2.3 Approche variationnelle de la pi´ ezo´ electricit´ e
2.3.2 Lagrangien d’un milieu pi´ ezo´ elelectrique
Sur la base des conclusions pr´ec´edentes, l’application du principe de Hamil- ton `a un milieu pi´ezo´electrique peut ˆetre entreprise. Ainsi, de mani`ere tout `a fait g´en´erale, `a l’aide des notations introduites lors de l’´etude sommaire de la th´eorie de l’´elasticit´e lin´eaire (cf. § 1.2.2.1), un mat´eriau pi´ezo´electrique occupant au re- pos, c’est-`a-dire dans sa configuration κ0, un volume (Ω0) d´elimit´e par une surface
ferm´ee (Σ0) est consid´er´e et rep´er´e dans un r´ef´erentiel (R) d´efini par un rep`ere
orthonorm´e R d’origine O. Dans sa configuration κ, autrement dit `a l’instant t, le solide occupe un volume (Ω) d´elimit´e par une surface ferm´ee (Σ). On d´esigne par ρ la masse volumique du mat´eriau pi´ezo´electrique qui est suppos´ee constante (sa va- riation avec la d´eformation du solide est en effet tr`es secondaire comparativement au ph´enom`ene ´etudi´e).
La mise en œuvre du principe de moindre action suppose une d´efinition pr´ea- lable du lagrangien. Il r´esulte des r´eflexions men´ees au § 2.2.5 que l’´ecriture de la
fonction de Lagrange dans un cadre purement m´ecanique s’exprime comme la dif- f´erence entre une ´energie cin´etiqueT et une ´energie potentielle U. Cependant, pour un syst`eme pi´ezo´electrique contenant des degr´es de libert´e ´electrom´ecaniques, une reformulation de ces quantit´es est n´ecessaire. Par d´efinition, l’´energie cin´etique T est en termes de variables g´en´eralis´ees une fonction de l’impulsion pi. Sa diff´eren-
tielle est alors donn´ee par la relation suivante :
dT = ˙qidpi pour i = 1, ..., n (2.20)
Or, le lagrangien ´etant une fonction des seules coordonn´ees qi et vitesses ˙qi, l’´ecri-
ture de ce dernier se fera plutˆot par le truchement de la co´energie cin´etique T∗ d´eduite de l’´energie cin´etiqueT par une transformation de Legendre, comme suit :
T∗
= ˙qipi− T (2.21)
Il est `a noter que la diff´erentielle dT∗ = pid ˙qi, qui r´esulte de la diff´erenciation de
l’´equation pr´ec´edente, atteste bien du fait que la co´energie cin´etique est une fonc- tion des vitesses g´en´eralis´ees ˙qi. N´eanmoins, nonobstant une d´ependance diff´erente
en termes de variables g´en´eralis´ees, l’´energie et la co´energie cin´etiques pr´esentent des formes identiques (tout du moins dans le cadre de la m´ecanique newtonienne). La distinction entre T et T∗ aurait par cons´equent pu ˆetre omise. Toutefois, pour les syt`emes ´electrom´ecaniques, il est n´ecessaire de distinguer les ´energies des co- ´
energies qu’elles soient d’origine ´electrique ou magn´etique, dans le cas par exemple d’une prise en consid´eration de ph´enom`enes non lin´eaires (cycle d’hyst´er´esis...). D`es lors, le lagrangien sera exprim´e par le biais de la co´energie cin´etique T∗ au lieu de la classique ´energie cin´etique T . Ceci ´etant convenu, pour un milieu pi´ezo´elec- trique assujetti aux hypoth`eses des milieux continus d´eformables, l’expression de la co´energie cin´etique s’exprime `a l’aide du vecteur d´eplacement{u} par la relation suivante [GR98] : T∗ = 1 2 Z Ω ρ{ ˙u}T{ ˙u}dΩ (2.22) Concernant l’´energie potentielleU, sa formulation dans le cadre de la pi´ezo´elec- tricit´e est plus d´elicate. D’apr`es l’investigation men´ee sur le principe de Hamilton dans la partie § 2.2.5, il a ´et´e montr´e que l’´energie potentielle est fonction des seules coordonn´ees g´en´eralis´ees qi. Or, si d’un point de vue m´ecanique le choix
des coordonn´ees g´en´eralis´ees est simple (par la suite, une formulation en termes de d´eplacement sera pr´ef´erentiellement adopt´ee), le choix des coordonn´ees g´en´era- lis´ees ´electriques est tributaire de l’application `a mod´eliser [GA98] [Nog05] [Pre06] :
– Dans le cas d’une application de type actionneur, les ´equipotentielles sont impos´ees sur les ´electrodes excitatrices de la c´eramique pi´ezo´electrique. Les variations du syst`eme sont directement issues de la tension d’alimentation. Compte tenu de la causalit´e physique, il paraˆıt ind´eniable de pr´ef´erer le couple de variables ind´ependantes mixtes (S, E) pour mod´eliser la dynamique d’une c´eramique pi´ezo´electrique employ´ee comme un actionneur. En outre, la tension d’alimentation ´etant le degr´e de libert´e de la fonction r´ealis´ee, elle
s’apparente naturellement `a une vitesse g´en´eralis´ee et c’est par cons´equent la convention « magn´etostatique » qui pr´evaut pour ce type d’application. Ainsi, cette formulation de type d´eplacement/flux revient `a adopter comme ´
energie potentielle U une enthalpie libre ´electrique G2 dont la densit´e volu-
mique est donn´ee par la relation suivante (cf. tableau [1.2]) :
G2(S, E) = 1 2{S} T [cE]{S} − {S}T[e]T{E} − 1 2{E} T [εS]{E} (2.23) Le lagrangien d’un milieu pi´ezo´electrique pour une application de type ac- tionneur s’´ecrit finalement comme la diff´erence entre la co´energie cin´etique T∗ et l’enthalpie libre ´electriqueG
2 telle que : L = 1 2 Z Ω h
ρ{ ˙u}T{ ˙u} − {S}T[cE]{S} + 2{S}T[e]T{E} + {E}T[εS]{E}idΩ (2.24) – Dans le cas d’une application de type capteur, la c´eramique pi´ezo´electrique est utilis´ee en circuit ouvert aux bornes de laquelle la tension induite par effet direct est mesur´ee. La quantit´e de charges sur les ´electrodes est par cons´equent impos´ee justifiant le choix du couple de variables ind´ependantes extensives (S, D) pour la mod´elisation du comportement ´electrom´ecanique de la c´eramique employ´ee en tant que capteur. Par ailleurs, la quantit´e de charge ´etant le degr´e de libert´e de la fonction r´ealis´ee, s’apparantant de ce fait `
a une coordonn´ee g´en´eralis´ee, la convention « ´electrostatique » se justifie pour ce type d’application. Ainsi, cette formulation de type d´eplacement/charge revient `a adopter comme ´energie potentielle U une ´energie libre ´electrique F dont la densit´e volumique est donn´ee par la relation suivante (cf. tableau [1.2]) : F (S, D) = 1 2{S} T[cD]{S} − {S}T[h]T{D} +1 2{D} T[βS]{D} (2.25)
Le lagrangien d’un milieu pi´ezo´electrique pour une application de type cap- teur s’´ecrit quant `a lui comme la diff´erence entre la co´energie cin´etiqueT∗ et l’´energie libre ´electrique F telle que :
L = 1 2 Z Ω h ρ{ ˙u}T{ ˙u} − {S}T[cD]{S} + 2{S}T[h]T{D} − {D}T[βS]{D} i dΩ (2.26) Il est `a noter que la mise en œuvre du principe de moindre action ne souffre pas de la convention adopt´ee. Les deux formulations sont strictement ´equivalentes dans l’application du principe de Hamilton et leur choix est seulement tributaire de la fonction `a mod´eliser. Fort de ce constat, l’´etablissement des ´equations gouvernant la dynamique d’un milieu pi´ezo´electrique va pouvoir ˆetre entrepris.