Comme pour les alg`ebres associatives de dimension finie, ce sont les alg`ebres de Lie semisimples qui sont `a la fois les plus utiles, les plus subtiles et les mieux comprises.
D´efinition 2.5 La forme de Killing B =Bg d’une alg`ebre de Lie g est la forme bilin´eaire sym´etrique sur g donn´ee par B(X, Y) =trg(adXadY).
Le radical r de g est le plus grand id´eal r´esoluble de g.
Remarques - Le radical r existe. En effet, la somme de deux id´eaux r´esolubles deg est encore un id´eal r´esoluble.
- Le radical r est invariant par toute d´erivation Ddeg. En effet, on peut pour le v´erifier, supposer k =C. Mais r est invariant par tous les automorphismes de get en particulier par les automorphismes etD, pour tout t∈k.
D´efinition 2.6 Une alg`ebre de Lie gest semisimple si tout id´eal ab´elien de gest nul.
Une alg`ebre de Lie g est simple si 0 et g sont les seuls id´eaux de g et si dimg>1.
Voici d’autres d´efinitions ´equivalentes pour les alg`ebres de Lie semisimples Th´eor`eme 2.7 Les quatre affirmations suivantes sont ´equivalentes
i) Tout id´eal ab´elien de g est nul.
ii) Le radical r est nul.
iii) g est une somme directe d’id´eaux simples g=⊕igi. iv) La forme de Killing Bg est non d´eg´en´er´ee.
Remarques- Comme corollaire,la semisimplicit´e est invariante par changement de corps de base : pour toute extension de corps k ⊂ K, une k-alg`ebre de Lie g est semisimple ssi son extensiong⊗kK est uneK-alg`ebre de Lie semisimple.
- Comme autre corollaire, une alg`ebre de Lie semi-simple g n’a qu’un nombre fini d’id´eaux simples : ce sont les gi. En effet, si aest un id´eal simple diff´erent de tous lesgi, on a [a,gi]⊂a∩gi = 0 et doncaest dans le centre deg. Contradiction.
Lemme 2.8 Soit a un id´eal d’une alg`ebre de Lie g.
a) L’orthogonal a⊥ :={X ∈g|B(X,a) = 0} est un id´eal de g.
b) La forme de Killing de a est la restriction de celle de g.
D´emonstration du lemme 2.8
a) Cela r´esulte de l’´egalit´e B([X, Y], Z) +B(Y,[X, Z]) = 0, pour X, Y, Z ∈g.
b) Cela r´esulte de l’inclusion adXadY(g)⊂a, pour X, Y ∈a.
D´emonstration du th´eor`eme 2.7
i)⇒ii) Si r6= 0, on pose D0r=r, Dj+1r = [Djr, Djr]. Le dernier id´eal d´eriv´e non nulDjr est un id´eal ab´elien de g.
iii) ⇒ iv) Comme [gi,gj] = 0 et, par suite, B(gi,gj) = 0 pour i 6=j, on peut supposer g simple. Remarquons qu’on a g = [g,g] car, comme dimg > 1, g ne peut pas ˆetre ab´elienne. Le noyau de la forme de Killing B est un id´eal de g. Il est soit nul, soit ´egal `a g.
Il suffit de montrer que B est non nul. C’est le point le plus d´elicat de la d´emonstration. Supposons par l’absurde que B est nul. On note A = adg et M :={ϕ∈Endg|[ϕ, A]⊂A}.
Montrons que, pour a ∈ A et ϕ ∈ M, on a tr(ϕa) = 0. On peut pour cela supposer que a= [b, c] avec b, c∈A, car on a g= [g,g] et doncA= [A, A]. On a alors tr(ϕa) =tr([ϕ, b]c) = 0 car la forme de Killing est nulle.
Comme A est inclus dansM, le lemme ci-dessous prouve que tout ´el´ement de Aest nilpotent, donc par le th´eor`eme de Engel, l’alg`ebre de LieAest nilpotente.
Contradiction.
iv)⇒i) Soit a un id´eal ab´elien de g. On aB(a,g) = 0, donc a= 0.
ii) ⇒ iii) Par r´ecurrence sur dimg. Soit a un id´eal non nul minimal de g.
D’apr`es les remarques suivant la d´efinition 2.5, le radical r´esoluble de a est un id´eal de g. Il est donc nul. Par l’implication iii)⇒ iv), la forme de Killing de a est non d´eg´en´er´ee. On en d´eduit que g = a⊕a⊥ et que la forme de Killing de l’id´eal a⊥ est non d´eg´en´er´ee. Par r´ecurrence, a⊥ est une somme directe d’id´eaux
simples et g aussi.
On a utilis´e le
Lemme 2.9 Soit V =kd, A un k-sous-espace vectoriel de EndV et M = {ϕ∈ EndV | [ϕ, A] ⊂ A}. Soit ψ ∈ M tel que, pour tout ϕ ∈ M, on a tr(ϕψ) = 0.
Alorsψ est nilpotent.
D´emonstration On peut supposer que k = C. Ecrivons ψ = ψs+ψn la d´ e-composition de Jordan de ψ. On peut supposer ψs diagonale et ψn strictement triangulaire sup´erieure. L’´egalit´e ad(ψ) = ad(ψs) + ad(ψn) est aussi la d´ ecompo-sition de Jordan de ad(ψ). La partie semisimple ψs est donc aussi dans M. Son conjugu´e ϕ= ψs est aussi dans M. On a alors, en notant λi les valeurs propres deψ, P
i|λi|2 =tr(ϕψ) = 0. Doncψs= 0.
Proposition 2.10 Toute d´erivation d’une alg`ebre de Lie semisimple g est int´ e-rieure.
D´emonstration L’alg`ebre de Lie a := adg est un id´eal de l’alg`ebre de Lie d := Derg car on a l’´egalit´e [D,adX] = ad(DX), pour tout D ∈ d et X ∈ g.
Notons a⊥ l’orthogonal dans d de a pour la forme de Killing de d. Comme la forme de Killing dea est non d´eg´en´er´ee, on a l’´egalit´ed=a⊕a⊥.
Il suffit pour conclure de montrer que tout ´el´ementD ∈a⊥ est nul. Cela r´esulte de l’´egalit´e, ad(DX) = [D,adX]∈a∩a⊥ = 0, pour tout X ∈get de l’injectivit´e
de l’application adjointe.
Comme l’application adjointe ad : g → Derg est injective, cette proposition permet d’identifier g avec l’alg`ebre de Lie Derg des d´erivations de g. C’est tr`es utile car cela permet de voir toute alg`ebre de Lie semisimple comme l’alg`ebre de Lie d’un groupealg´ebrique : le groupe de ses automorphismes. Voici une applica-tion utile de ce fait.
D´efinition 2.11 Un ´el´ement X d’une alg`ebre de Lie semisimple est dit nilpotent si l’endomorphisme adX est nilpotent. Un ´el´ement X est dit semisimple si adX est semisimple.
Proposition 2.12 (d´ecomposition de Jordan) Soit g une alg`ebre de Lie semisimple. Tout ´el´ement X de g admet une d´ecomposition uniqueX =Xs+Xn
avec Xs semisimple, Xn nilpotent et [Xs, Xn] = 0.
D´emonstration
Unicit´e La d´ecomposition de Jordan de adX est ad(Xs) + ad(Xn).
Existence Il suffit de voir que la partie semisimple (adX)s de adX est une d´erivation car la proposition 2.10 prouvera qu’il existeXsdansgtel que ad(Xs) = (adX)s.
On peut supposer k = C. Soit gλ = S
p≥1Ker((adX−λ)p) de sorte que g =
⊕λ∈Cgλ. L’´el´ement (adX)s agit sur gλ par multiplication par λ. Il suffit donc de v´erifier que [gλ,gµ] ⊂ gλ+µ. Ce qui r´esulte de la formule suivante que l’on d´emontre par r´ecurrence sur p :
(adX−λ−µ)p[Y, Z] =P
0≤r≤pCpr[(adX−λ)rY,(adX−µ)p−rZ]
pour toutX, Y, Z ∈g.
Remarque Lorsque k=R, Un ´el´ement X deg est dit elliptique (resp. hyperbo-lique) si adX est semisimple `a valeurs propres imaginaires pures (resp. r´eelles).
On a encore une ´ecriture unique X = Xe +Xh +Xn avec Xe elliptique, Xh
hyperbolique et Xn nilpotent qui commutent deux `a deux.