de Jac(Cb+
ζx)(k(x)) par ΠCb+
ζx.
Finalement, pour tout ζ ∈ k strictement positif, les images des homo-morphismes γC− ζ , γC− ζx, γCb− ζ , γCb− ζx, ΠC+ ζ, ΠC+ ζx, ΠCb+ ζ et ΠCb+ ζx
sont respectivement les images des points de torsionk(x)-rationnels de
Cζ−, Cζx−, Cb− ζ, Cb−
ζx, Jac(Cζ+), Jac(Cζx+), Jac(Cb+
ζ ) et Jac(Cb+ ζx).
Nous d´eduisons alors de la proposition 3.5.3.6 que le groupe Jac(C)(R(x)) est de rang de Mordell-Weil nul, c’est-`a-dire qu’il est ´egal `a son sous-groupe de torsion.
Comme expliqu´e lors de la sous-section 3.4.2, sous les hypoth`ese du th´eor`eme 4.6.1, aucun des polynˆomes
(1 +C(x2))2−4B(x2),B(x2), C(x2), B(x2)C(x2), B(x2)−C(x2) et (B(x2)−C(x2))(1−C(x2))
n’est un carr´e dansC(x). Nous sommes donc sous les hypoth`eses du th´eor`eme 2.4.9. Par suite, la jacobienne Jac(C) n’a aucun R(x)-point de torsion an-tineutre, et donc aucun R(x)-point antineutre (le groupe Jac(C)(R(x)) est ´egal `a son sous-groupe de torsion).
De plus, d’apr`es la proposition 1.2.8, le polynˆomeP(x, y) est une somme de trois carr´es dans R(x, y) si et seulement si la jacobienne Jac(C) a un point R(x)-rationnel antineutre. Par cons´equent, le polynˆome P(x, y) n’est pas une somme de trois carr´es dansR(x, y).
Corollaire 4.6.2 Soient η, ω, ρ ∈ R trois nombres r´eels alg´ebriquement ind´ependants surQ. Nous posons :
b1 = ρ 2−η2 ω2−η2 +η 2−ω2 4 . Soient B(x) := (x+b1)2−η2 et C(x) := 2(x+b1) +ω2 −η2−1. Nous supposons que ω >1 +|η|,ω2−η2 >2ω, et b1>1 +ω2−2η2.
Alors le polynˆome P(x, y) := y2+ 1
y2+C x2
y4+ 1 +C x2
y2+B x2
est positif ou nul sur R2, mais n’est pas une somme de trois carr´es dans
R(x, y).
D´emonstration.
Soit k:=Q(η, ω, ρ). Puisque les ´el´ements η,ω etρ sont alg´ebriquement ind´ependants, l’anneau Q[η, ω, ρ] est isomorphe `a l’anneau des polynˆomes en trois variables `a coefficients dans Q.
Les ´el´ementsη,ωetρsont alg´ebriquement ind´ependants, donc les ´el´ements
η,ω etb1 = ω2−1η2ρ2+
−η2
ω2−η2 +η2−4ω2
sont alg´ebriquement ind´ependants. En particulier, les ´el´ements
* η etρ, * ω2−η2−2−2η etω2−η2−2 + 2η, * ω2−η2−22 −4η2−4, * ω2−η2−1 + 2η etω2−η2−1−2η, * ω2−η2−12 −4η2−1, * ω2−η2−2η etω2−η2+ 2η
sont non nuls.
Le polynˆome 2 ω2−η2+ 2ω
∈Q(ω)[η] est de degr´e 2 et son discrimi-nant 16 ω2+ 2ω
est non nul (ω est transcendant sur Q). Par cons´equent, le polynˆome 2 ω2−η2+ 2ω
∈ Q(ω)[η] est non constant et sans facteur carr´e.
De mˆeme, les polynˆomes 2 ω2−η2−2ω
∈Q(ω)[η] etω2−η2∈Q(ω)[η] sont de degr´es 2 et leurs discriminants (respectivement 16(ω2−2ω) et 4ω2) sont non nuls. Les polynˆomes 2 ω2−η2−2ω
∈ Q(ω)[η] et
ω2−η2 ∈Q(ω)[η] sont donc non constants et sans facteur carr´e.
Les polynˆomesω+1+η∈Q(ω)[η],ω+1−η∈Q(ω)[η],ω−1+η∈Q(ω)[η] et ω−1−η ∈ Q(ω)[η] sont irr´eductibles de degr´es 1. Ils sont donc non constants et sans facteur carr´e.
Les polynˆomes 2 ω2−η2+ 2ω
∈ Q(ω)[η], 2 ω2−η2−2ω
∈ Q(η)[ω] etω2−η2 ∈Q(η)[ω] sont deux `a deux premiers entre eux (leurs diff´erences deux `a deux sont des ´el´ements non nuls de Q(ω)) .
Par division euclidienne, et en remarquant queωest transcendant surQ, nous montrons aussi que les polynˆomes ω + 1 + η ∈ Q(ω)[η],
ω+ 1−η ∈ Q(ω)[η], ω −1 +η ∈ Q(ω)[η] et ω −1−η ∈ Q(ω)[η] sont deux `a deux premiers entre eux et premiers aux polynˆomes 2 ω2−η2+ 2ω
, 2 ω2−η2−2ω
etω2−η2. Finalement, les polynˆomes
* 2 ω2−η2+ 2ω ∈Q(ω)[η], 2 ω2−η2−2ω ∈Q(η)[ω], * ω2−η2∈Q(η)[ω], * ω+ 1 +η∈Q(ω)[η], ω+ 1−η∈Q(ω)[η], * ω−1 +η∈Q(ω)[η] etω−1−η∈Q(ω)[η]
sont non constants, sans facteur carr´e et deux `a deux premiers entre eux. Par suite, aucun produit de la forme
2n1+n2 ω2−η2+ 2ωn1
ω2−η2−2ωn2
ω2−η2n3
×(ω+ 1 +η)n4(ω+ 1−η)n5(ω−1 +η)n6(ω−1−η)n7
avec (ni)7
i=1 ∈ {0,1}7 non nul n’est un carr´e dans Q(ω)[η] (un tel produit est un polynˆome non constant et sans facteur carr´e). Ainsi, aucun produit de la forme 2n1+n2 ω2−η2+ 2ωn1 ω2−η2−2ωn2 ω2−η2n3 ×(ω+ 1 +η)n4(ω+ 1−η)n5(ω−1 +η)n6(ω−1−η)n7 (avec (ni)7
i=1∈ {0,1}7 non nul) n’est un carr´e dansk=Q(η, ω, ρ). Par ailleurs, les discriminants des polynˆomes (de degr´e 2)
b1−1 +ω = ω2−1η2ρ2−ω2ω−2η2 +ω2−4η2 −ω ∈Q(η, ω)[ρ], b1−1−ω = ω2−1η2ρ2−ω2ω−2η2 +ω2−4η2 +ω ∈Q(η, ω)[ρ], et 2 2b1−2 +ω2−η2 = ω2−4η2ρ2− 4ω2 ω2−η2 − ω2−η2 ∈Q(η, ω)[ρ] sont non nuls (car η et ω sont alg´ebriquement ind´ependants), donc les polynˆomes b1 − 1 + ω ∈ Q(η, ω)[ρ], b1 − 1 − ω ∈ Q(η, ω)[ρ] et 2 2b1−2 +ω2−η2
∈Q(η, ω)[ρ] sont non constants et sans facteur carr´e. Ces polynˆomes sont premiers entre eux car les ´el´ements
2ω= (b1−1 +ω)−(b1−1−ω),
2ω2−2η2−4ω= 2 2b1−2 +ω2−η2
−4 (b1−1 +ω) 2ω2−2η2+ 4ω= 2 2b1−2 +ω2−η2
−4 (b1−1−ω)
sont non nuls (η etω sont alg´ebriquement ind´ependants). Ainsi, aucun pro-duit de la forme
2n1α 2b1−2 +ω2−η2n1
(b1−1 +ω)n2(b1−1−ω)n3
(avec α ∈ Q(η, ω)× et (n1, n2, n3) un triplet non nul d’´el´ements de {0,1}) n’est un carr´e dansQ(η, ω)[ρ]. Par suite, aucun produit de la forme
2n1α 2b1−2 +ω2−η2n1
(avec α ∈ Q(η, ω)× et (n1, n2, n3) un triplet non nul d’´el´ements de {0,1}) n’est un carr´e dansk=Q(η, ω, ρ).
Nous remarquons que les polynˆomes
b1−η = ω21
−η2ρ2−ω2η−2η2 +ω2−4η2 +η
∈Q(η, ω)[ρ], et
b1+η = ω2−1η2ρ2−ω2η−2η2 +ω2−4η2 −η
∈Q(η, ω)[ρ]
sont de degr´es ´egaux `a 2 et de discriminants non nuls. Par cons´equent les polynˆomesb1−η ∈ Q(η, ω)[ρ] et b1+η ∈Q(η, ω)[ρ] sont non constants et sans facteur carr´e. De plus, l’´el´ement
2η= (b1+η)−(b1−η)
est non nul donc les polynˆomes b1 −η ∈ Q(η, ω)[ρ] et b1+η ∈ Q(η, ω)[ρ] sont premiers entre eux. En particulier, le polynˆomeb21−η2 est non constant et sans facteur carr´e. Le polynˆome b21 −η2 n’est donc pas un carr´e dans
Q(η, ω)[ρ]. Par suite, le polynˆome b2
1 − η2 n’est pas un carr´e dans
k=Q(η, ω, ρ). Le discriminant du polynˆome 2b1+ω2−η2−1 = 2 ω2−η2ρ2− 2η2 ω2−η2 −ω 2−η2 2 + 1 ∈Q(η, ω)[ρ] est non nul. Le polynˆome 2b1+ω2−η2−1 est donc sans facteur carr´e. Ainsi, puisqu’il est non constant, le polynˆome 2b1+ω2−η2−1 n’est pas un carr´e dansQ(η, ω)[ρ]. Par suite, le polynˆome 2b1+ω2−η2−1 n’est pas un carr´e dansk=Q(η, ω, ρ).
Les hypoth`eses du th´eor`eme 4.6.1 sont donc satisfaites. Par cons´equent, le polynˆome
P(x, y) := y2+ 1
y2+C x2
y4+ 1 +C x2
y2+B x2
est positif ou nul sur R2, mais n’est pas une somme de trois carr´es dans
R(x, y).
Corollaire 4.6.3 Soient η:= 23 ω:= 34 et ρ:= 547. Nous posons : b1 = ωρ22−−ηη22 +η2−4ω2 = 1406344 ,
B(x) := (x+b1)2−η2=x2+1406322 x+1967438251936 et C(x) := 2(x+b1) +ω2−η2−1 = 2x+2783522 .
Alors le polynˆome P(x, y) := y2+ 1 y2+C x2 y4+ 1 +C x2 y2+B x2 ∈Q(x, y)
est positif ou nul sur R2, mais n’est pas une somme de trois carr´es dans
R(x, y).
D´emonstration.
Nous v´erifions les hypoth`eses du th´eor`eme 4.6.1 lorsque η = 23,ω = 34 etρ= 547.
Tout d’abord nous remarquons que les ´el´ements * η= 23, etρ= 547, * ω2−η2−2−2η= 579 et ω2−η2−2 + 2η= 671, * ω2−η2−22 −4η2−4 = 388505, * ω2−η2−1 + 2η= 672 et ω2−η2−1−2η= 580, * ω2−η2−12 −4η2−1 = 389759, * ω2−η2−2η= 581 etω2−η2+ 2η= 673 sont non nuls. Nous avons aussi les in´egalit´e
*ω = 34>24 = 1 +|η|,
*ω2−2ω = 1088>529 =η2 et *b1−1−ω2−2η2 = 22544 >0.
De plus, les nombres rationnels a. (ω2−η2−2ω)(ω2−η2+ 2ω) = 388505 = 5×13×43×139, b. (2b1−2 +ω2−η2)(ω2−η2−2ω) = 1554746722 = 3×13×243××1173×127, c. (2b1−2 +ω2−η2)(ω2−η2+ 2ω) = 1933003522 = 3×5×732××11127×139, d. 2 ω2−η2−2ω (b1−1−ω) = 700035722 = 7×13×2×4311×1789, e. 2 ω2−η2+ 2ω (b1−1 +ω) = 1078292522 = 52×292××10711×139, f. 2 2b1−2 +ω2−η2 (b1−1 +ω) = 431518695484 = 3×5×292×273×107×127 ×112 , g. 2 2b1−2 +ω2−η2 (b1−1−ω) = 348302199484 = 3×7×7322××127112×1789, h. (b1−1)2−ω2 ω2−η22 −4ω2 = 754843245042251936 = 52×7×13×29×2443××111072 ×139×1789, l. 2 ω2−η2 2b1−2 +ω2−η2 = 1585341 = 32×19×73×127, o.b21−η2 = 1967438251936 = 32×522×431×11×672 ×421, et p. 2b1+ω2−η2−1 = 2783522 = 5×219××11293
ne sont pas des carr´es dansQ(ils sont tous de valuation impaire en au moins un ´el´ement premier deZ).
Nous devons maintenant v´erifier les conditions g, h, i, k et l.
i. et j. La valuation en 19 deω2−η2 = 3×11×19 est 1. Or les valuations en 19 des nombres rationnels
ω2−η2−2ω= 559 = 13×43, ω2−η2+ 2ω= 695 = 5×139,
(ω+ 1)2−η2 = 696 = 23×3×29 et (ω−1)2−η2 = 560 = 24×5×7
sont nulles, donc les ´el´ements de la forme 2 ω2−η2 ω2−η2−2ω (ω+ 1)2−η2n ou 2 ω2−η2 ω2−η2+ 2ω (ω−1)2−η2n
(avecn∈ {0,1}) ne sont pas des carr´es dansQ(leurs valuations en 19 sont ´egales `a 1).
k. Supposons qu’il existe un triplet (n1,2, n3) non nul d’´el´ements de{0,1}
tel que
(b1−1)2−ω2n1
(ω−1)2−η2n2
(ω+ 1)2−η2n3
soit un carr´e dans Q. La valuation en 107 de
(b1−1)2−ω2 = 194294345 1936 =
5×7×29×107×1789 24×112
est 1. Or les valuations en 107 des nombres rationnels (ω+ 1)2−η2 = 696 = 23×3×29 et (ω−1)2−η2 = 560 = 24×5×7 sont nulles, doncn1 = 0. De mˆeme, la valuation en 3 de
(ω+ 1)2−η2 = 696 = 23×3×29 est 1 et les valuations en 3 des nombres rationnels
(b1−1)2−ω2 = 1942943451936 = 5×7×2924××107112×1789 et (ω−1)2−η2 = 560 = 24×5×7
sont nulles donc n3 = 0. Nous aboutissons `a une contradiction : comme le triplet (n1, n2, n3) n’est pas nul, le nombre rationnel
(ω−1)2−η2 = 560 = 24×5×7
doit ˆetre un carr´e dans de Q (alors que sa valuation en 7 est 1). Nous en d´eduisons qu’il n’existe aucun triplet (n1,2, n3) non nul d’´el´ements de {0,1}
tel que
(b1−1)2−ω2n1
(ω−1)2−η2n2
soit un carr´e dans Q.
m. La valuation en 139 du nombre rationnel
ω2−η2+ 2ω
= 695 = 5×139 est 1. or les valuations en 139 des nombres rationnels
(b1−1 +ω) = 1551544 = 5×2292××11107
2(ω2−η2) = 1254 = 2×3×11×19,
2b1−2 +ω2−η2 = 2781322 = 3×273××11127, ω−1−η= 10 = 2×5 et
ω−1 +η= 56 = 23×7 sont nulles, donc les ´el´ements de la forme
2n1 ω2−η2+ 2ω
(b1−1 +ω) ω2−η2n1
2b1−2 +ω2−η21−n1
×(ω−1−η)1−n2(ω−1 +η)n2
(avec n1, n2 ∈ N) ne sont pas des carr´es dans Q (leurs valuations en 139 sont ´egales `a 1).
n. La valuation en 139 du nombre rationnel
ω2−η2+ 2ω
= 695 = 5×139 est 1. or les valuations en 139 des nombres rationnels
2(ω2−η2) = 1254 = 2×3×11×19,
2b1−2 +ω2−η2 = 2781322 = 3×273××11127, ω−1−η= 10 = 2×5 et
ω−1 +η= 56 = 23×7 sont nulles, donc les ´el´ements de la forme
21−n1 ω2−η2+ 2ω
ω2−η2n1
2b1−2 +ω2−η2n1
×(ω−1−η)1−n2(ω−1 +η)n2,
(avec n1, n2 ∈ N) ne sont pas des carr´es dans Q (leurs valuations en 139 sont ´egales `a 1).