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Os balan¸cos macrosc´opicos apresentados por BIRD et al. (2002) permitem o c´alculo de quantidades globais de escoamentos que atravessam sistemas macrosc´opicos (por exemplo, um ou mais equipamentos), relacionando suas condi¸c˜oes de entrada e sa´ıda sem entrar muito nos detalhes do que ocorre em seu interior. Tais balan¸cos constituem-se em Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias (EDOs) no tempo, reduzindo-se a rela¸c˜oes alg´ebricas no estado estacion´ario.

Segundo KOLEV (2006), a “arte da engenharia” reside na busca pelo modelo matem´atico mais simples poss´ıvel para dado problema, fazendo-se as aproxima¸c˜oes necess´arias para permitir sua solu¸c˜ao sem desprezar os mecanismos f´ısicos mais im- portantes. Sob esta ´otica, em c´alculos como o da varia¸c˜ao de press˜ao total em tubula¸c˜oes e dutos, faz sentido que as equa¸c˜oes diferenciais de balan¸co sejam prete- ridas em favor dos balan¸cos macrosc´opicos, de inferior complexidade, sempre que os resultados proporcionados por estes se mostrarem suficientemente acurados.

S˜ao apresentados a seguir os balan¸cos macrosc´opicos relacionados ao desenvolvi- mento do presente trabalho.

2.7.1

Balan¸co Macrosc´opico de Energia Mecˆanica

O ponto de partida para a obten¸c˜ao do balan¸co macrosc´opico de energia mecˆanica ´e a integra¸c˜ao, sobre todo o volume do escoamento em estudo, da equa¸c˜ao diferencial de balan¸co da energia cin´etica, mencionada anteriormente. Na integra¸c˜ao de cada termo desta equa¸c˜ao, sup˜oe-se que as velocidades m´edias temporais de entrada e sa´ıda s˜ao perpendiculares `as respectivas se¸c˜oes retas da tubula¸c˜ao, e que a press˜ao e as propriedades f´ısicas do fluido n˜ao variam sobre as mesmas se¸c˜oes transversais. Os termos associados ao trabalho realizado pelas for¸cas viscosas τ nestas posi¸c˜oes, normalmente insignificantes frente `a contribui¸c˜ao das for¸cas de press˜ao, tamb´em s˜ao descartados.

Do procedimento descrito, resulta uma EDO no tempo, conforme mencionado acima. Em um problema em estado estacion´ario, descarta-se o termo transiente, restando uma equa¸c˜ao alg´ebrica. H´a que se considerar, entretanto, que as varia¸c˜oes de press˜ao e temperatura na dire¸c˜ao axial do escoamento inevitavelmente d˜ao origem a gradientes de suas propriedades f´ısicas nesta dire¸c˜ao. Esta ´e a motiva¸c˜ao para escrever o balan¸co estacion´ario para um comprimento diferencial axial dx.

Cumpre lembrar que a mudan¸ca de eleva¸c˜ao correspondente vale sen (θ) dx (em que θ ´e o menor ˆangulo de inclina¸c˜ao do tubo em rela¸c˜ao `a horizontal, positivo para fluxos ascendentes) e que uma tubula¸c˜ao n˜ao possui superf´ıcies m´oveis para realizar trabalho. Supondo-se ainda a existˆencia de uma linha de corrente representativa no sistema, chega-se a (BIRD et al., 2002):

vdv + gsen (θ) dx + 1

ρdP = −d bEv (2.23)

em que v deve ser interpretada como a m´edia da velocidade sobre a se¸c˜ao transver- sal do duto, desprezando-se suas flutua¸c˜oes caso o escoamento seja turbulento. A dissipa¸c˜ao viscosa por unidade de massa, bEv, ´e definida como:

b Ev ≡ 1 w Z V (τ : ∇v) dV (2.24)

em que w ´e a vaz˜ao m´assica do escoamento e V ´e o volume da tubula¸c˜ao em quest˜ao. Destaca-se que a dedu¸c˜ao da Equa¸c˜ao 2.23 n˜ao supˆos que o sistema fosse isot´ermico. Portanto, este resultado tamb´em ´e v´alido para escoamentos n˜ao-isot´ermicos.

A defini¸c˜ao rigorosa da Equa¸c˜ao 2.24 n˜ao ´e utilizada na pr´atica para o c´alculo da perda viscosa. ´E poss´ıvel relacion´a-la `a for¸ca exercida pelo fluido sobre a tubula¸c˜ao, e da´ı, ao fator de atrito f , obtendo-se (BIRD et al., 2002):

d bEv = f

dx d

v2

em que d ´e o diˆametro interno da tubula¸c˜ao. Introduzindo-se esta rela¸c˜ao na Equa¸c˜ao 2.23 e rearranjando-se o resultado, chega-se finalmente a:

dP dx = − ρf v2 2d − ρgsen (θ) − ρv dv dx (2.26)

em que v ´e a velocidade m´edia transversal, correspondendo ao quociente entre a vaz˜ao volum´etrica local e a ´area transversal da tubula¸c˜ao, como j´a foi ressaltado.

A integra¸c˜ao da Equa¸c˜ao 2.26 permite calcular o perfil axial de press˜oes do escoamento. O c´alculo rigoroso do terceiro termo no lado direito, que expressa a va- ria¸c˜ao de energia cin´etica, exige a inclus˜ao da conserva¸c˜ao de massa na formula¸c˜ao do problema. Verifica-se, entretanto, que tal termo ´e nulo para escoamentos in- compress´ıveis. Segundo BRILL e MUKHERJEE (1999), o mesmo somente assume propor¸c˜oes significativas na presen¸ca de uma fase compress´ıvel em press˜oes relati- vamente baixas.

O primeiro termo no lado direito da Equa¸c˜ao 2.26, que representa o gradiente de press˜ao originado pela perda por atrito, ´e conhecido como a equa¸c˜ao de Darcy- Weisbach, e seu cˆomputo exige m´etodos para a determina¸c˜ao do fator de atrito f . Este coeficiente ´e chamado em alguns textos de fator de atrito de Darcy (KLEINS- TREUER, 2010; ROTAVA, 2012) ou fator de atrito de Moody (BRILL e MUKHER- JEE, 1999) para diferenci´a-lo do fator de atrito de Fanning fF; ambos s˜ao relacio-

nados por f = 4fF. O famoso diagrama de Moody fornece o fator de atrito como

fun¸c˜ao da rugosidade relativa e/d da parede interna da tubula¸c˜ao (em que e repre- senta sua rugosidade absoluta) e de um n´umero de Reynolds calculado como (BRILL e MUKHERJEE, 1999; ROTAVA, 2012):

Re = dvρ

µ (2.27)

em que, analogamente `as equa¸c˜oes anteriores, v representa a velocidade m´edia trans- versal (ROTAVA, 2012). Acima do valor cr´ıtico de aproximadamente 2100 (BIRD et al., 2002; ROTAVA, 2012) ou 2300 (WILCOX, 2006), o escoamento ´e suposto turbulento nos c´alculos. Abaixo destes limites, ele ´e laminar e seu perfil de velocida- des pode ser analiticamente determinado, permitindo demonstrar que (BIRD et al., 2002):

flaminar =

64

Re (2.28)

Os c´alculos discutidos s˜ao mais convenientemente realizados em programas de computador. Equa¸c˜oes que reproduzem com precis˜ao o diagrama de Moody podem ser obtidas de ROTAVA (2012) para este fim. Conv´em mencionar que KLEINS- TREUER (2010, 2003) cita a abordagem discutida como uma forma de evitar as dificuldades da modelagem da turbulˆencia, cujos efeitos s˜ao encapsulados pelo fator

de atrito f .

2.7.2

Balan¸co Macrosc´opico de Energia (Total)

Rigorosamente falando, a integra¸c˜ao da Equa¸c˜ao 2.26 requer express˜oes para pro- priedades f´ısicas como ρ e µ, as quais s˜ao fun¸c˜oes de duas propriedades intensivas, como j´a foi discutido. Se a temperatura T como fun¸c˜ao de x ´e conhecida (ou se o escoamento ´e suposto isot´ermico), as referidas propriedades podem ser tomadas como fun¸c˜oes de P e T , e o problema possui grau de liberdade zero (a Equa¸c˜ao 2.26 pode ser resolvida).

Na situa¸c˜ao mais geral, em que T (x) n˜ao ´e conhecida, o problema fica subespeci- ficado; a Equa¸c˜ao 2.26 precisa ser complementada pela equa¸c˜ao cal´orica de estado e pelo balan¸co macrosc´opico de energia. Este balan¸co pode ser obtido pela integra¸c˜ao da equa¸c˜ao da energia ou, alternativamente, pela aplica¸c˜ao direta do princ´ıpio da conserva¸c˜ao de energia sobre o sistema analisado. Dado que este ´e um balan¸co das energias interna, cin´etica e potencial, utiliza-se por vezes a denomina¸c˜ao balan¸co de energia total, para evitar confus˜ao com balan¸co de energia mecˆanica. Este ´ultimo ´e deduzido da equa¸c˜ao do movimento, e portanto, cont´em informa¸c˜ao diferente do primeiro (BIRD et al., 2002).

Para um comprimento diferencial dx ao longo de um escoamento permanente, em que a condu¸c˜ao de calor e o trabalho das for¸cas viscosas s˜ao considerados desprez´ıveis frente ao transporte advectivo de energia e `a contribui¸c˜ao das for¸cas de press˜ao, adotando-se as mesmas simplifica¸c˜oes do ´ıtem anterior, ´e poss´ıvel obter:

vdv + gsen (θ) dx + dh = dQ (2.29)

em que dQ representa o calor adicionado por unidade de massa do fluido, atrav´es das fronteiras do sistema. Dispondo-se de um modelo para o fluxo de calor bQ trocado atrav´es das paredes da tubula¸c˜ao, pode-se representar esta parcela como:

dQ = Qπdb

w dx (2.30)

Substituindo-se 2.30 em 2.29, obt´em-se, ap´os alguma manipula¸c˜ao, a seguinte equa¸c˜ao unidimensional para o gradiente axial de entalpia:

dh dx = b Qπd w − v dv dx − gsen (θ) (2.31)

O segundo termo no lado direito da Equa¸c˜ao 2.31, expresso em termos da ve- locidade m´edia transversal v, surge da inclus˜ao da energia cin´etica no balan¸co ma- crosc´opico, e seu c´alculo rigoroso pode exigir a inclus˜ao da conserva¸c˜ao de massa na

formula¸c˜ao do problema, conforme discuss˜ao anterior. Entretanto, segundo BRILL e MUKHERJEE (1999), sua contribui¸c˜ao ´e normalmente desprez´ıvel. Isto ´e con- firmado por BIRD et al. (2002), que demonstra que, frequentemente na ind´ustria qu´ımica, a varia¸c˜ao axial da energia cin´etica ´e muito reduzida frente `a diferen¸ca na entalpia.