mesu-rables. ˛
3.1 Définition. Caractérisation
Dans cette section, nous définissons les fonctions mesurables et donnons des caractérisations (qui peuvent être vues comme des définitions alternatives) de celles-ci. Le point de départ est celui desfonctions étagées.
3.1 Notations.
a) Sif :X ÑY etB ĂY, alorsf´1pBq:“ txPX;fpxq PBu.
b) Pour alléger l’écriture, si B :“ tyu, nous écrivonsf´1pyqau lieu de f´1ptyuq. Ainsi,
f´1pyq:“ txPX;fpxq “yu. ˛
3.2 Définition(Fonction étagée). Unefonction étagéeest une fonctionf :X Ñ Rde la formef “ř
iaiχAi, où :
i) La somme a unnombre fini de termes.
ii) ai P R,@i.
iii) Ai PT ,@i.
3.3 Définition(Fonction mesurable). Unefonctionf :X ÑRestmesurables’il existe une suitepfnqnde fonctions étagées telle quefnÑf simplement.
Dans le cas particulier où pX, dq est un espace métrique etT est la tribu borélienne,f est unefonction borélienne.
Dans le cas particulier de l’espace pRn,Lnq, f est une fonction Lebesgue mesurable.†
3.4 Remarque.
a) La question «f est-elle mesurable ? » n’a pas de sens si T n’est pas précisée ; la ré-ponse dépend deT. Voir la remarque1.19.
b) Dans le cas particulier oùX ĂRn, sauf spécification contraire, la tribu considérée est la tribu borélienne induite parBRnsurX, c’est-à-direBX “ tBXX;B PBRnu(voir l’exercice2.19). Donc lorsqueXĂRn, « mesurable“borélien ». ˛ Comme expliqué dans l’aperçu, les fonctions mesurables peuvent être décrites en termes d’images réciproques.
†. Lnest latribu de Lebesgue, qui sera introduite dans la définition4.35.
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3.5 Théorème (Caractérisation des fonctions mesurables). f : X Ñ R est mesurable si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
i) f´1p8q PT. ii) f´1p´8q PT.
iii) f´1pBq PT pour toutB PBR.
3.6 Remarque. Supposonsf :X ÑR(c’est-à-dire,f ne prend pas les valeurs˘8). Dans ce cas, la condition de mesurabilité devientf´1pBq P T,@B P BR. Cette condition est
équivalente à (3.1) (exercice3.15). ˛
La preuve du théorème 3.5 (mais pas son énoncé) mène à la conclusion sui-vante.
3.7 Corollaire. Toute fonction mesurable positive est la limite d’une suite croissante de fonctions étagées.
Voici une autre caractérisation des fonctions mesurables, plus utilisée dans la pratique que le théorème3.5. Son énoncé est à mettre en rapport avec lessystèmes de générateurs(remarque2.15et propriété2.16).
3.8 Proposition. f :X ÑRest mesurable si et seulement si nous avons txPX; fpxq ą au “f´1psa,8sq PT pour touta PR.
En particulier,f :X ÑRest mesurable si et seulement si nous avons
f´1psa,8rq PT pour toutaP R. ˛
Le résultat suivant est un théorème-définition: si f : X Ñ Rn, nous pouvons prendre chacune des propriétés équivalentes 1 et 2 comme définition de la me-surabilité. À mettre en parallèle avec l’équivalence (avec cette fois-ci X espace métrique)
f “ pf1, . . . , fnq:X ÑRncontinue ðñ fi continue,@iP J1, nK.
3.9 Théorème. Soit f “ pf1, f2, . . . , fnq : X Ñ Rn. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Chaquefiest mesurable,iPJ1, nK. 2. Pour toutB PBRn,f´1pBq PT .
Si l’une de ces deux conditions est satisfaite,f est appeléemesurable.
Cas particulier :f :X ÑCest mesurableðñRefetImf sont mesurables. ˛
Fonctions mesurables 3.1 Définition. Caractérisation Les fonctions ne sont pas toujours définies sur l’espace entierX, mais unique-ment sur une partieAde celui-ci. Nous définissons ici la notion de mesurabilité dans ce cas. Ce n’est pas la seule définition possible ; une autre définition,qui n’est pas équivalente à celle-ci, est suggérée dans la remarque3.12.
3.10 Définition. SiAĂXet sif :AÑR, alorsf estmesurablesi et seulement si : i) Aest mesurable.
ii) f étendue par la valeur0surAcest mesurable.
Même définition sif :AÑRn.†
(Reformulation de l’item ii) : la fonction χAf, définie surX à valeurs dansR
ouRn, est mesurable.) ˛
L’énoncé qui suit est l’analogue des théorèmes 3.5 et 3.9 et de la proposition 3.8pour des fonctions définies uniquement surAĂX.
3.11 Proposition. SoitAĂXmesurable.
a) f : A ÑRest mesurable si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
i) f´1p8q PT. ii) f´1p´8q PT.
iii) f´1pBq PT pour toutB PBR.
b) Une autre caractérisation :f :AÑRest mesurable si et seulement si f´1psa,8sq PT, @aPR.
c) f :AÑRnest mesurable si et seulement sif´1pBq P T,@B P BRn. ˛ 3.12 Remarque. En utilisant la proposition3.11, nous pouvons déduire facilement que la mesurabilité def (au sens de la définition3.10) est équivalente à :f :AÑ R(ouRn) est mesurable par rapport à la tribu induiteTA“ tBXA;B PTu.
Cette équivalence n’est vraie que siAest mesurable. ˛
Exercices
3.13 Exercice. Soitf :XÑRune fonction étagée. Montrer quef´1pBq PT,@BĂR. ˛ 3.14 Exercice. Soientf, g:XÑRfonction étagées etλPR. Montrer quef`getλfsont
étagées. ˛
Cet exercice explique pourquoi (3.1) serait une bonne définition.
†. Sif est à valeurs dansR, alors0est le nombre réel0. Sif est à valeurs dansRn, alors0est le vecteur0Rn.
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3.15 Exercice. Soitf :X ÑR. Montrer que
f´1pBq PT,@B PBR ðñ f´1pUq PT,@U ĂRouvert. ˛ L’exercice qui suit sera utilisé dans la preuve du théorème3.5.
3.16 Exercice. SoitpxnqnĂRune suite ayant une limite. Nous avons
limn xnąaPRðñ DkPN˚,DmPNtels quexnąa`1{k, @nľm. ˛ 3.17 Exercice. SoitAĂX. AlorsχAest mesurable si et seulement siAl’est. ˛ L’exercice qui suit estfondamental. Il offre uneboîte à outils efficace pour mon-trer qu’un fonction est mesurable.†
3.18 Exercice. SoitpX, dqun espace métrique.
a) SoientAPBX etf :AÑRcontinue. Alorsf est borélienne.
En particulier, toute fonction continuef :X ÑRest borélienne.
b) Plus généralement, si f est continue en dehors d’une partie finie de X, alors f est borélienne.
c) Encore plus généralement. SoientA1, A2, . . . ,boréliens d. d. d. tels queX “ \kAk. Pour chaqueAk, soitfk :Ak ÑRune fonction continue. Soitf : X Ñ Rdéfinie par fpxq:“fkpxqsixPAk. Alorsf est borélienne.
d) De même si, dans le point précédent, on remplace «fkcontinue » par «fkborélienne » (voir aussi le point f)).
e) De même pour des fonctions à valeurs dansRn.
f) SoitpX,Tqun espace mesurable. SoientA1, A2, . . . ,mesurables d. d. d. tels queX“
\kAk. Pour chaqueAk, soitfk : Ak Ñ Rune fonction mesurable. Soitf : X Ñ R définie parfpxq:“fkpxqsixPAk. Alorsf est mesurable.
g) Montrer que les items a)–e) sont des cas particuliers de l’item f). ˛
Démonstrations
Le résultat qui suit sera utilisé dans la preuve du théorème 3.5; il sera utile dans d’autres circonstances.
3.19 Proposition. Soitf :X ÑY et soitA une famille de parties deY. Sif´1pAq P T pour toutAPA, alorsf´1pAq PT pour toutAP TpAq. ˛ Démonstration de la proposition3.19. SoitD :“ tAĂY ; f´1pAq PTu.
Nous avons D Ą A. Par ailleurs, D est une tribu. En effet, si pAnqn Ă D, alors f´1pYnAnq “ Ynf´1pAnq PT ; vérification analogue des autres propriétés de la tribu.
Il s’ensuit queDĄTpAq. CQFD
†. Dans le cas particulier oùX est un espace métrique, cet exercice permet donc de montrer qu’une fonction est borélienne.
Fonctions mesurables 3.1 Définition. Caractérisation
Démonstration du théorème3.5.
«ùñ» Soitpfnqune suite de fonctions étagées telle quefnÑf.
SoientaPR,nPN. PosonsAn,a:“ pfnq´1psa,8rq, qui appartient àT (exercice3.13).
Nous avons (en utilisant l’exercice3.16)
fpxq ąaðñ DkPN˚,DmPNtels quefnpxq ąa`1{kpournľm.
En d’autres termes,
fpxq ąaðñ DkPN˚,DmPNtels quexP XnľmAn,a`1{k ðñxP YkPN˚YmPNXnľmAn,a`1{kPT
(justifier l’appartenance àT).
Donc
f´1psa,8sq “ txPX; fpxq ąau “ YkPN˚YmPNXnľmAn,a`1{kPT, @aPR. Il s’ensuit quef´1p8q “ Xnf´1psn,8sq PT.
Par conséquent,f´1psa,8rq “f´1psa,8sqzf´1pt8uq PT.
La proposition 3.19combinée avec la partie b) ii) de la proposition2.16montre que f´1pBq PT,@B PBR.
Enfin,f´1p´8q “Xzpf´1pRq Yf´1p8qq PT.
«ðù» Soit, pournPN,fnpxq:“
$’
&
’%
´2n, sifpxq ă ´2n 2n, sifpxq ľ2n
k{2n, sik{2nĺfpxq ă pk`1q{2n
; ici,kest un entier relatif compris entre´4net4n´1.
Formule équivalente pourf : si nous posons
An:“f´1pr´8,´2nrq, Bn:“f´1pr2n,8sqetCn,k :“f´1prk{2n,pk`1q{2nrq, alors
fn“ ´2nχAn`2nχBn`
4nÿ´1 k“´4n
k 2nχCn,k.
Chaquefnest une fonction étagée (vérifier) et nous avonsfnÑf (vérifier). CQFD
Démonstration du corollaire3.7. Dans le cas particulier oùfest positive, la suitepfnqnconstruite, dans la preuve du théorème3.5, pour montrer l’implication «ðù», est croissante. CQFD
Démonstration de la proposition3.8.
«ùñ» Implication vue dans la preuve du théorème3.5.
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«ðù» Nous avonsf´1p8q “ XnPNf´1psn,8sq PT.
Il s’ensuit que f´1psa,8rq “ f´1psa,8sqzf´1p8q P T,@a P R. La proposition3.19 combinée avec la partie b) ii) de la proposition2.16impliquef´1pBq PT,@B PBR.
Enfin,f´1p´8q “Xzpf´1pRq Yf´1p8qq PT. CQFD
Démonstration du théorème3.9.
« 1.ùñ2. » SiI1, I2, . . . , Insont des intervalles ouverts, alorspfiq´1pIiq PT. Il s’ensuit quef´1pI1ˆI2ˆ. . .ˆInq “ Xpfiq´1pIiq PT.
La proposition 3.19 combinée avec la partie c) de la proposition 2.16 montre que f´1pBq PT,@B PBRn.
« 2ùñ1. » SiI “sa,8r, alorspfiq´1pIq “f´1pRi´1ˆIˆRn´iq PT. CQFD
Démonstration de la proposition3.11.
a) «ùñ»
i) Posonsg:“f χA. Nous avons (*)f´1p8q “g´1p8q PT. ii) Même raisonnement que pour i).
iii) Il suffit de noter quef´1pBq “g´1pBq XA,@BPBR.
«ðù» De (*), nous avonsg´1p8q PT ; de même,g´1p´8q PT.
SiB PBR, alors : soit0RB, et alorsg´1pBq “f´1pBq PT, soit0 PB, et dans ce cas g´1pBq “f´1pBq YAcPT.
Les conditions i)–iii) du théorème3.5sont donc satisfaites parg; il s’ensuit quegest mesurable, donc (définition3.10)f l’est également.
b) Il suffit de répéter la preuve de la proposition3.8.
c) Nous pouvons reprendre les arguments de l’item a) :
«ùñ» SiB PBRn, alorsf´1pBq “g´1pBq XAPT.
«ðù» SiB P BRn, alors : soit0 R B, et alorsg´1pBq “ f´1pBq P T, soit0 P B, et
dans ce casg´1pBq “f´1pBq YAcPT. CQFD