La r´ ecurrence qui prouve la r´ ecurrence

{t∈I | |p(t)| ≤ _M¹

ε sup_I|p| }

≤ε|I|.

D´emonstration Sinon il existeraitm ≥0,ε >0 et une suite de polynˆomesp_n∈ P^m telle que sup_[0,1]|p_n| = 1 et

{t ∈[0,1] | |p_n(t)| ≤ ¹_n }

≤ ε. Cet ensemble est une r´eunion d’au plus 2mintervalles. Par compacit´e de la sph`ere unit´e deP^m, cette suite p_n une valeur d’adh´erence p_∞ ∈ P^m. Ce polynˆome p_∞ est non nul, mais l’ensemble de ses racines est de mesure au moins ε. Contradiction.

Lemme 13.6 Soit I =∪α∈AI_α un recouvrement d’un intervalle compact I ⊂R par des intervalles I_α ouverts dans I. Alors, il existe un sous-recouvrement I =

∪_α∈A⁰I_α de chevauchement au plus 2.

Lechevauchementest le nombre maximum d’intervallesIα dont l’intersection est d’int´erieur non vide.

D´emonstration On extrait tout d’abord un recouvrement fini. On prend alors un intervalle I_α0 = [x₀, y₀[ contenant l’extr´emit´e gauche de I avecy₀ maximum.

Puis un intervalle I_α1 =]x₁, y₁[ contenant y₀ avec y₁ maximum. Et on continue.

Pour montrer le th´eor`eme 13.1 de r´ecurrence, on partira d’un pointx= ∆ dans un compact K<sup>0</sup> ⊂ X, ce qui nous donne une constante b par le crit`ere (iii) de Mahler. On veut contrˆoler, pour L∈S(∆), le covolume dansL deu_t(∆∩L). On introduit donc le polynˆome surR

p_L:t→d_ut∆(u_tL)².

C’est un polynˆome de degr´e au plus 2d²car on a l’´egalit´ep_L(t) = ku_te₁∧· · ·∧u_te_ik o`u e1, . . . , ei est une base de ∆∩L.

13.4 La r´ ecurrence qui prouve la r´ ecurrence

Pour d´ecrire le compact K dans lequel u_t∆ passe plus de 1−ε de son temps, on va utiliser le crit`ere (iv) de Mahler. Il s’agira donc de construire `a chaque instant tconvenable un drapeau completF de sous-espaces ∆-rationnels L_i dont on contrˆolera les covolumes carr´es p_Li(t).

On proc`edera par r´ecurrence, en ajoutant `a chaque ´etape, pour tout tempstun nouveau sous-espace `a un drapeau ∆-rationnel de longueur`. Le nombre d’´etape dans cette r´ecurrence est donc d−1. La proposition technique qui met en place cette r´ecurrence est la suivante.

Proposition 13.7 Soit β > 1 > α > 0 et posons β⁰ = c_dβ et α⁰ = α. Soient I un intervalle compact et F un drapeau ∆-rationnel incomplet tel que

(a) inf

Il existe un recouvrement fini de chevauchement au plus2de I par des intervalles compactsI⁰ tels que sur chaqueI⁰, il existe un drapeauF⁰ =F∪{L₀}avecL₀ ∈S_F

Remarque On ne peut pas en g´en´eral r´eduire la taille des intervallesI⁰ de sorte qu’ils soient d’int´erieur disjoint sans perdre les conditions (a⁰) et (d⁰).

D´emonstration de la proposition 13.7 Pour toutt₀ ∈I, on doit fournir un intervalle I⁰ contenant t₀ dans son int´erieur et un sous-espace L₀ ∈ S_F v´erifiant (a⁰), (b⁰), (c⁰) et (d⁰). On extraira alors le sous-recouvrement de chevauchement au plus 2 `a l’aide du lemme 13.6. On distingue deux cas.

1^er cas : Il existe L∈S_F tel que p_L(t₀)≤α.

D’apr`es le lemme 13.3, il n’y a qu’un nombre fini de tels sous-espace ∆ ra-tionnels L. On choisit donc un intervalle compact I⁰ de longueur maximal dont l’int´erieur contient t₀, pour lequel il existe L₀ ∈S_F tel que sup

On choisit alors un intervalle compactI⁰ dont l’int´erieur contientt0 sur lequel on a encore sup

t∈I⁰

p_L0(t)< β

Dans ce cas, la condition (a⁰) est automatique d`es que α⁰ ≤α.

Par la condition (c) et le lemme 13.4, la condition (b⁰) est vraie d`es queβ⁰ ≥c²_dβ.

Par (c) et le choix ci-dessus, la condition (c⁰) est aussi v´erifi´ee d`es que β⁰ ≥β.

La minoration p_L0(t₀)≥α garantit la condition (d⁰) d`es que α⁰ ≤α.

D´emonstration du th´eor`eme 13.1 On appliqued−1 fois la proposition 13.7.

On commence la premi`ere ´etape avec I = [0, T] et F = ∅. Pour valider la condition (a), il suffit de la comprendre en t = 0. D’apr`es la condition (iii) du crit`ere 13.2 de Mahler, la condition (a) est vraie avec une constante α=α<sub>0</sub> =b<sup>2</sup> uniforme pour ∆ dans un compact K<sup>0</sup> de X. Pour valider la condition (b), on applique le lemme 13.3 de Minkowski : chaque r´eseau u<sub>t</sub>∆ contient un vecteur non nul de norme au plusc<sub>d</sub>. La condition (b) est donc satisfaite avecβ =β<sub>0</sub> =c<sup>2</sup><sub>d</sub>. Noter qu’`a ce stade, la condition (c) est vide.

On construit ensuite successivement d−1 couples de r´eels α_k = αk−1 et β_k = (c_d)²β_k−1 ainsi que d−1 recouvrement de [0, T] par des intervalles compacts. Le premier ayant un chevauchement au plus 2, le deuxi`eme un chevauchement au plus 4,... , le dernier un chevauchement au plus 2^d−1. Le chevauchement total est donc au plus 2^d. On a donc α_d−1 = b² et β_d−1 = (c_d)^2d. Posons ε₀ = 2^−dε. Par le lemme 13.5 et les conditions (d⁰), dans chacun des intervalles I⁰, on a pour le sous-espaceL₀ correspondant

|{t ∈I⁰ |p_L0(t)< α_d−1

M_ε0 }| ≤ ε₀|I⁰|.

On retire de chacun de ces intervalles I⁰ les points t tels que pL0(t) < ^α_M^d−1

ε0 . L’ensembleJ de tous ces points t est de mesure au plus

2^dε₀T =εT.

Les r´eseaux u_t∆ correspondant aux temps t hors de J contiennent un drapeau complet de sous-espaces ∆-rationnel dont les covolumes carr´es sont dans l’inter-valle [^α_M^d−1

ε0

, β_d−1]. On applique la condition (iv) du crit`ere 13.2 de Mahler avec les constantesα = b/M

1

ε20 et β = (c_d)^d. Ces r´eseaux u_t∆ pour t 6∈ J sont donc dans

un compactK qui ne d´epend que de ε et de b.

R´ ef´ erences

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Univ. Paris-Sud & CNRS yves.benoist@math.u-psud.fr www.dma.ens.fr/˜benoist