La loi de conjugaison de Descartes s’écrit :

Avec = – d = – 5 cm, on calcule :

A.N. = – 10 cm. La taille de l’objet A’B’ est donnée par le grandissement γ :

φ XY

---D

=

Exercice 9

B

A

O L

P

Solution

1 OA’--- 1

OA

---– 1

f ’

--= OA

OA’ f ’d d f ’– --- d

Vd 1–

---= =

OA’

A.N. = – 20 mm.

2. Le rayon ① issu de B et parallèle à l’axe optique émerge de la lentille en convergeant vers le point focal image F’. Le rayon ② passant par le centre optique de la lentille n’est pas dévié.

3. Pour que l’image de AB soit renvoyée à l’infini, il faut que A coïncide avec le point focal objet de la lentille, c’est-à-dire que la lentille soit placé à = 10 cm de l’objet. L’intérêt de cette position est que l’œil observe à travers la lentille sans accommoder, c’est-à-dire sans que l’œil ne se fatigue !

Correction d’hypermétropie avec une loupe

Un hypermétrope dont le PP est à 30 cm et le PR à 1 m derrière l’œil utilise une loupe de vergence V = 10 δ ; l’œil est soit collé à la loupe soit placé dans le plan focal image de la loupe.

1. Expliquer pourquoi le PR est placé derrière l’œil.

2. Déterminer dans les deux cas la position de l’objet le plus proche visible nettement avec la loupe

3. Déterminer dans les deux cas la position de l’objet le plus éloigné visible nettement avec la loupe.

CONSEIL : dans cet exercice, on considère l’association de deux systèmes optiques simples, l’œil et la lou-pe, c’est-à-dire l’association de deux lentilles (le cas où l’œil n’utilise pas la loupe est classique). Lorsque l’œil utilise la loupe, les points qu’il est susceptible de voir correctement sont ceux qui, à travers la loupe, appartiennent à son champ de vision, c’est-à-dire ceux qui sont compris entre le punctum remotum et le punctum proximum.

A’B’ γAB OA’

--- ABOA 1 1 Vd– ---AB

=

= =

A’B’

F’

O A

B

F = A’

B’

5 cm

Échelle 1/2 10 mm

10 cm 20 mm

Échelle 1 L

2 1

1 V

---Exercice 10

Solution

1. Un œil hypermétrope n’est pas assez convergent, pour voir un objet situé à l’infini : il faut qu’il accommode. L’image de cet objet se forme derrière la rétine. Il ne peut donc voir aucun objet net sans accommoder. Pour y remédier il faut que le PR de l’œil hyper-métrope soit confondu avec l’image A’B’ par la lentille L correctrice d’un objet AB situé à l’infini, c’est-à-dire le foyer F’ image de L. Le punctum remotum d’un œil hypermétrope est donc virtuel.

L’hypermétrope voit distinctement des objets réel situés au-delà du PP et des objets vir-tuels situés en aval du PR. Le champ de vision avec la loupe correspond à l’ensemble des points de l’axe optique dont les images à travers la loupe appartiennent au champ de vi-sion de l’œil nu.

2. La relation de conjugaison donne la position du point AP dont l’image à travers la loupe correspond au PP. O1 et O sont respectivement les centres optiques de la loupe et de l’œil et d la distance entre ces deux centres optiques O et O1 :

Soit

,

Lorsque l’œil est placé sur la loupe (d = 0, figure ci-dessous), on calcule :

A.N. = 7,5 cm.

Lorsque l’œil est dans le plan focal image de la loupe (d = f ’), nous obtenons alors :

A.N. = 6,66 cm, = 16,66 cm.

3. Un raisonnement identique peut être fait pour déterminer le point AR dont l’image à travers la loupe correspond au PR de l’œil nu. On obtient alors :

1

Soit :

,

Lorsque l’œil est placé sur la loupe (d = 0), les expressions précédentes deviennent :

A.N. = 11,1 cm.

Lorsque l’œil est dans le plan focal image de la loupe (d = f ’), nous obtenons alors :

A.N. = 11 cm, = 21 cm.

Les images se déplacent dans le même sens que les objets : lorsque l’hypermétrope place son œil sur la loupe, son champ de vision distincte correspond donc à des objets placés entre 7,5 cm et 11,1 cm de la loupe tandis que lorsqu’il place son œil dans le plan focal-image de la loupe, ce champ correspond à des objets placés entre 6,66 cm et 11 cm de la loupe.

Loupe de philatéliste

Une loupe de philatéliste est assimilable à une lentille mince convergente de distance focale f ’. L’utilisateur possède une vue « normale », c’est-à-dire qu’il voit à l’infini sans accommoder (œil au repos) et jusqu’à la distance minimale dm en accommodant au maximum.

On définit le grossissement personnel de cette loupe pour cet utilisateur par le rapport d’angles G = où α2 est l’angle sous lequel est vue l’image de l’objet observé au travers de la loupe (on suppose l’œil placé directement derrière la loupe) et α1l’angle sous lequel est vu l’objet à l’œil nu en accommodation maximum.

1

----1. Calculer G si l’observateur observe à travers la loupe sans accommoder.

2. Calculer G’ si l’observateur observe en accommodant au maximum.

3. Effectuer les applications numériques avec f’ = 2 cm et dm = 25 cm.

On considère maintenant un observateur myope ; son intervalle de vision distincte est [9,4 cm ; 25 cm].

4. Calculer le grossissement personnel G’’ pour cet utilisateur en supposant qu’il observe avec la loupe sans accommoder (et sans lunettes !).

CONSEIL : dans cet exercice, comme dans le précédent, on considère l’association de deux lentilles, la lou-pe et l’œil. Dans chaque question, ce qui change, ce sont les caractéristiques de l’œil, c’est-à-dire son punc-tum proximum (pour la mesure de α1) et la position de l’objet qu’il regarde à travers la loupe (position de A’ pour la mesure de α^2).

Les mesures des angles α1 et α2 permettent de comparer la taille (angulaire) de l’objet vu à l’œil nu, c’est-à-dire à travers une seule lentille (l’œil) et celle de l’objet vu à travers l’as-sociation des deux lentilles accolées (loupe/œil). Dans le cas où l’œil regarde l’objet à l’œil nu, il place l’objet à son punctum proximum, c’est-à-dire qu’il se rapproche le plus près possible de l’objet.

Si AB désigne l’objet transverse observé par l’œil en O et A’B’ son image à travers la lou-pe, notons qu’en général, l’angle α2 est donné par : α2 = , tandis que l’angle α1 est donné par α1 = .

1. L’œil est normal ; son punctum proximum est à la distance dm = 25 cm de O. Si l’œil voit à travers la loupe sans accommoder, c’est que l’image A’B’ est renvoyée à l’infini. L’objet AB est donc dans le plan focal objet de la lentille et on a :

soit

2. En accommodation maximale, l’œil voit l’image A’B’ de AB à son punctum proximum : OA’ = dm. On a alors :

G’ est donc égal au grandissement de la loupe. La relation de conjugaison de Descartes s’écrit :

Avec OA’ = dm, il vient :

Finalement, le grossissement G’ s’écrit :