Terminons cette partie en montrant comment les id´ees ci-dessus s’organisent pour montrer que le groupe GZ =O(Q,Z) est un r´eseau du groupe GR=O(Q,R).
Nous reprendrons ces id´ees plus en d´etail dans un cadre g´en´eral dans le chapitre 5
D´emonstration de la proposition 1.3 Ce groupeGRest unimodulaire (parce qu’il est engendr´e par des ´el´ements d’ordre 2 : les r´eflexions hyperplanes). La mesure ν sur le quotient GR/GZ induite par la mesure de Haar est donc GR -invariante. On veut montrer que cette mesure ν est finie.
Notons HR= SL±(d,R) et HZ= SL±(d,Z). On remarque tout d’abord que l’injection i:GR/GZ ,→HR/HZ est propre.
Pour v´erifier cela, on doit montrer que si une suite gnHZ avec gn ∈GR converge dans HR/HZ, alors la suite gnGZ converge dans GR/GZ. Notons hn une suite de HZ telle que gnhn converge dans HR. Comme l’injection GZ\HZ ,→ GR\HR est d’image discr`ete (elle s’identifie `a un ensemble de formes quadratiques `a coeffi-cients entiers), on peut ´ecrire, pour n grand hn =γnh avec γn ∈GZ et h ∈ HZ. La suitegnγn est donc convergente et l’injection i est propre.
La mesure ν peut donc ˆetre vue comme une mesure de Radon sur l’espace HR/HZ des r´eseaux de covolume 1. On veut bien sˆur appliquer une combinaison des corollaires 1.5 et 1.14. Pour cela, il suffit de construire une probabilit´e µ port´ee par GR v´erifiant la condition [HI]. Remarquons que cette condition ne fait plus intervenir le groupeGZ. Notons (p, q) la signature deQ. On peut choisir un produit scalaire euclidien de Rd et une base orthonorm´ee de Rd tels que, Q(x1, . . . , xp+q) =x21+· · ·x2p−x2p+1− · · · −x2p+q. On d´ecompose l’alg`ebre de Lie gde GR en une somme directeg =k⊕q, o`u
k={M ∈g|M =−tM} = {
A 0
0 D
|A=−tA , D=−tD}, q={M ∈g|M =tM} = {
0 B C 0
|C =tB}.
On prend pour µ la mesure sur GR image par l’application exponentielle d’une probabilit´e sym´etrique µ0 sur q dont le support est une boule centr´ee en 0. On v´erifie facilement l’´egalit´ek= [q,q]. Le groupe Γµest donc la composante connexe du groupe GR.
Commed≥3, l’action de la composante connexe deGRsur Rdest irr´eductible.
Cette probabilit´e µv´erifie bien la condition [HI].
La mˆeme d´emonstration permet de retrouver le
Corollaire 1.15 Pour d≥2, le groupeSL(d,Z) est un r´eseau de SL(d,R).
2 Alg` ebres de Lie semisimples
Ce chapitre est constitu´e de quelques rappels sur les alg`ebres de Lie semisimples
2.1 Alg` ebres de Lie nilpotentes et r´ esolubles
Commen¸cons par ´etudier les alg`ebres de Lie r´esolubles c’est-`a-dire celles obtenues par extensions successives d’alg`ebres ab´eliennes.
Toutes nos alg`ebres de Lie sont de dimension finie sur un corps k de caract´ e-ristique nulle.
D´efinition 2.1 Une alg`ebre de Lie est un k-espace vectorielg muni d’une appli-cation bilin´eaire antisym´etrique `a valeurs dans g not´ee [., .] v´erifiant l’identit´e de Jacobi : pour tout X, Y, Z ∈g,
[X,[Y, Z]] = [[X, Y], Z] + [Y,[X, Z]]
Exemples fondamentaux - L’alg`ebre de Lie d’un groupe de LieG, c’est-`a-dire l’espace des champs de vecteurs invariants par translation `a gauche, est une R -alg`ebre de Lie. Rappelons que toute R-alg`ebre de Lie g est l’alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie connexe et simplement connexe. Celui-ci est uniquement d´etermin´e par g.
- L’alg`ebre de Lie End(kd) avec le crochet [A, B] = AB−BA. Remarquons que, mˆeme si nous n’utiliserons pas ce fait, toute alg`ebre de Lie s’identifie `a une sous-alg`ebre de Lie de End(V), par le th´eor`eme d’Ado.
- Un endomorphisme D∈End(g) d’une alg`ebre de Lie g est une d´erivationsi D([Y, Z]) = [DY, Z] + [Y, DZ], pour toutY, Z ∈g.
L’ensemble Der(g) des d´erivations de g est une sous-alg`ebre de Lie de End(g).
Pour toutX dansg, on note adX lad´erivation int´erieure donn´ee par adX(Y) = [X, Y], pour toutY ∈g. L’application ad : g→Dergest un morphisme d’alg`ebres de Lie, i.e. ad[X, Y] = [adX,adY], pour tout X, Y ∈g. Ce morphisme est appel´e le morphisme adjoint, son noyau est le centre z de g, z :={X ∈ g | [X,g] = 0}.
Historiquement, le mot d´erivation est un raccourci pour l’expression “d´erivation d’un groupe `a un param`etre d’automorphismes”.
D´efinition 2.2 Un id´eal de g est un sous-espace h tel que [g,h]⊂h.
Une alg`ebre de Lie g est ab´elienne si [g,g] = 0. Elle est nilpotente (resp. r´ eso-luble) si il existe un drapeau d’id´eaux 0 = g0 ⊂ · · · ⊂ gi ⊂ · · · ⊂ gp = g tels que [g,gi]⊂gi−1 (resp. gi/gi−1 est ab´elienne), pour tout i= 1, . . . , p.
Exemples fondamentaux - L’alg`ebre de Lie ad ⊂ End(kd) des matrices dia-gonales est ab´elienne.
- L’alg`ebre de Lie = u+d ⊂ End(kd) des matrices strictement triangulaires su-p´erieures est nilpotente.
- L’alg`ebre de Lie p+d = ad ⊕ u+d des matrices triangulaires sup´erieures est r´esoluble.
Les deux th´eor`emes suivants expliquent en quoi ces exemples sont fondamen-taux.
Th´eor`eme 2.3 (Engel) Soit V un k-espace vectoriel de dimension d et g ⊂ End(V) une sous-alg`ebre de Lie dont tout ´el´ement est nilpotent. Alors il existe une base de V telle que g⊂u+d.
Remarque L’alg`ebre de Lie g = C
0 1 1 0
est nilpotente, car ab´elienne, mais ses ´el´ements ne sont pas nilpotents.
D´emonstration On proc`ede par r´ecurrence sur dimg. Il suffit de trouver un vecteurv dans V annul´e par g.
On remarque tout d’abord que, pour X∈g, adX est nilpotent. En effet, pour tout Y ∈EndV,
(adX)n(Y) = P
0≤r≤n(−1)rCnrXn−rY Xr est nul pourn ≥2 dimV.
Soit h g une sous-alg`ebre de Lie maximale. L’hypoth`ese de r´ecurrence appliqu´ee `a l’action adjointe de h dans g/h prouve qu’il existe un sous-espace h0 =kX ⊕h de g tel que [h,h0]⊂ h. Comme [X, X] = 0, h0 est une sous-alg`ebre de Lie de g. Par maximalit´e deh, on ah0 =g et h est un id´eal de codimension 1 dans g.
Posons alors W ={w∈V |hw= 0}. C’est un sous-espace g-invariant deV. Il suffit de prendrev dans le noyau de la restriction de X `aW. Th´eor`eme 2.4 (Lie) Soient K un corps alg´ebriquement clos, V un K-espace vectoriel de dimension d et g⊂End(V) une sous-alg`ebre de Lie r´esoluble. Alors il existe une base de V telle que g⊂p+d.
Remarque L’alg`ebre de Lie g = R
0 1 1 0
est r´esoluble, car ab´elienne, mais elle ne stabilise pas de droite dans R2.
D´emonstrationEn proc´edant par r´ecurrence sur dimV, il suffit de trouver dans V une droite g-invariante. Soienth un id´eal de codimension 1 deg etX ∈grh.
En raisonnant par r´ecurrence sur dimg, on peut supposer qu’il existe un vecteur
v0 ∈ V et une forme lin´eaire λ ∈ h∗ tels que, pour tout H ∈ h, on a Hv0 = λ(H)v0. Posons vi = Xiv0 et notons W l’espace vectoriel engendr´e par tous les vi. On v´erifie par r´ecurrence sur i que Hvi − λ(H)vi est combinaison lin´eaire dev0, . . . , vi−1. En particulier, W esth-invariant. On en d´eduit que λ([H, X]) =
1
dimWtrW([H, X]) = 0. On peut alors pr´eciser le calcul pr´ec´edent par r´ecurrence sur iet obtenir Hvi =λ(H)vi, pour toutH ∈h. Il suffit alors de prendre pour v un vecteur propre deX dans W. Un tel vecteur existe carK est alg´ebriquement
clos.