De nombreuses méthodes de calcul ont été mises en ÷uvre a n de permettre le dimensionne- ment ou la prédiction du comportement des ondes élastiques au cours de leur propagation dans des cristaux phononiques. Au fur et à mesure de ce manuscrit, quelques-unes des méthodes mises au point dans le cadre des travaux menés au sein de l'équipe d'accueil seront évoqués. Nous nous attachons ici à donner quelques rappels sur la méthode des diérences nies, communément dé- signée par l'acronyme anglais FDTD (pour Finite Dierence Time Domain), qui a été largement employée pour le traitement théorique de ces cristaux phononiques pour les ondes de volume. Nous tirerons des résultats des simulations ainsi que de ceux issus de la littérature quelques règles de base utiles à la conception, d'un point de vue géométrique, de ces composites.
2.2.1 Brève introduction à la méthode des diérences nies
La méthode des diérences nies a été introduite pour les cristaux phononiques par Sigalas et Garcia [79, 80] pour pallier les problèmes de convergence numérique initialement rencontrés lors du calcul de diagrammes de bandes pour des systèmes mixtes (inclusions liquides dans une matrice solide ou inversement) par la méthode de décomposition en ondes planes [95]. La FDTD présente l'avantage considérable par rapport à sa cons÷ur de permettre de modéliser une onde incidente sur un cristal phononique que l'on peut spéci er comme étant de dimension nie, sous la forme de paquets d'ondes, résultant en un système d'excitation plus proche de l'expérience qu'un modèle d'ondes planes. Cette méthode a préalablement été exploitée pour la simulation de matériaux périodiquement structurés, en particulier pour les cristaux photoniques, à l'image des travaux de Chan et al. [96, 97] ou encore de Fan et al. [98]. Le principe consiste de façon très sommaire à discrétiser dans le domaine spatial comme temporel les équations constitutives du problème ; à xer des conditions aux limites adaptées et à calculer de manière explicite l'évolution dans le domaine temporel de la grandeur physique, dénotée φ, à considérer (par exemple le champ électrique ou magnétique dans le cas d'un cristal photonique, ou le champ de déplacement ou de vitesse dans celui d'un cristal phononique). Dans le cas d'une structure tridimensionnelle, une grille cubique est dé nie et inscrite dans l'espace direct. Les points de discrétisation sont donc séparés de distances élémentaires xées ∆s = ∆x, ∆y ou ∆z et ∆t dans les domaines spatial et temporel, respectivement. On écrit alors les dérivées spatio-temporelles intervenant dans les équations constitutives du système physique sous la forme de diérences du type :
∂φ ∂x =
φ (x + ∆x, y, z) − φ (x, y, z) ∆x
2.2 Choix de la structure
où ∆x désigne une variation in nitésimale suivant l'axe des x.
Ici, l'équation de travail n'est autre que celle de propagation des ondes élastiques qui s'écrit par exemple dans le cas tridimensionnel et isotrope :
∂2u i ∂t2 = 1 ρ (r)(r) ∂Tij ∂xj (2.1) Tij = λ (r) Sllδij + 2µ (r) Sij, (2.2) Sij = 1 2 µ ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi ¶ , (2.3)
où ui désigne la composante suivant i du vecteur des déplacements ; T est le tenseur des
contraintes, λ (r) et µ (r) sont les coe cients de Lamé et ρ (r) est la densité du milieu. Il apparaît assez intuitivement que la précision de calcul est directement fonction du pas de discrétisation, qui conditionne par ailleurs le temps de calcul. Le schéma de Yee [99] est une méthode largement employée : elle consiste à calculer le champ de déplacement sur le bord de chaque cellule (l, m, net k entiers), mais à évaluer les contraintes appliquées au centre (l, m et n demi-entiers). Les contraintes appliquées au point d'existence du champ de déplacement (ou, respectivement, le champ de déplacement obtenu au point de dé nition des contraintes) sont ensuite numérique- ment évaluées par moyennage sur une cellule.
On exprime donc les composantes du champ de déplacement u, par exemple ux, en tout point
de la grille spatio-temporelle mentionnée précédemment et dé ni par les indices (l, m, n, k) par une version discrète de l'équation (2.1) :
ux(l, m, n, k + 1) = 2ux(l, m, n, k) − ux(l, m, n, k − 1) + ∆t 2 ∆xρ(l, m, n) · Txx(l + 1 2, m, n, k) − Txx(l − 1 2, m, n, k) ¸ + ∆t 2 ∆yρ(l, m, n) · Txy(l, m + 1 2, n, k) − Txy(l, m − 1 2, n, k) ¸ + ∆t 2 ∆zρ(l, m, n) · Txz(l, m, n + 1 2, k) − Txz(l, m, n − 1 2, k) ¸ (2.4) où la composante Txx, par exemple, du tenseur des contraintes s'écrit suivant le même principe
à partir de (2.2) : Txx µ l +1 2, m, n, k ¶ = · λ µ l +1 2, m, n, k ¶ + 2µ µ l +1 2, m, n, k ¶¸ [ux(l + 1, m, n, k) − ux(l, m, n, k)] ∆x + λ µ l +1 2, m, n, k ¶ · uy µ l +1 2, m + 1 2, n, k ¶ − uy µ l +1 2, m − 1 2, n, k ¶¸ ∆y + λ µ l +1 2, m, n, k ¶ · uz µ l +1 2, m, n + 1 2, k ¶ − uz µ l +1 2, m, n − 1 2, k ¶¸ ∆z (2.5)
Filtrage et guidage des ondes de volume dans un cristal phononique bidimensionnel
Fig. 2.1 Schéma de principe décrivant l'application des conditions aux limites dans le cas du calcul de la transmission du cristal phononique. Des conditions aux limites périodiques sont appliquées dans la direction orthogonale à celle de propagation. Les conditions d'absorption de Mur sont en revanche imposées en sortie du cristal, le long de la direction de propagation. Il est bien sûr possible d'exprimer de manière similaire les autres composantes du vecteur des déplacements ou du tenseur des contraintes. La composante Tyy de ce dernier est ainsi calculée
au point µ l +1 2, m + 1 2, n ¶
et la composante suivant z est évaluée en µ l +1 2, m, n + 1 2 ¶ . Le calcul numérique est ensuite eectué dans un domaine scindé en trois zones schématisées sur la gure 2.1 : deux zones homogènes constituées du matériau composant la matrice du cristal phononique, séparées par une troisième zone contenant le réseau périodique lui-même. L'une des zones homogènes est le milieu d'excitation, à partir duquel une onde acoustique propagative est générée. L'autre est une zone de détection, où le champ de déplacement en fonction du temps à l'issue du passage de l'onde à travers le cristal phononique est collecté.
Dans la direction orthogonale à la propagation, des conditions aux limites périodiques sont appliquées. En revanche, des conditions d'absorption, dites conditions de Mur [100, 79], sont imposées le long de la direction de propagation. Elles permettent notamment de simuler un milieu de propagation in ni et de s'aranchir de ré exions parasites et sans signi cation physique que pourraient introduire des conditions aux limites périodiques. Pour la composante du champ de déplacement ux, ces conditions s'écrivent de la façon suivante :
ux(l, m, n, k + 1) = ux(l, m, n + 1, k)
+ c0∆t − ∆x c0∆t + ∆x
[ux(l, m, n + 1, k + 1) − ux(l, m, n, k)] (2.6)
c0étant la vitesse transverse ou longitudinale de l'onde dans le matériau constitutif de la matrice.
L'expression du champ à l'issue des diérentes étapes de propagation parvient alors sous forme temporelle au niveau du collecteur numérique situé dans la seconde zone homogène. Les compo- santes du champ sont converties dans le domaine fréquentiel par application d'une transformée de Fourier rapide. On procède en n à une normalisation du signal transmis par rapport au signal
2.2 Choix de la structure
incident a n de déterminer le coe cient de transmission du système.
2.2.2 Intérêt de la méthode et considérations géométriques
Fig. 2.2 Principe du calcul du diagramme de bandes d'un cristal phononique supposé in ni. Le calcul est eectué sur une cellule unique, et des conditions aux limites périodiques (C.P.) sont appliquées de part et d'autre de cette cellule élémentaire.
La méthode des diérences nies permet donc de remonter à la fonction de transfert du réseau périodique ni. Des confrontations théorie/expérience par mesure de la transmission à travers un cristal phononique peuvent ainsi être directement réalisées. Elle donne également accès à la cartographie des amplitudes du champ de déplacement dans toute la structure, fournissant ainsi des informations importantes sur la propagation de l'onde acoustique et permettant d'a ner les interprétations tirées de l'étude du spectre. En n, du point de vue de la conception, il est possible en usant de ce même code de calcul de retrouver les diagrammes de bandes du réseau périodique, de façon à déterminer les paramètres géométriques pertinents, comme la période du réseau et son facteur de remplissage, pour l'obtention de bandes interdites lors de la mise en jeu de deux matériaux constitutifs donnés (matrice et inclusions). Dans ce cas, il s'agit de discrétiser une seule cellule et d'appliquer des conditions de périodicité sur chacun de ses côtés pour obtenir le diagramme de bandes du système in ni. La gure 2.2 illustre de manière très sommaire le principe appliqué. La FDTD présente toutefois quelques inconvénients notables, à l'image de l'excessive di culté de prise en compte de conditions aux limites à la surface pour les matériaux fortement anisotropes, sur laquelle nous reviendrons dans le chapitre suivant. La comparaison à d'autres méthodes de simulation a aussi mis en évidence l'existence de bandes dites sourdes [101], dont l'excitation est intimement correlée à la symétrie de la source, et qui conduit parfois à supposer l'ouverture de bandes interdites dans des gammes de fréquences où des modes existent pourtant. Ces diérences ont surtout été observées sur des cristaux phononiques à géométrie triangulaire ou hexagonale. Les cristaux phononiques sur lesquels nous avons porté notre intérêt consistent en un arrangement périodique suivant une géométrie de réseau carrée. La comparaison des diagrammes de bandes obtenus par FDTD avec ceux obtenus par d'autres moyens de calcul (PWE ou éléments nis) semblent nous indiquer que ce cas particulier au moins est exempt de ce type de branches.
Pour un traitement plus exhaustif de la méthode des diérences nies, nous suggérons au lecteur de se référer à l'ouvrage de Ta ove [100] en optique ou de Brac [102] en acoustique.
Filtrage et guidage des ondes de volume dans un cristal phononique bidimensionnel
Fig. 2.3 Cristal phononique consistant en un réseau de tiges d'acier de dimension millimétrique. La géo- métrie du système peut être remaniée par simple dé- placement des cylindres et replacement dans les trous percés dans la plaque d'acier de maintien prévue à cet eet.