L’ergodisme revisit´e

Nous avons d´efini au paragraphe 2.5.1 une large classe de signaux al´eatoires stationnaires et ergodiques. Ce sont les signaux obtenus par filtrage de Volterra d’un bruit blanc parfait. Nous avons ´egalement indiqu´e que, pour ces signaux, les cumulants sont born´es et les multicorr´elations sont int´egrables. Nous allons voir que ceci fonde la consistance des estimateurs obtenus par une moyenne temporelle. Un estimateur est consistant si sa valeur tend presque sˆurement vers la vraie valeur lorsque la dur´ee utilis´ee pour calculer l’estima- teur tend vers l’infini.

Rappelons le r´esultat donn´e en [64]. Pour des signaux al´eatoires `a temps discret de la classe d´efinie en 2.5.1,

lim N →∞ 1 2N + 1 N ) −N x1(n + k1) . . . xL(n + kL) = E [x1(n + k1) . . . xL(n + kL)] , (2.27) montre la convergence asymptotique des moyennes temporelles vers les moyennes d’ensemble.

Ce r´esultat donne la clef des m´ethodes d’estimation dans lesquelles on estime les moyennes d’ensemble par des moyennes temporelles. Notons que des r´esultats analogues sont d´ej`a utilis´es dans les estimateurs de grandeurs du second ordre. Pratiquement on ne peut pas r´ealiser le passage `a la limite

(N → ∞). Les propri´et´es statistiques de l’estimateur obtenu pour N fini sont donn´ees par le r´esultat suivant [64].

La variable al´eatoire 1 2N + 1 N ) −N x1(n + k1) . . . xL(n + kL) − E [x1(n + k1) . . . xL(k + kL)]

tend vers une variable al´eatoire gaussienne centr´ee dont la variance varie en 1/(2N) lorsque (N → ∞).

Ces r´esultats th´eoriques fondent la validit´e des m´ethodes pr´esent´ees ci- dessous. Ils nous permettront d’affirmer que les estimateurs donn´es plus loin sont consistants. Dor´enavant nous supposons que les signaux utilis´es v´erifient les conditions ´enonc´ees en 2.5.1.

2.6.2

Moments ou cumulants ?

Nous avons d´ej`a pr´esent´e au paragraphe 2.2.4 les arguments plaidant en faveur des cumulants. L’int´erˆet de l’usage des cumulants apparaˆıt ´egalement lorsque l’on veut mesurer les multicorr´elations et les multispectres.

Pour les multicorr´elations nous avons vu (voir 2.2.4) que si l’on calcule la multicorr´elation des moments, il apparaˆıt des “branches” s’´etendant jusqu’`a l’infini et situ´ees sur les sous-ensembles, multiplicit´es gaussiennes, que nous avons pr´ecis´es en 2.2.4. L’existence de ces branches infinies pose un probl`eme pratique. En effet, les signaux observ´es sont de dur´ee finie et, pour des questions de stabilit´e statistique de l’estimateur (variance), on doit limiter le support de la multicorr´elation estim´ee. Cela conduit `a des perturbations importantes des branches s’´etendant `a l’infini.

Pour les multispectres, si l’on calcule le multispectre des moments il apparaˆıt –comme nous l’avons montr´e en 2.2.4– des singularit´es dans certains sous-ensembles de l’espace des fr´equences. Ces sous-ensembles ´etant de mesure nulle nous pourrions esp´erer que leur effet soit peu sensible. Ce n’est pas le cas car, comme dans l’analyse spectrale `a l’ordre 2, la dur´ee limit´ee du signal trait´e entraˆıne un effet de lissage qui “´etale” les singularit´es. Il s’ensuit l’existence d’un biais important lorsque l’on calcule les multispectres des moments. En conclusion il nous semble raisonnable de pr´econiser l’utilisation des cumulants dans l’estimation des multicorr´elations et des multispectres.

La question qui se pose alors est celle de la “bonne estimation” des cumu- lants. Nous avons montr´e en 2.5.1 les d´eboires qui peuvent accompagner l’esti- mation de la moyenne. Nous ne connaissons pas de r`egle g´en´erale. Nous allons donner quelques indications pour les multicorr´elations et les multispectres jus- qu’`a l’ordre 4. Commen¸cons par les ordres 2 et 3. Pour ces ordres les cumulants sont les moments du signal centr´e. Il suffit donc d’estimer la moyenne et de la retrancher (ce probl`eme est bien connu en analyse spectrale classique). Mais il ne faut pas, nous l’avons montr´e en 2.5.1, calculer la moyenne sur la mˆeme

tranche de signal que celle qui est utilis´ee pour estimer la multicorr´elation ou le multispectre. Lorsqu’on est amen´e `a d´ecouper le signal en segments, pour diminuer la variance, une solution consiste `a retrancher la moyenne estim´ee sur l’ensemble du signal. Une autre proc´edure s’appuie sur l’hypoth`ese sui- vante, g´en´eralement v´erifi´ee. On admet que le signal trait´e est `a m´emoire finie. D’une part ceci est conforme `a l’intuition14_{. D’autre part ceci est une condition}

n´ecessaire pour assurer un comportement satisfaisant des estimateurs. En effet nous avons dit que nous devrons, pour des raisons pratiques, limiter le support des multicorr´elations estim´ees. Dans ce cas, la moyenne de l’estimation de la corr´elation des moments est

C_{x (2)}# (k) = C_{x (2)}(k) + m2_x;

ayant postul´e que C_{x (2)(k) est nul pour |k| ≥ k}M on obtiendra la moyenne m

pour des retards sup´erieurs `a kM.

Lorsque l’on veut estimer la tricorr´elation il faut non seulement retran- cher la moyenne mais ´egalement retrancher les termes issus de la corr´elation qui apparaissent dans la multicorr´elation des moments (voir 2.2.4). On peut alors, comme pour la moyenne, utiliser une estimation de la corr´elation (avec pr´ecaution) et estimer les termes suppl´ementaires en se pla¸cant `a l’ext´erieur du support pr´esum´e de la tricorr´elation. On a ´egalement propos´e [90] d’utiliser le trispectre des moments. Comme on connaˆıt la localisation des singularit´es du trispectre des moments on remplace, en faisant une hypoth`ese de continuit´e, les valeurs obtenues au voisinage des zones de singularit´e par le prolongement des valeurs du trispectre obtenues en dehors des zones de singularit´e. On peut d´eterminer l’extension des zones qui doivent ˆetre neutralis´ees en fonction du lissage qui a ´et´e appliqu´e.

Nous avons voulu soulever ce point qui nous paraˆıt important dans l’esti- mation des multicorr´elations et des multispectres. Nous n’avons que tr`es par- tiellement r´epondu `a la question. Nous pensons qu’il y a l`a une des tˆaches importantes qui attendent les chercheurs du domaine.