La forme g´en´erale des courbes ´etudi´ees

a Λ (ou les deux), nous pouvons supposer sans perte de g´en´eralit´e que

µest un diviseur dee= (1−C).

Le polynˆomed=B−C= (x+b₁−1)²−ω²a deux facteurs premiers :

p₁ :=x+b₁−1−ω etp₂:=x+b₁−1 +ω.

D’apr`es la proposition 4.3.4, il existe, pour tout i∈ {1,2}, un entier

mi ∈ {0,1} tel que

µ∼(−ζx)^m1 modp₁∼(−ζ(1−b₁+ω))^m1 modp₁

µ∼(−ζx)^m2 modp₂∼(−ζ(1−b₁−ω))^m2 modp₂ ^(4.14)

Nous distinguons deux sous-cas.

Si µ est une constante. Alors µ est ´egal `a sa r´eduction modulo

p_i. Par cons´equent, les ´equations 4.14 signifient que * µ∼1 ou

* µ∼ −ζ(1−b₁+ω) et µ∼ −ζ(1−b₁−ω).

Dans le second cas, nous avons 1∼(1−b₁)² −ω2. Ce n’est pas pos-sible. Nous avons doncµ∼1, c’est-`a-dire Λ = [1].

S’il existe ǫ ∈ k× tel que µ = ǫ(1−C). Nous utilisons l’´egalit´e 1−C =η2−ω2−2(x+b₁−1) pour montrer les relations de congruence

µ≡ǫ η²−ω²−2ω

modp₁ et

µ≡ǫ η²−ω²+ 2ω

modp₂.

Les ´equations 4.14 se reformulent alors sous la forme

ǫ η²−ω²−2ω

∼(−ζ(1−b₁+ω))^m1 et

ǫ η2−ω2+ 2ω

∼(−ζ(1−b₁−ω))^m2.

Nous en d´eduisons l’´equivalence

η²−ω²2

−4ω²

∼(−ζ)^m1+m2(1−b₁+ω)^m1(1−b₁−ω)^m2.

Cette ´equivalence est en contradiction avec les hypoth`eses de la pro-position, puisque −ζ ∼ 2 (1−C(0))

(ω2−η22

−4ω2

. Le cas o`u

µ=ǫ(1−C) pour un certain ǫ∈k^× n’est donc pas possible.

4.4 Etude de l’image de Π

.

4.4.1 La forme g´en´erale des courbes ´etudi´ees.

Soitkun sous corps de R. SoientD, E, δ ∈k[x] trois polynˆomes tel que le polynˆome

soit sans facteur carr´e. Nous consid´erons la courbe hyperelliptiqueHd’´equation affine

H:z²= (y+δ(1−E)) (y−δE) (y+δE) y²−δ²D

.

Notations 4.4.1.1 Nous notons

* f1(y) :=y+δ(1−E),

* f₂(y) :=y−δE, * f₃(y) :=y+δE et * f4(y) :=y²−δ²D.

Nous supposons que le polynˆomef₁f₂f₃f₄ est sans facteur carr´e. Nous sup-posons aussi queDn’est pas un carr´e dansk(x).

Pour tout i ∈ {1,2,3,4} nous posons Ki := k(x)[y]/(fi(y)) et nous notons y_i la classe de y dans K_i. Soit π_H : Jac(H)(k(x)) −→

4

Y

i=1

K_i^×/K_i^×2

le morphisme de Cassels-Schaefer et π_H,i : Jac(H)(k(x)) −→ K_i^×/K_i^×2 sa i-`eme composante.

La norme N_Ki/k(x) de l’extension K_i/k(x) induit un homomorphisme

N_Ki/k(x):K_i^×/K_i^×2 −→k(x)×/k(x)×2.Nous posons Ξ_H,i:=N_Ki/k(x)◦π_H,i

et nous notons Ξ_H : Jac(H)(k(x))−→

4

Y

i=1

k(x)^×/k(x)^×2 l’homomorphisme de i-`eme coordonn´ee Ξ_H,i.

Dans cette section, nous ´etudions l’image de Ξ_H. Nous appliquons ensuite les r´esultats de l’´etude aux cas particuliers o`u

* E = ¹⁻₂^C,

* D= ^(1+C)₄^2−4B et

* δ=ζ ou δ =ζxpour un certain ζ ∈k× strictement positif

Nous en d´eduisons en particulier des informations sur l’image des mor-phismes Π_C+

ζ et Π_C+

ζx.

Proposition 4.4.1.2 Soit k un corps de caract´eristique 0. Soient E, D, δ∈k[x]trois polynˆomes non nuls tels que1−2E, (1−E)²−D et E²−D soient non nuls.

Alors le polynˆome (y+δ(1−E))(y−δE)(y+δE)(y2−δ2D) est sans facteur carr´e.

D´emonstration.

Par hypoth`ese, l’´el´ement

(−δ(1−E)−δE)(−δ(1−E)+δE)(δ²(1−E)²−δ²D) =δ⁴(1−2E)((1−E)²−D) est non nul. Par cons´equent les polynˆomes (y−δE)(y+δE)(y²−δ²D) et

De mˆeme, l’´el´ement

(δE+δ(1−E))(δE+δE)(δ²E²−δ²D) = 2δ⁴E(E²−D)

est non nul, donc les polynˆomesy−δE et (y+δ(1−E))(y+δE)(y2−δ2D) sont premiers entre eux.

Nous avons aussi suppos´e que l’´el´ement

(−δE+δ(1−E))(−δE−δE)(δ²E²−δ²D) =−2δ⁴E(1−2E)(E²−D) est non nul, donc les polynˆomesy−δE et (y+δ(1−E))(y+δE)(y²−δ²D) sont premiers entre eux.

De ces trois relations de primalit´e nous d´eduisons aussi que les polynˆomes (y+δ(1−E))(y−δE)(y+δE) et y²−δ²Dsont premiers entre eux.

Par ailleurs,δ²Dest non nul, donc le polynˆomey²−δ²Dest sans facteur carr´e. Ainsi le polynˆome (y+δ(1−E))(y−δE)(y+δE)(y2−δ2D) est bien sans facteur carr´e.

Proposition 4.4.1.3 Soit k un corps de caract´eristique 0. Soient E, D, δ∈k[x]trois polynˆomes non nuls tels que les polynˆomes1−2E,(1−E)²−D et E2−D soient non nuls.

Soit H la courbe hyperelliptique sur k(x) d’´equation affine

H:z² = (y+δ(1−E))(y−δE)(y+δE)(y²−δ²D).

Nous reprenons les notations 4.4.1.1. Nous supposons que (1−E)2−D et E²−D ne sont pas des carr´es dansk(x),queE etD sont de degr´e impairs et queδ est non nul.

Alors l’image par Ξ_H de la torsion de Jac(H)(k(x))est l’image par Ξ_H

de la 2-torsion de Jac(H)(k(x)). Elle est donc engendr´ee par les classes : 1. [δ], 2E E2−D ,[2δE], E2−D , 2. [1−2E], −δ E²−D , −δ(1−2E) E²−D ,[1] et 3. h (1−E)²−Di , E²−D , E²−D ,h (1−E)²−Di . D´emonstration.

Puisque δ, (1−E)2 −D, E, 1 −2E, D et E2 −D sont non nuls, le polynˆome

(y+δ(1−E))(y−δE)(y+δE)(y²−δ²D) est bien sans facteur carr´e (voir la proposition 4.4.1.2).

Nous avons suppos´e que Dn’est pas un carr´e dans k(x) (il est de degr´e impair) et queδ est non nul. Le polynˆome (y²−δ²D) est donc irr´eductible. Ainsi, d’apr`es la proposition 1.4.12, la 2-torsion de Jac(H)(k(x)) est en-gendr´ee par les points

2. < y−δE,0>,

3. < y+δE,0> et 4. < y2−δ2D >.

En fait trois de ces points suffisent `a engendrer la 2-torsion. Nous calculons maintenant l’image par Ξ_H de < y +δ(1−E),0 >, < y +δE,0 > et

< y−δE,0>. Nous savons que

* Ξ_H,2(< y+δ(1−E),0>) = [−δ],

* que Ξ_H,3(< y+δ(1−E),0>) = [δ(2E−1)],

* et que Ξ_H,4(< y+δ(1−E),0>) = [δ²((1−E)²−D)].

Nous souhaitons calculer Ξ_H,1(< y+δ(1−E),0>). D’apr`es la proposition 1.5.9, le produit des composantes de Ξ<sub>H</sub> (qui sont toutes `a valeurs dans

k(x)^×/k(x)^×2) est la classe triviale, donc l’image Ξ_H(< y+δ(1−E),0 >) est ´egale `a la classe

(1−2E)((1−E)²−D)

,[−δ],[−δ(1−2E)],

(1−E)²−D

.

Nous montrons de mˆeme que

Ξ_H(< y−δE,0>) = [δ],[2E(E²−D)],[2δE],[E²−D]

et

Ξ_H(< y+δE,0>) = [δ(1−2E)],[−2δE],[−2E(1−2E)(E²−D)],[(E²−D)]

.

1. Pour tout T ∈Jac(H)(k(x)), l’image Ξ_H(2T) est triviale. Or les images Ξ_H(< y+δ(1−E),0>), Ξ_H(< y−δE,0>), et Ξ_H(< y+δE,0>) ne sont pas triviales (carE2−Det (1−E)2−Dne sont pas des carr´es dansk(x)), donc les points< y+δ(1−E),0>, < y+δE,0>et< y−δE,0>ne sont pas des doubles dans Jac(H)(k(x)).

2. De mˆeme, le polynˆome 2E n’est pas un carr´e dans k(x) (il est de degr´e impair), donc l’image

Ξ_H,2(<(y+δ(1−E)),0>+<(y+δE),0>) = [−δ][−2δE] = [2E]

n’est pas triviale. Par cons´equent, le point < (y+δ(1−E))(y+δE),0 >

n’appartient pas `a 2Jac(H)(k(x)).

3. Les polynˆomesEet 1−2E sont premiers entre eux et le polynˆomeEn’est pas un carr´e dansk(x) (il est de degr´e impair). En utilisant la d´ecomposition en facteurs premiers dans k[x], nous en d´eduisons que −2E(1−2E) n’est pas un carr´e dansk(x). Par ailleurs, nous avons

Ainsi, l’image de < y+δ(1−E),0 > +< y−δE,0 > par Ξ_H,3 n’est pas triviale et donc < y+δ(1−E),0 > + < y −δE,0 > n’appartient pas `a 2Jac(H)(k(x)).

4. Nous savons que Ξ_H,1(< (y+δE),0 > +< (y−δE),0 >) = [1−2E]. Or 1−2E n’est pas un carr´e dans k(x) (il est de degr´e impair), donc

<(y+δE),0>+<(y−δE),0> n’est pas un double dans Jac(H)(k(x)). 5. Nous avons suppos´e que le polynˆome (1−E)² −D n’est pas un carr´e dansk(x). L’image Ξ_H,1(< y2−δ2D,0>) = [(1−E)2−D] n’est donc pas triviale. Par suite, le point< y²−δ²D,0>n’appartient pas `a 2Jac(H)(k(x)). La 4-torsion de Jac(H)(k(x)) est donc ´egale `a sa 2-torsion. Nous en d´eduisons que la torsion 2-primaire Jac(H)(k(x)) est ´egale `a sa 2-torsion.

Comme l’image d’un double par Ξ_H est triviale, nous avons, pour tout entier m∈N impair, l’´egalit´e Ξ_H(T) = Ξ_H(mT). En particulier, pour tout

m∈Nimpair, toutn∈Net tout point de 2ⁿm-torsionT, l’image Ξ_H(T) est l’image du point de 2n-torsion mT par Ξ_H. Ainsi, l’image de la torsion de Jac(H)(k(x)) par Ξ_Hest l’image de la torsion 2-primaire, c’est-`a-dire l’image de la 2-torsion. Cette image est donc engendr´ee par Ξ_H(< y+δ(1−E),0>),

Ξ_H(< y+δE,0 >) et Ξ_H(< y−δE,0>), ou, de fa¸con ´equivalente, par les images * Ξ_H(< y−δE,0>) = [δ],[2E(E²−D)],[2δE],[E²−D] , * Ξ_H(< y+δE,0>+< y−δE,0>) = [1−2E],[−δ(E²−D)],[−δ(1−2E)(E²−D)],[1] , et * Ξ_H(< y+δ(1−E),0>+< y+δE,0>+< y−δE,0>) = [(1−E)²−D],[E²−D],[E²−D],[(1−E)²−D]