L'eet photoélastique : une interaction paramétrique à trois ondes

L'eet élasto-optique peut être conçu comme une interaction paramétrique à trois ondes met- tant en jeu deux ondes optiques et une onde élastique [151, 156]. Une première onde optique de fréquence ω0 se mélange ainsi avec l'onde acoustique incidente ωa pour former une onde optique

de sortie de fréquence ωs pouvant être en principe égale à n'importe quelle somme ou di¯ence

des deux fréquences initiales. Dans le cas de l'interaction acousto-optique, nous limitons nos considérations à ωs= ω0± ωa. Cette relation suppose bien évidemment des champs optiques et

acoustiques monochromatiques. Nous nous contentons donc ici de traiter le problème en négli- geant la partie rotationnelle introduite en 6.2 et la partie piézoélectrique. Pour un traitement mathématique complet du problème, nous suggérons au lecteur de se reporter aux articles cités, ainsi qu'à l'ouvrage de Nelson et Lax [157].

Les équations constitutives du milieu restent les équations de Maxwell, où l'on vient, cette fois, introduire un terme de polarisation non linéaire. Celui-ci s'intègre en particulier dans la relation liant le champ électrique E et le champ de déplacement D :

D= ǫ0E+ P (6.34)

6.5 L'eet photoélastique : une interaction paramétrique à trois ondes interaction paramétrique entre deux ondes E1 et E2

P = ǫ0χTE = ǫ0 ³ χ(1)E+ χ(2)E1E2+ ... ´ (6.35) Les termes d'ordre plus élevés sont ici négligés. Par ailleurs, si l'on pose comme à l'accoutumée 1 + χ(1) _{= ǫ}

r, on retrouve la formulation classique de champ de déplacement D en milieu non-

linéaire :

D= ǫ0ǫrE+ PN L (6.36)

où PN L est la partie non-linéaire de la polarisation. Dans le cadre des hypothèses adoptées,

celle-ci est donnée dans les références sus-citées sous la forme : P_{i= ǫ0χ}ωsωaω0

ij(kl) Ejuk,l (6.37)

Ej désigne le champ électrique et uk,l le gradient du champ de déplacement. χ peut alors être

dénie comme la susceptibilité photoélastique. Nelson montre d'ailleurs la relation :

p_{ij(kl) = −η}imηjnχmn(kl) (6.38)

et son inverse :

χij(kl)= −ǫimǫjnpmn(kl) (6.39)

On vient ensuite réinjecter les expressions obtenues dans les équations de Maxwell. Pour se faire, on redénit tout d'abord D de sorte à ce que ce vecteur n'inclue plus que la partie linéaire de la polarisation, c'est-à-dire :

D= ǫ0E+ PL= ǫ0ǫrE (6.40)

Les équations de Maxwell sont alors réécrites pour un milieu libre de charge : ∇ × (∇ × E) = −µ0µ ∂ 2_D ∂t2 + ∂2PN L ∂t2 ¶ (6.41) soit, en les réécrivant en fonction du champ électrique :

∇ × (∇ × E) = −ǫr c2 µ ∂2_E ∂t2 − 1 c2χ ∂2_E∇.u ∂t2 ¶ (6.42) Par souci de lisibilité, on écrira dans la suite des équations ǫr= ǫ. En se limitant au cas isotrope,

pour lequel pijkl = pij(kl) et uk,l = Skl, l'équation précédente devient, en notation tensorielle :

c2_{(∇ × (∇ × E))i}+ ǫij ∂2Ej ∂t2 = −χij(kl) ∂2(EjSkl) ∂t2 (6.43) En posant maintenant D ≡ D_ǫ 0

L'effet photoélastique en régime fortement confiné de déplacement électrique : c2ηij(∇ × (∇ × D))j + ∂2Di ∂t2 = ǫimpmj(kl) ∂2(DjSkl) ∂t2 (6.44)

Contrairement à ce qui a pu être observé dans le cas des équations en champ électrique et de déplacement dérivées suivant la théorie de Pockels en section 6.4, les formulations en E et D obtenues ici sont parfaitement équivalentes. C'est d'ailleurs la forme d'équation (6.27), c'est-à- dire celle en fonction du champ électrique, qui concorde avec cette formulation de type interaction paramétrique. En eet, on peut réécrire cette équation de sorte à faire apparaître le tenseur des susceptibilités. L'équation de départ, suivant Pockels, est l'équation (6.16), soit :

∇ × (∇ × E) = ∂

2_ǫE

∂t2 − µ0

∂2∆ǫE

∂t2 (6.45)

On peut alors faire intervenir la variation du tenseur impermittivité diélectrique η, et ainsi le tenseur des susceptibilités χ :

c2_{∇ × (∇ × E}i) + ǫij ∂2_E j ∂t2 = µ0 ∂2_ǫ imǫin∆ηEj ∂t2 = µ0 ∂2_ǫ imǫinpijklSklEj ∂t2 = µ0χijkl ∂2SklEj ∂t2 (6.46)

6.6 Conclusion

Le cas général d'une interaction entre modes optiques et acoustiques de formes spatiales arbi- traires dans un milieu isotrope a ici été traité. Il n'a été fait, dans cette étude théorique, aucune hypothèse sur le régime d'interaction : le champ couvert s'étend donc au-delà des régimes clas- siques de Bragg ou de Raman et Nath. Deux types d'approche ont été adoptées : la formulation linéarisée de Pockels d'une part, et l'approche non-linéaire proposée par Nelson et Lax d'autre part. Dans les deux cas, les problèmes ont été traités en fonction du champ électrique comme du champ de déplacement. Si le choix de la grandeur physique électromagnétique à considérer est sans conséquence dans le cas de la théorie de Nelson et Lax, elle est en revanche critique lors d'un traitement par la théorie de Pockels. L'expression des équations d'ondes couplées dièrent en eet grandement suivant le champ considéré. Dans le cas d'un traitement suivant le champ électrique, les équations obtenues sont parfaitement équivalentes à celles prévues par la théorie non-linéaire, et ainsi très proches de celles déterminées dans une conguration d'ondes planes. La formulation en champ électrique reste donc cohérente quelle que soit la formulation employée. Seule une modication de l'amplitude de la force d'interaction est attendue (du moins dans le cas isotrope) : les coecients d'interaction photoélastique sont en eet dépendants de l'intégrale de recouvrement entre les formes spatiales des modes acoustiques et optiques. En revanche, des gradients spatiaux des formes modales des champs optiques sont mis en jeu lors d'une approche

6.6 Conclusion

fondée sur l'expression du champ de déplacement. L'erreur introduite est loin d'être anodine. Si elle disparaît dans le cas de la diraction d'une onde optique par une onde plane acoustique, ses implications sont en revanche beaucoup plus cruciales si les ondes optiques et acoustiques sont toutes deux connées, leur interaction nécessitant la prise en compte complète de la forme de leurs modes respectifs.

Dans la littérature, c'est généralement la formulation de l'eet Pockels en fonction du champ électrique qui est privilégiée, bien que les interactions élasto-optiques soient souvent interprétées en termes de déformation de l'ellipsoïde des indices optiques. Or, seul le champ de déplacement électrique permet une prise en compte intrinsèque de l'anisotropie du milieu et ainsi de cet ellip- soïde. Ces résultats remettent donc en cause le fait que la déformation de l'ellipsoïde des indices acoustiquement induite est directement proportionnelle à la déformation élastique appliquée (ou aux gradients des champs de déplacements élastiques) en dehors du cas limite des ondes planes. Cette interprétation physique se révélerait donc fausse dans le cas de formes modales arbitraires si la théorie de la polarisation non-linéaire est acceptée comme valide.

Ces seules dérivations ne nous permettent pas de trancher complètement sur la pertinence de l'une ou l'autre des deux approches2_{, mais elles ont permis de soulever un point souvent négligé}

lors du traitement des interactions élasto-optiques. Il est donc intéressant, dans un premier temps, d'évaluer sur un cas pratique la répercussion de ces termes additionnels sur la force d'interaction entre ondes élastiques et optiques.

2_{même si l'aspect phénoménologique de la théorie de Pockels est loin d'avoir le même statut théorique que la}

Chapitre 7

Exemple numérique : interactions

acousto-optique dans un barreau de

silice

Ce chapitre présente un exemple numérique qui a pour objectif d'évaluer l'erreur introduite sur le calcul des coecients de couplage élasto-optique selon la formulation adoptée, c'est-à-dire, théorie linéarisée de Pockels en fonction du champ de déplacement ou en fonction du champ électrique. Cette dernière se ramène à la formulation non-linéaire de Nelson et Lax. Nous avons choisi de travailler sur le cas d'un barreau de silice, de diamètre un micron pour une longueur d'onde optique de 1,55 mm. Cette bre peut se concevoir comme une version très simpliée d'une bre à bande interdite simultanément acoustique et optique, dans la mesure où les deux types de champ restent connés dans le même volume : elle présente donc, du point du vue d'une démonstration de principe tout au moins, le même intérêt phénoménologique que la PCF de la gure 7.1 par exemple. Dans les deux cas, la forme des modes élastiques du guide peut être obtenue au moyen de simulations en éléments nis de la section de la bre, telles que présentées par Vincent Laude et al. [93]. Celle des modes optiques peut être calculée soit par utilisation d'un logiciel commercial, par exemple, dans le cas d'une bre microstructurée, soit par calcul analytique des modes d'un guide d'onde optique cylindrique, comme rapporté dans de nombreux ouvrages(par exemple [158]), dans le cas du barreau de silice.

Fig. 7.1  Image au microscope électronique à balayage d'une bre à cristaux photoniques en silice. Le diamètre du c÷ur, solide, est de 1,25 mm. La large fraction d'air de la gaine rend cette bre photonique comparable à un simple barreau de silice dans l'air. D'après [94].

Exemple numérique : interactions acousto-optique dans un barreau de silice

7.1 Formes des modes élastiques

Fig. 7.2  Exemple de maillage pour un barreau de silice de diamètre 1 mm.

Un calcul pertinent des courbes de dispersion des modes élastiques d'une bre à cristaux photoniques, ou plus simplement dans notre cas d'un barreau de silice, nécessite la prise en compte de la dimension nie de la structure, que la méthode de décomposition en ondes planes ne permet pas d'assurer. Un code éléments nis modié pour prendre en considération l'aspect propagatif des modes élastiques, a été développé par Vincent Laude [93]. Dans ce contexte, le cas plus général d'une bre à cristaux photoniques quelconque, c'est-à-dire consistant en un arrangement de trous d'air disposés dans une matrice de silice peut être traité. D'un point de vue élastique, l'énergie élastique peut être considérée comme nulle dans les trous d'air, et reste donc connée dans la silice. Les frontières de chaque cylindre creux sont supposées libres de toute contrainte et font oce de diuseurs des ondes élastiques incidentes, indépendamment de leur direction de propagation. Enn, on bénéciera des simplications liées à l'isotropie de la silice.

L'analyse des modes élastiques est fondée sur la méthode dite waveguide nite element method qui permet de combiner une approche de type décomposition modale le long de la direction de propagation, supposée innie, avec une autre de type éléments nis de façon à pouvoir simuler une section arbitraire de bre. Cette dernière, que l'on supposera dans le plan (x, y) est donc maillée par des éléments triangulaires constitués de trois sommets et de six n÷uds, un à chaque sommet de l'élément plus un au milieu de chaque arête, comme illustré sur la gure 7.2. Les inconnues du problème sont alors les champs de déplacement suivant x, y et z en chaque n÷ud. Enn, on impose une dépendance harmonique en exp [j (Ωt − Kz)] le long de la direction de propagation.

Pour des matériaux isotropes et une propagation axiale, les champs transverses uxet uy et le

champ longitudinal uz à la direction de propagation sont en quadrature [41]. Les parties réelles

des composantes uxet uy sont donc couplées à la partie imaginaire de uz, et réciproquement. An

7.1 Formes des modes élastiques

n÷ud de la structure sont représentés par les fonctions réelles suivantes :

ux(x, y, z, t) = p (x, y)T.ˆuxsin (Ωt − Kz) , (7.1)

uy(x, y, z, t) = p (x, y)T.ˆuysin (Ωt − Kz) , (7.2)

uz(x, y, z, t) = p (x, y)T.ˆuzcos (Ωt − Kz) (7.3)

ˆ

u= (ˆux, ˆuy, ˆuz)T est le vecteur champ de déplacement au n÷ud n, et p est un polynôme d'interpo-

lation de Lagrange. L'équation aux valeurs propres représentative du problème de la propagation des ondes élastiques est à nouveau :

¡K − Ω2_{M¢ u = 0 (7.4)}

avec K et M les matrices de constantes de rigidité et de masses, respectivement.

La matrice de masse prend la forme d'une intégrale élémentaire, ici suivant les trois directions de l'espace, mettant en jeu la densité du matériau ρ et le vecteur des déplacement u = (ux, uy, uz)T :

M = Z 2π/K 0 dz Z σ dx dy uT.ρ. u (7.5)

K désignant le vecteur d'onde. L'intégration en z est limitée à une période de l'onde, et σ est la section de l'élément ni. En injectant les équations (7.1) à (7.3) et après intégration suivant z, l'expression précédente devient :

M = 1 2Kuˆ

T_.M

σ.ˆu, (7.6)

où la matrice de masse élémentaire Mσ de dimension 3n × 3n s'écrit :

Mσ =

Z

σ

dx dy PT.ρ.P (7.7)

avec P la matrice des polynômes de dimension 3 × 3n dénie par : P =    pT 0 0 0 pT 0 0 0 pT    (7.8)

La matrice de raideur K s'exprime de façon assez similaire : K = Z 2π/K 0 dz Z σ dx dy ST_ICIJSJ, (7.9)

où S et C sont respectivement les tenseurs de déformations et de constantes élastiques dont les indices sont donnés en notation contractée.

Exemple numérique : interactions acousto-optique dans un barreau de silice 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 FrØquence (GHz)

Nombre d’onde acoustique (µm-1)

Fig. 7.3  Diagramme de bandes pour des modes élastiques guidés dans un barreau de silice de diamètre 1 mm obtenu par méthode des éléments nis.

fonctions sinus et cosinus intervenant dans l'expression des champs de déplacement ui, on obtient :

K = _2K1 ¡ˆuT_.Kσ.ˆu ¢ (7.10) avec Kσ = Z σ ¡dxdy ¡AT S.C.AS+ ATC.C.AC¢¢ , (7.11) où : AS =            pT ,x 0 0 0 pT_,y 0 0 0 KpT 0 0 0 0 0 0 pT ,y −pT,x 0            et AC =            x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _−KpT pT_,y −KpT,x 0 pT,x 0 0 0            (7.12)

L'équation posée en (7.1) se ramène donc à un problème aux valeurs propres généralisé que l'on peut résoudre en termes de Ω2 _{en admettant le vecteur d'onde K comme paramètre. Il est}

ainsi possible de déterminer les modes susceptibles de se propager dans la structure ainsi que leur relations de dispersion, nécessaires à la détermination de l'existence de potentielles bandes interdites élastiques.