raisonnant comme pour les points précédents, il s’agit de montrer queµcpAq ľµpAq,
@APBX.
Nous pouvons supposerKnÕX(justifier).
Dans un premier temps, montrons que µcpFq ľ µpFq pour tout fermé F. Pour ce faire, posonsLn :“ FXKn,@n. AlorsLnest un compact etLn Õ F; en particulier, µpLnq ÕµpFq. Par ailleurs, nous avonsµcpFq ľµpLnq,@n. En passant cette inégalité à la limite surn, nous obtenons (justifier)µcpFq ľµpFq.
Soit maintenant A P BX. Si F est un fermé etF Ă A, alorsµcpAq ľ µcpFq ľ µpFq.
En prenant le supsur F et en utilisant le point c), nous obtenonsµcpAq ľ µfpAq “
µpAq. CQFD
4.32 Remarque. Le schéma de la preuve du théorème4.25a)–c) esttypiquepour les rai-sonnements en théorie de la mesure.Le cœur de la preuve consiste à montrer les propriétés des mesures finies. Pour ce faire, il est commode d’utiliser le théorème de la classe monotone.Des hypothèses du typeσ-finitude permettent par la suite de s’affranchir, à peu de frais, de
l’hypothèse de finitude de la mesure. ˛
Démonstration du corollaire4.26. Posons Kj :“ Bp0, jq et Uj :“ Bp0, jq, @j P N˚. Alors Yjľ1Kj “ Yjľ1Uj “ Rn. CommeUj Ă Kj, nous avons µpUjq ĺ µpKjq ă 8. Nous
concluons grâce au théorème4.25d). CQFD
Démonstration du corollaire4.27. Vérifier ! CQFD
4.5 La mesure de Lebesgue
Dans cette section, nous définissons la mesure la plus importante, celle de Le-besgue, sans avoir, pour l’instant, les moyens de vérifier son existence.
4.33 Définition (Pavé de Rn). Un pavé de Rn est un ensemble de la forme P “I1ˆI2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆIn, avec chaqueIj intervalle.
De manière intuitive, siP est un pavé on définit la mesure (« volume »)mpPq deP comme le produit des longueurs desIj (avec la convention0¨ 8 “0).
4.34 Théorème(Existence et propriétés de la mesure de Lebesgue). DansRn, il existe une unique mesure borélienneνn telle que, pour chaque pavéP, on aitνnpPq “mpPq.
Cette mesure est lamesure de Lebesguesur les boréliens deRn. De plus,νna les propriétés suivantes :
66
Petru Mironescu Mesure et intégration
a) νnest donnée, pour tout borélienA, par la formule νnpAq “ inf
#ÿ
jľ0
mpPjq; Pj est un pavé deRn, @j, AĂ Yjľ0Pj
+ .
b) (Invariance par isométries) SiR est une isométrie deRn,† alors, pourA P BRn, on aνnpRpAqq “νnpAq.
c) SiAPBRn etB PBRm, alorsνn`mpAˆBq “νnpAq ¨νmpBq. 4.35 Définition(Tribu de Lebesgue).
a) Lamesure de Lebesgue dansRnest la complétée deνn. Elle est notéeλn. b) Latribu de Lebesgue dansRnest la tribu complétée deBRnpar rapport àνn.
Elle est notéeLn.
Le chapitre5est consacré à la construction de la mesure de Lebesgueν1. Nous y établirons aussi quelques-unes de ces propriétés ; des propriétés de νn, n ľ 2, seront obtenues dans le chapitre9. Nous nous contentons ici de montrer quelques propriétés simples deνn.
4.36 Proposition.
a) νnestσ-finie.
b) νnest une mesure de Radon.
c) νnest unique.
d) νn est invariante par translations, c’est-à-direνnptxu `Aq “νnpAq,@A PBRn,
@xPRn.
e) ν1 est donnée par la formule ν1pAq “ inf
#ÿ
j
pbj ´ajq; AĂ Yjsaj, bjr +
, @APBR. ˛ (4.15)
Exercices
4.37 Exercice. SoitU un ouvert non vide deRn. a) Montrer queνnpUq ą0.
b) Soientf, g : U Ñ Rdeux fonctions continues telles que f “ g νn-p. p. Montrer que
f “g. ˛
†. Isométrie deRn: applicationR:RnÑRntelle que}Rpxq ´Rpyq}2“ }x´y}2,@x, yPRn. De manière équivalente, il existeUmatrice orthogonale etaPRntels queRpxq “U x`a,@xPRn.
Mesures 4.5 La mesure de Lebesgue
4.38 Exercice.
a) λnestσ-finie.
b) λnest l’unique mesure surLntelle queλnpPq “mpPqpour tout pavé deRn. c) λ1est donnée par la formule
λ1pAq “inf
#ÿ
j
pbj´ajq;AĂ Yjsaj, bjr +
, @APBR. ˛
4.39 Exercice(Exemple d’ensemble non borélien – et non Lebesgue mesurable). Définis-sons, pourx, yP r0,1s, la relationx„ysi et seulement six´yPQ.
a) Montrer que„est une relation d’équivalence.
Nous pouvons donc écrirer0,1scomme l’union de classes d’équivalenceCi, qui sont d. d. d. :r0,1s “ \iPICi.
Prenons, pour chaquei, un élément et un seulxi PCi et définissonsA:“ txi;iPIu.
PosonsAq:“ tqu `A,@qPQX r´1,1s.
b) Montrer queAqXAr“ Hsiq‰r.
c) Montrer quer0,1s Ă YqPQXr´1,1sAq Ă r´1,2s.
d) En supposantALebesgue mesurable, calculerλ1pAqqen fonction deλ1pAq.
e) En déduire que1ĺ 8 ¨λ1pAq ĺ3.
f) Conclusion :An’est pas Lebesgue mesurable. En particulier,An’est pas borélien.
g) (On ne peut pas bien mesurer toutes les parties deR) Siµ : PpRq Ñ r0,8sest une mesure invariante par translations, alors soitµ“0, soitµpIq “ 8pour tout intervalle
non dégénéréI ĂR. ˛
Démonstrations
Démonstration de la proposition4.36.
a) Nous avonsRn“ Y8j“1r´j, jsn, etνnpr´j, jsnq “ p2jqnă 8.
b) SiK est un compact de Rn, alors il existeM ą 0 tel que}x}8 ĺ M,@x P K; d’où K Ă r´M, Msn. Il s’ensuit queνnpKq ĺνnpr´M, Msnq “ p2Mqnă 8.
c) SoitCnl’ensemble des unions finies de pavés deRn. AlorsCnest un clan et, de plus, tout élément deCns’écrit comme une union d. d. d. de pavés deRn(exercice1.35). Si µest une mesure borélienne telle queµpPq “ mpPq pour tout pavé, alors, de ce qui précède,µ“νnsurCn.
Nous avons clairement Cn Ă BRn. Par ailleurs, Cn contient les pavés ouverts, qui engendrentBRn (proposition 2.16c)). Il s’ensuit queTpCnq Ą BRn, d’oùTpCnq “ BRn.
La mesureνnétantσ-finie, nous obtenons de ce qui précède et de la proposition4.23 queµ“νn, et donc queνnest unique.
68
Petru Mironescu Mesure et intégration
d) Notons d’abord queAĂRnest borélien si et seulement sitxu `Al’est ; ceci s’obtient de l’exercice2.20appliqué à l’homéomorphismeΦ :RnÑRn,Φpyq:“x`y.
PosonsµpAq :“νnptxu `Aq,@A PBRn. Alorsµest une mesure borélienne (vérifier) etµpPq “νnpPqpour tout pavé. Nous concluons comme au point c).
e) «ĺ» SiAPBRetAĂ Yjsaj, bjr, alors ν1pAq ĺν1pYjsaj, bjrq ĺÿ
j
ν1psaj, bjrq “ÿ
j
mpsaj, bjrq “ÿ
j
pbj ´ajq, d’où «ĺ» dans (4.15).
«ľ» Soit`le membre de droite de (4.15). Soit U un ouvert deR. Rappelons queU est une union a. p. d. d’intervalles ouverts d. d. d.saj, bjr(exercice2.22). Nous avons doncν1pUq “ř
jpbj ´ajq.
Si, de plus, U ĄA, nous déduisons de ce qui précède queν1pUq ľ `. En utilisant ce fait et le corollaire4.26, nous obtenons
ν1pAq “inftν1pUq;U ouvert etU ĄAu ľ`. CQFD
4.6 Pour aller plus loin
4.6.1 Mesures invariantes par isométries
Il s’ensuit de l’exercice4.39qu’il n’est pas possible de construire surPpRqune mesureµinvariante par translations telle que la mesure de chaque intervalle non dégénéré et borné soit un nombre danss0,8r. De même, il n’est pas possible de construire surPpRnqune mesure invariante par isométries telle que la mesure de chaque ouvert non vide et borné soit un nombre danss0,8r. Pour pouvoir espérer obtenir cette propriété, il faut donc exiger moins deµ. Les exigences minimales sont :
µ:tAĂRn; Abornéu Ñ r0,8r. (4.16)
µpAYBq “ µpAq `µpBqsiAXB “ H, @A, Bbornés. (4.17) µpRpAqq “µpAq, @Aborné, @R isométrie. (4.18)
Il existe unAborné tel queµpAq ą0. (4.19)
Nous avons les résultats suivants.
4.40 Théorème.
a) (Banach [2]) Pourn “1,n “2, il existe une fonctionµsatisfaisant (4.16)–(4.19).
b) (Hausdorff [12]) Pourn ľ3, il n’existe pas une telleµ. ˛ La partie b) du théorème 4.40 est devenue célèbre grâce au résultat suivant, hautement contre-intuitif, qui l’implique.
Mesures 4.6 Pour aller plus loin 4.41 Théorème(Paradoxe de Banach-Tarski [1]). SoitB une boule dansRn, avec nľ3. SoitCune translatée deB telle queBXC “ H.
Il existe k P N˚, une partition B “ B1 \ . . .\ Bk de B et des isometries R1, . . . ,RkdeRntelles que :R1pB1q \. . .\RkpBkq “ B\C. ˛ Démonstration de « théorème4.41ùñthéorème4.40b) ». Soit n ľ 3. Supposons, par l’absurde, l’existence de µ satisfaisant (4.16)–(4.19). Notons que si µ satisfait (4.16) – (4.17), alors µpA1Y. . .YAmq ĺř
jµpAjq, avec égalité si les ensembles bornésAjsont d. d. d. (vérifier).
SoitAĂRntel que0ăµpAq ă 8et soitBune boule contenantA. SoitCune translatée deBtelle queBXC“ H. Avec les notations du paradoxe, nous avons
0ă2µpAq ĺ2µpBq “µpBq `µpCq “µpB\Cq “µp\kj“1RjpBjqq
“ ÿk j“1
µpRjpBjqq “ ÿk j“1
µpBjq “µp\kj“1Bjq “µpBq ă 8,
ce qui est impossible. CQFD
4.6.2 Convergences d’une suite de fonctions
Nous discutons ici, sans donner les démonstrations, les relations entre conver-gence simple, converconver-gence uniforme et converconver-gence « en mesure » d’une suite de fonctions. Sur ce sujet, une bonne référence est Halmos [11, Section 22].
Le cadre est celui des fonctions mesurablesfn, f : X Ñ R, avecpX,T , µqun espace mesuré.†
4.42 Définition.
a) fn Ñf en mesuresi pour toutεą0nous avons
nÑ8lim µptxP X;|fnpxq ´fpxq| ľεuq “0.
b) La suitepfnqnestde Cauchy en mesuresi pour toutε ą0nous avons
m,nlimÑ8µptxPX; |fnpxq ´fmpxq| ľεuq “ 0. ˛ 4.43 Définition.
a) fn Ñf presque uniformémentsi pour toutε ą0il existe un ensembleA “Aε P T tel queµpAq ă εetfn Ñf uniformément surXzA.
b) La suite pfnqn est de Cauchy presque uniforme si pour tout ε ą 0 il existe un ensembleA“Aε PT tel queµpAq ă εet
m,nlimÑ8suppt|fnpxq ´fmpxq|; xPXzAu “ 0. ˛
†. Pour simplifier les énoncés, nous supposons que les fonctions sont finies en tout point.
70
Petru Mironescu Mesure et intégration
Le théorème d’Egoroff est à première vue étonnant. L’implication classique est « convergence uniformeùñ convergence simple ».
4.44 Théorème(Théorème d’Egoroff). Soitµfinie.
a) Sifn Ñf p. p., alorsfn Ñf presque uniformément.
En particulier, « convergence simple ùñ convergence presque uniforme » (si µest finie).
b) Sifn Ñf p. p., alorspfnqnest de Cauchy presque uniforme. ˛ Les implications opposées à celles données par le théorème d’Egoroff sont également vraies.
4.45 Proposition. Soitµfinie.
a) Sifn Ñf presque uniformément, alorsfn Ñf p. p.
b) Si pfnqn est une suite de Cauchy presque uniforme, alors il existef telle que
fn Ñf p. p. et presque uniformément. ˛
En combinant les deux résultats précédents, nous obtenons donc,siµest finie, l’équivalence :
convergence p. p. ðñ convergence presque uniforme.
De même,siµest finie, alors nous avons, cette fois -ci « à une sous-suite près »,† l’équivalence entre convergence en mesure et convergence presque uniforme.
4.46 Proposition. Soitµfinie.
a) Sifn Ñf presque uniformément, alorsfn Ñf en mesure.
b) Réciproquement, si fn Ñ f en mesure, alorsil existe une sous-suite pfnkq telle
quefnk Ñf p. p. et presque uniformément. ˛
Dans l’esprit du théorème d’Egoroff, qui affirme que la convergence simple est
« presqu’équivalente » à la convergence uniforme pour les mesures finies, notons la « presqu’équivalence » entre mesurabilité et continuité dans le cas des mesures boréliennes finies.
4.47 Théorème (Théorème de Vitali). Soit µune mesure borélienne finie sur un espace métriqueX.
a) (Théorème de Vitali)‡Soitf :X ÑRune fonction borélienne.
Pour toutε ą0il existe un borélienA “Aεtel queµpAq ă ε, avecf continue surXzA.
†. Nous rencontrerons une situation similaire pour le théorèmede convergence dominée7.2et sa
« réciproque », théorème7.4, qui nécessite de passer à une sous-suite.
‡. Plutôt connu comme théorème de Lusin (Louzine). Prouvé par Vitali, il fut redécouvert par Lusin sous la forme suivante (surr0,1s) : sif : r0,1s ÑRest borélienne etε ą0, alors il existe g:r0,1s ÑRcontinue etAĂ r0,1sborélien tels queν1pAq ăεetf “gsurr0,1szA.
Mesures 4.6 Pour aller plus loin b) « Réciproquement », soit f : X Ñ R telle que pour tout ε ą 0 il existe un
borélienA“Aεtel queµpAq ă ε, avecf continue surXzA. Alors il existe une fonction borélienneg :X ÑRtelle quef “gp. p. ˛ Démonstration.
a) Nous allons montrer l’existence deAd’abord pourf fonction caractéristique, puis pourf étagée, ensuite pourfborélienne bornée et enfin pourfborélienne quelconque.†
SoientB P T,f :“ χBetε ą 0. CommeµpXq ă 8, il existeFfermé,U ouvert tels que F ĂB ĂUetµpUzFq ă ε(théorème4.25). PosonsA:“UzF. Nous avonsµpAq ăε. Par ailleurs,χBest continue sur les fermésF etXzU (vérifier), donc surXzA “ F \ pXzUq (justifier).
Soitfétagée,f “ř
jbjχBj. SoitAj PT satisfaisantµpAjq ăε{2j`1etχBjcontinue sur XzAj. SiA:“ YjAj, alorsµpAq ăεetfest continue surXzA(vérifier).
Soitfborélienne bornée. Soitpfjqj une suite de fonctions étagées telle quefj Ñ f unifor-mément.‡SoitAj PT avecµpAjq ă ε{2j`1etfjcontinue surXzAj. SiA:“ YjAj, alors µpAq ăεet chaquefj est continue surXzA. Par convergence uniforme,fest continue sur XzA.
Enfin, soitf : X Ñ Rborélienne. Soitg :“ arctanf : X Ñs ´π{2, π{2r. La fonction gest borélienne bornée. SoitA P T tel queµpAq ă ε, avecgcontinue surXzA. Comme f “tang,fest continue surXzA.
b) SoitAjtel queµpAjq ă1{pj`1q, avecfcontinue surXzAj. Posonsfj :“f|XzAj :Aj ÑR, A:“ XjAj,gpxq:“
#fpxq, sixPXzA 0, sixPA .
L’ensembleAest borélien etµpAq “0(vérifier), d’oùf “gp. p. Comme XzA“Xz XjAj “ YjpXzAjq,
nous avons, pour toutBPBRtel que0RB,
g´1pBq “ txPX;gpxq PBu “ txPXzA;gpxq PBu
“ txP YjpXzAjq;gpxq PBu “ YjtxPXzAj;gpxq PBu “ Yjpfjq´1pBq.
De même, si0PB, alors
g´1pBq “AY Yjpfjq´1pBq.
Dans les deux cas, nous avonsg´1pBq PBX(vérifier), et doncgest borélienne. CQFD
†. Sans le nommer, nous faisons un raisonnement par classes monotones, version fonctions au lieu d’ensembles. Pour l’analogue du théorème de la classe monotone dans ce contexte, voir par exemple Barbe et Ledoux [3, Théorème I.3.5].
‡. Pour justifier l’existence de la suitepfjqj, il faut examiner la preuve du théorème3.5.
72
Chapitre 5
Constructions de mesures
5.0 Aperçu
La section5.1est consacrée à la construction de lamesure de Lebesgue. Comme nous allons le voir, le cœur de la preuve consiste à construire la mesure de Le-besgue sur s0,1r; le reste est « automatique ». La construction est celle « histo-rique » ; les constructions plus conceptuelles présentes souvent dans les textes reposent sur la notion demesure extérieureet lesthéorèmes de Carathéodory(section 5.2.2), qui sont une relecture de la preuve de Lebesgue.
Pour le « même prix » que la construction de la mesure de Lebesgue, nous obtenons lesmesures de Stieltjes(section5.2.1), que nous n’utiliserons pas dans ce texte, mais qui sont très utilisées en théorie des probabilités, théorie du signal ou théorie analytique des nombres.
Enfin, nous évoquons (sans détails) dans la section5.2.3la belle idée de Haus-dorff, consistant à décrire, par une même formule, la longueur, l’aire, le volume, et bien plus (les mesures fractionnaires).