B.4 Scratch
2.6 Programme principal établissant une connexion entre deux composants Javabeans
De acordo com SCH ¨AFER (2006), a aplica¸c˜ao da t´ecnica dos volumes finitos passa pela subdivis˜ao do dom´ınio espacial do problema em diversos volumes de controle, seguida da aplica¸c˜ao, a cada c´elula, dos balan¸cos em forma integral. O mesmo autor lembra que tais balan¸cos j´a foram obtidos quando da aplica¸c˜ao dos princ´ıpios de conserva¸c˜ao (vide Equa¸c˜ao 3.4), mas ressalta que os mesmos tamb´em podem ser deduzidos via integra¸c˜ao das correspondentes equa¸c˜oes diferenciais.
A integra¸c˜ao no tempo para cada volume tamb´em ´e necess´aria em c´alculos tran- sientes, de modo que as equa¸c˜oes resultantes apresentam integrais e derivadas no tempo e no espa¸co. Estimativas sobre a varia¸c˜ao temporal e espacial das grande- zas envolvidas permitem aproximar estes termos e finalizar o processo de discre- tiza¸c˜ao (PATANKAR, 1980; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007).
A Figura 5.2 ilustra uma malha unidimensional aplic´avel a escoamentos por tubula¸c˜oes. O dom´ınio fluido foi subdividido em N V volumes de controle, e os balan¸cos integrais precisam ser aplicados a cada um deles. As c´elulas (ou, mais especificamente, os pontos nodais envolvidos pelas mesmas) s˜ao numeradas de 1 a N V , e suas faces, de 1 a N V + 1. No desenvolvimento da discretiza¸c˜ao para o volume i, tornou-se comum sua designa¸c˜ao pela letra mai´uscula P , e a de seus vizinhos (´ındices i−1 e i+1) por W e E (em alus˜ao `as palavras da l´ıngua inglesa west e east ). Identifica¸c˜ao an´aloga ´e adotada para as faces do volume i, costumeiramente referenciadas pelas letras min´usculas w e e (PATANKAR, 1980; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007). As barras superiores aqui introduzidas evitam confus˜ao entre os ´ındices de faces e os de pontos nodais.
O processo de discretiza¸c˜ao resulta em equa¸c˜oes alg´ebricas cujas inc´ognitas s˜ao os valores das vari´aveis dependentes nos pontos nodais. `A medida que N V aumenta, estes pontos ficam mais pr´oximos, as varia¸c˜oes das inc´ognitas entre volumes vizinhos se reduzem, e os detalhes dos perfis de varia¸c˜ao aproximados entre tais posi¸c˜oes per- dem importˆancia. Assim, espera-se que para maiores valores de N V , os resultados das equa¸c˜oes discretizadas se aproximem das solu¸c˜oes exatas das equa¸c˜oes diferen- ciais originais (PATANKAR, 1980; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007).
Em estado estacion´ario, a integra¸c˜ao sobre o volume i do termo advectivo da Equa¸c˜ao 3.107 fornece: Z e w ∂ (ρmvmhm) ∂x dx = [ρmvmhm]e− [ρmvmhm]w (5.2)
Figura 5.2: Malha unidimensional para aplica¸c˜ao do M´etodo dos Volumes Finitos.
da c´elula considerada ´e que aparecem no resultado da integra¸c˜ao. Isto requer a introdu¸c˜ao de distribui¸c˜oes aproximadas em fun¸c˜ao das inc´ognitas do problema, conforme mencionado. O emprego da interpola¸c˜ao linear para a face w (´ındice i) resulta em: hm[F (i)] = xF (i)− xV (i−1) xV (i)− xV (i−1) hm[(i)]+ 1 − xF (i)− xV (i−1) xV (i)− xV (i−1) hm[(i−1)] (5.3)
em que os ´ındices F (i) e V (i) destacam valores referentes `as faces e pontos nodais de ´ındice i, respectivamente. O ´ındice V foi omitido na entalpia porque somente seus valores em pontos nodais comp˜oem o problema (apenas sua ocorrˆencia nas faces foi explicitamente indicada).
Expans˜oes em s´eries de Taylor mostram que esta estimativa por interpola¸c˜ao linear, mais conhecida como aproxima¸c˜ao por diferen¸cas centrais, possui erro de truncamento de segunda ordem (SCH ¨AFER, 2006). Sua utiliza¸c˜ao no termo ad- vectivo pode levar `a obten¸c˜ao de resultados fisicamente imposs´ıveis, acarretando no pior dos casos a divergˆencia de m´etodos num´ericos na etapa de solu¸c˜ao das equa¸c˜oes discretizadas (PATANKAR, 1980; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007).
Os problemas acima podem ser evitados se a aproxima¸c˜ao por diferen¸cas centrais for substitu´ıda pela t´ecnica upwind. Ao contr´ario da anterior, esta abordagem leva em considera¸c˜ao a dire¸c˜ao do escoamento, aproximando sempre uma vari´avel de- pendente sobre uma face pelo valor do ponto nodal a montante. Matematicamente,
isto implica (PATANKAR, 1980; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007):
[ρmvmhm]e− [ρmvmhm]w ≈ {MAX [(ρmvm)e; 0] + MAX [− (ρmvm)w; 0]} hm(P )
− MAX [− (ρmvm)e; 0] hm(E)− MAX [(ρmvm)w; 0] hm(W ) (5.4)
em que o operador MAX [a; b] retorna o maior valor dentre a e b. Segundo VERS- TEEG e MALALASEKERA (2007), demonstra-se atrav´es de expans˜oes em s´eries de Taylor que a t´ecnica upwind ´e de primeira ordem. Embora MORALES-RUIZ et al. (2012), TALEBI et al. (2012) e ZOU et al. (2016a) tenham utilizado esta aborda- gem na solu¸c˜ao dos Modelos de Dois Fluidos e de Mistura, ressalta-se que diversas outras alternativas de discretiza¸c˜ao s˜ao discutidas na literatura (PATANKAR, 1980; SCH ¨AFER, 2006; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007).
Em uma simula¸c˜ao transiente, a aplica¸c˜ao do m´etodo dos volumes finitos ao calor trocado atrav´es da parede na Equa¸c˜ao 3.96 pode partir de:
Z t+∆t t Z e w Qmwdx dt = [xe− xw] Z t+∆t t Qmwdt (5.5)
em que ∆t ´e o passo de integra¸c˜ao no tempo e Qmw ´e o valor m´edio de Qmw no
volume i. Em malhas suficientemente refinadas, o mesmo pode ser razoavelmente aproximado por:
Qmw =
4U
d (Tviz− TP) (5.6)
se for suposto, para fins de c´alculo da transferˆencia de calor, que a temperatura do escoamento ao longo do volume i n˜ao difere muito de Ti.
A Equa¸c˜ao 5.6 deve ser substitu´ıda em 5.5 junto com uma aproxima¸c˜ao para a varia¸c˜ao de Ti com o tempo. PATANKAR (1980) e VERSTEEG e MALALASE-
KERA (2007) introduzem um fator de pondera¸c˜ao κt (0 ≤ κt≤ 1) e prop˜oem:
Z tn tn−1 Tidt = ∆tκtTin+ (1 − κt) Tin−1 (5.7) em que tn= t0+ n∆t e Tin= Ti(tn).
Para avan¸car no tempo, PATANKAR (1980) prop˜oe que, uma vez conhecidos Tin−1, calculem-se Tin, e assim sucessivamente - tarefa cuja complexidade depende do κt adotado. Os esquemas expl´ıcito e impl´ıcito caracterizam-se por κt = 0 e
κt6= 0, respectivamente. A abordagem de Crank-Nicolson corresponde a κt = 1/2.
De todas as possibilidades, somente o m´etodo totalmente impl´ıcito (κt = 1) garante
a obten¸c˜ao de resultados fisicamente plaus´ıveis sem impor restri¸c˜oes `a malha ou ao passo no tempo (PATANKAR, 1980; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007).
Na apresenta¸c˜ao do m´etodo upwind, n˜ao foram discutidas aproxima¸c˜oes para as velocidades nas faces das c´elulas em fun¸c˜ao de seus valores nodais, embora elas apare¸cam na Equa¸c˜ao 5.4. Na verdade, se o problema for montado em fun¸c˜ao das velocidades desconhecidas nos pontos nodais da Figura 5.2, a discretiza¸c˜ao resultante para o gradiente de press˜ao na equa¸c˜ao do movimento pode admitir distribui¸c˜oes oscilat´orias para o campo de press˜oes - comportamento inv´alido do ponto de vista f´ısico. O mesmo pode ocorrer com as componentes da velocidade na discretiza¸c˜ao da equa¸c˜ao da continuidade. Isto ´e evitado pelo c´alculo das velocidades nas faces dos volumes, e n˜ao nos pontos nodais. Em outras palavras, as velocidades s˜ao calculadas em uma malha diferente, deslocada (staggered grid ) em rela¸c˜ao `a adotada para as demais vari´aveis dependentes escalares. Naturalmente, a discretiza¸c˜ao da equa¸c˜ao do movimento exigir´a a integra¸c˜ao de um ponto nodal a outro, e n˜ao mais de uma face para a seguinte (PATANKAR, 1980; PROSPERETTI e TRYGGVASON, 2007; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007): Z E P ∂P ∂x dx = PE − PP (5.8)
TALEBI et al. (2012), MORALES-RUIZ et al. (2012) e ZOU et al. (2016a,b) empregaram malhas deslocadas na solu¸c˜ao dos Modelos de Mistura e de Dois Fluidos unidimensionais.