La demande d’assurance et de soins des individus

1.3.2.1. Choix des consommations médicales pour un niveau d’assurance donné

Ex-post la réalisation du risque, les individus qui disposent d’une assurance offrant le profil de

transferts de revenu ∆1_{9 9∈U}, choisissent leurs consommations d’après le programme suivant : Programme 1.3-i

H"

L,?L C9 9, H9

Ce programme correspond au problème d’optimisation élémentaire exposé dans la partie 1.2.2. Il admet une unique solution A ₉G E_?, 1 + ∆1₉ , H₉G E_?, 1 + ∆1₉ B. L’utilité retirée par l’individu de ces consommations s’écrit :

D9 E?, 1 + ∆19 = C9A 9G E?, 1 + ∆19 , H9G E?, 1 + ∆19 B

1.3.2.2. Choix du niveau d’assurance ex-ante et des consommations ex-post

Les modèles « simples » de demande d’assurance en information symétrique considèrent comme données (donc totalement exogènes) les consommations occasionnées par le risque auquel est soumis l’individu. Au moyen de tels modèles Mossin (1968) et Ehrlich et Becker (1972) ont montré qu’en information symétrique, lorsque les contrats sont tarifés au risque actuariel, le niveau d’assurance préféré par les individus est une couverture complète. Ce type de modélisation pose problème par rapport à un de nos objectifs qui est de déterminer comment l’assurance santé modifie les choix de consommations de soins et l’allocation des ressources en information symétrique ; cet objectif impose que les individus puissent choisir leurs consommations médicale et donc leur assurance santé au regard de ces consommations. Nous allons relâcher l’hypothèse d’exogénéité stricte des consommations médicales et allons considérer un modèle où l’individu choisit simultanément son niveau d’assurance et son niveau de consommations médicales. Avec un tel modèle, nous obtenons également que les individus demandent une assurance complète, sous réserve toutefois que la fonction d’utilité des individus soit séparable selon les consommations non- médicales et médicales.

Nous supposons donc qu’ex-ante la réalisation du risque, les individus choisissent les transferts de revenu qu’ils vont recevoir dans chaque état : au regard des quantités de biens et services médicaux et non-médicaux qu’ils s’attendent à consommer. Le choix du profil de remboursements optimal est ainsi décrit par le problème suivant :

Programme 1.3-ii H" A L,?LB∈ℝŠ‹ŒŠ‹ ∆OL∈ℝŒŠ u ;9. C9 9, H9 9∈U :$: 9+ E?. H9= 1 + ∆19 ∀: ∈ U :$: u ;9. ∆19 9∈U = 0

Il est possible de faire disparaître les 2 + 1 premières contraintes en réécrivant le programme sous la forme suivante : Programme 1.3-iii H" ?L∈ℝŠŒŠ ∆OL ∈ℝŠŒŠ u ;9. C9 1 + ∆19− E?. H9, H9 9∈U :$: u ;9. ∆19 9∈U = 0

La fonction optimisée étant concave et les contraintes linéaires, ce problème admet une unique solution que nous notons A H9∗ , ∆1₉∗ B ∈ ℝ} × ℝ} . Nous allons montrer que :

∆19∗= E?. H9∗− u ;9. E?. H9∗ 9∈U

Soit un profil de transfert ∆1₉ respectant l’égalité ∑ ;9. ∆1_{9∈U 9}= 0. L’inégalité de Jensen permet d’écrire : u ;9. Ž< 1 + ∆19− E?. H9∗ + <? H9∗ • 9∈U ≤ < €1 + u ;9. ∆19− E?. H9∗ 9∈U • + u ;9. <? H9∗ 9∈U

Puisque ∑ ;9. ∆1_{9∈U 9}= 0, cette égalité devient : u ;9. Ž< 1 + ∆19− E?. H9∗ + <? H9∗ • 9∈U ≤ < €1 − u ;9. E?. H9∗ 9∈U • + u ;9. <? H9∗ 9∈U Donc : u ;9. C9 1 + ∆19− E?. H9∗, H9∗ 9∈U ≤ u ;9. C9€1 − u ;•. E?. H•∗ •∈U , H9∗_• 9∈U

Nous constatons qu’en posant T9∗= E?. H9∗ (avec T9∗ ∈ ℝ} le profil de remboursement optimal), le niveau de prime vaut VW∗ = ∑ ;9. E?. H9_9∈U ∗ et le transfert de revenu ∆1₉∗= T9∗− ∑ ;9. E?. H9∗ 9∈U : u ;9. C9 1 + ∆19∗− E?. H9∗, H9∗ 9∈U = u ;9. C9€1 − u ;•. E?. H•∗ •∈U , H9∗_• 9∈U

Par conséquent, pour tout profil de transfert ∆1₉ qui vérifie ∑ ;9. ∆1_{9∈U 9}= 0, nous avons : u ;9. C9 1 + ∆19− E?. H9∗, H9∗

9∈U

≤ u ;9. C9 1 + ∆19∗− E?. H9∗, H9∗ 9∈U

∆19∗ est donc le profil de transfert préféré : T9∗= E?. H9∗, la couverture est donc complète : le niveau d’assurance préféré par les individus égalise les consommations non médicales selon les états :.

Pour déterminer H9∗, il suffit d’écrire le lagrangien associé au programme 1.3-ii. Des conditions de premier ordre et des contraintes de budgets, nous déduisons que pour tout : :

C9

H _L∗,?L∗ = E?.

C9

L∗,?L∗

9∗+ E?. H9∗= 1 + ∆19

Ces conditions sont identiques à celles du Programme 1.3-i régissant les consommations de soins ex-

post la survenue de la pathologie, dans le cas où le profil de transferts est ∆1₉∗ : les consommations réalisées ex-post correspondant aux consommations anticipées ex-ante :

9∗= 9G E?, 1 + ∆19∗ = 9G€E?, 1 + E?. H9∗− u ;•. E?. H•∗ •∈U

, H•∗• H9∗_{= H9}G _{E?, 1 + ∆1}

9∗ = H9G€E?, 1 + E?. H9∗− u ;•. E?. H•∗ •∈U

, H•∗_•

Enfin, toujours d’après les conditions de premier ordre du Programme 2.3-ii, nous avons ∀:l, : ∈ U : C9_o

H _A

Lo∗ ,?Lo∗ B

= C9_H

A L∗ ,?L∗ B

Donc <?( A:l, H9_oB = <?( A: , H9 B. D’après les conditions énoncées dans partie 1.2.2.1, <?( _{A:l, H9}

oB < <?( A: , H9oB. Donc <?( A: , H9 B < <?( A: , H9oB. Par stricte décroissance de <?( ,

L’ensemble de ces résultats sont synthétisés dans la proposition suivante :

Proposition 1.3-1 : En situation d’information symétrique, lorsque le contrat est tarifé à son coût actuariel et la fonction d’utilité est séparable selon les consommations médicales et non médicales :

• Le niveau d’assurance préféré égalise les consommations non médicales : la couverture est complète.

• Les remboursements sont égaux à p\. m_∗. • Les transferts de revenu sont égaux à :

∆W_∗= p\. m_∗− u π“. p\. m“∗ “∈U

, m“∗

• Les consommations de soins ex-post la survenue de la pathologie vérifient : m_∗ _{p\, W}” _{= m_}a _{p\, W}”_{+ ∆W_}∗ _{= m_}a_{€p\, W}”_{+ p\. m_}∗_{− u π“. p\. m“}∗

“∈U

, m“∗_• • Les consommations de soins m_∗ sont croissantes avec le niveau de sévérité s de la

pathologie.

En conclusion, avec ce modèle où l’individu choisit simultanément ses consommations de soins et son niveau d’assurance au regard de ces consommations, nous obtenons des résultats analogues à ceux de Mossin (1968) et Ehrlich et Becker (1972), à savoir que l’individu choisit une assurance complète.

1.3.2.3. Analogie avec le problème de taxation optimale du revenu en information symétrique

Réécrivons le programme 1.3-i en remplaçant ₉ et H9 par ₉∗ et H9∗. La maximisation se fait alors par rapport aux seuls transferts de revenu :

Programme 1.3-iv H"

:$: u ;9. ∆19 9∈U

= 0 Ce programme appelle deux remarques :

• Ex-ante la réalisation du risque, le choix du contrat optimal est équivalent au choix d’un

transfert de revenu parmi les transferts actuariellement neutres.

• Ex-post la réalisation du risque, la somme des transferts est nulle, le budget alloué à la

couverture du risque santé est donc budgétairement équilibré : l’assurance santé opère une simple redistribution des richesses qui pourrait être obtenue par une intervention publique

ex-post. La recherche du transfert optimal est donc équivalente à un problème de taxation

non linéaire optimale du revenu visant à gommer les disparités de richesses résultant des différences d’état de santé.

Réécrit convenablement, le programme de la partie précédente est analogue à un problème de taxation optimale. Par résolution du programme 1.3-iv, nous obtenons que les transferts de revenu sont tels que les individus obtiennent la même utilité marginale du revenu quel que soit l’état de la nature : : Dl 1 •0,O ∆Oo = ₁D •0,O ∆O = ⋯ = D₁} •0,O ∆OŒ

Cette équation traduit simplement le fait que les individus transfèrent du revenu des états associés à des niveaux de sévérité faibles vers les états associés à des niveaux de sévérité élevés jusqu’à égaliser les utilités marginales du revenu pour tous les états de la nature.