3. Modélisation thermo-hydraulique
3.5. Validation du modèle en 2D
3.5.1. L’approximation de Boussinesq
Dans son traité « Théorie Analytique de la chaleur », en 1903, Boussinesq énonçait :
« […] dans la plupart des mouvements provoqués par la chaleur sur nos fluides pesants, les volumes ou les densités se conservent à très peu près, quoique la variation correspondante du poids de l’unité de volume soit justement la cause des phénomènes qu’il s’agit d’analyser. De là résulte la possibilité de négliger les variations de la densité, là où elles ne sont pas multipliées par la gravité g, tout en conservant dans les calculs, leur produit par celle-ci. »
On décrit ici très brièvement, le système d’équation engendré par une telle simplification. Alors que les équations (3.10) et (3.19) restent inchangées, l’équation (3.13) se réduit à :
.U 0 %! !$
(3.34)
L'application d'une telle approximation dans le cadre de la modélisation hydrothermale peut paraître tout à fait incongrue: les forts gradients de pression et de température placent d'emblée les systèmes hydrothermaux réels en dehors des limites de validité de l'approximation de Boussinesq. Dans ce cadre, l'approximation de Boussinesq conduit, entre autres choses, à favoriser la diffusion de chaleur dans le système [Wilcock, 1998; Coumou et al., 2006].
Cependant, la validation de codes résolvant les équations complètes d'écoulement (3.13) et de transfert de chaleur (3.19) ne peut se faire qu'en simulant des systèmes dynamiques plus simples, et en comparant les résultats obtenus aux solutions analytiques lorsqu’elles existent ou aux résultats d’autres codes de calculs.
L'approximation de Boussinesq a longtemps été utilisée pour modéliser le phénomène de convection dit de Rayleigh-Bénard en milieu poreux. Cette convection est un exemple des mécanismes majeurs conditionnant la circulation hydrothermale et est encore aujourd'hui utilisée pour la plupart des validations de codes complexes dédiés à la modélisation des systèmes hydrothermaux [Cherkaoui et Wilcock, 1999; Emmanuel et Berkowitz, 2006; Geiger et al., 2006;
Fontaine et Wilcock, 2007]. On en fait une brève description dans le paragraphe suivant. On présente de même, au paragraphe 3.5.3, le cas de la configuration dite de « boîte ouverte » dans le cadre de l'approximation de Boussinesq. Cette configuration a en effet été souvent utilisée pour l'étude de systèmes hydrothermaux fortement simplifiés [Cherkaoui et Wilcock, 1999; Emmanuel
et Berkowitz, 2006; Fontaine et Wilcock, 2007].
La convection de Rayleigh!Bénard
Dans un fluide dilatable, une perturbation de température peut générer, sous certaines conditions, une instabilité convective. Pour un liquide soumis à un gradient de température vertical, la condition de stabilité est généralement donnée sous la forme [Landau et Lifchitz, 1989] :
Plaque plane supérieure (froide) : T = Thaut
Plaque plane inférieure (chaude) : Tbas= Thaut+ T, avec T>0
p
dT g T
<
dz c , (3.35)
où g représente la norme du vecteur d'accélération de la gravité, , le coefficient de dilatation
thermique du fluide, T, la température et cp, la capacité thermique à pression constante.
Si cette condition n’est pas satisfaite, la convection apparaît. Ainsi, lorsque l'on place un fluide entre deux plaques planes horizontales et que l'on crée un gradient de température en chauffant légèrement la plaque inférieure, à partir d’un certain écart de température (!T>0), des rouleaux de convection se forment : ce résultat est appelé convection de Rayleigh-Bénard (cf. Figure 3.3).
Dans le cas simple d'un fluide dont la masse volumique ne dépend que de la température, qui plus est linéairement, la dépendance de l'intensité de la convection aux multiples paramètres d'écoulement peut être réduite au nombre adimensionné de Rayleigh, noté Ra.
Figure 3.3 : Représentation schématique de la convection de Rayleigh-Bénard.
Le nombre de Rayleigh conditionne le début de la convection et l'intensité de la convection.
Si l'on se place dans le cas d’une convection de Rayleigh-Bénard, lorsque la colonne de fluide chaud remonte vers les zones hautes plus froides du fluide, elle perd une partie de sa chaleur par diffusion, atténuant ainsi le gradient local de température. On peut associer un temps
caractéristique au phénomène de diffusion, noté th, et défini comme suit :
th= d2
ktherm , (3.36)
où d est la distance entre les plaques horizontales du dispositif et ktherm, la diffusivité thermique du
fluide.
De même, la remontée de cette cellule chaude va dépendre de la viscosité dynamique µ0
du fluide (qui ralentit le mouvement de convection), du coefficient de dilatation thermique , de la
différence de température !T, de la masse volumique caractéristique "0, et de la gravité (qui,
quant à eux, favorisent la convection), ainsi que de la hauteur caractéristique du phénomène, d.
m=cte !0
"0gd#$T . (3.37)
Or, l’apparition d’un mouvement durable n’est possible que lorsque la durée de vie de la cause du mouvement est plus longue que la durée de la manifestation de l’effet. Autrement dit, pour qu’il y ait convection, on doit vérifier :
th m
= "0g#d
3
$T
!0kthermcste >1, (3.38a)
Ra="0g#d
3
$T
!0ktherm >cste=Rac , (3.39b)
où Ra représente une première écriture du nombre de Rayleigh. Rac correspond au nombre de
Rayleigh critique au-delà duquel il y a convection.
En milieu poreux, le temps caractéristique de convection est défini de façon légèrement différente :
m=cste !0d
k0g$" . (3.40)
Le nombre de Rayleigh devient alors :
Ra=$"gdk0
!0ktherm . (3.41)
On verra (au paragraphe 3.6.2, article 1) que, pour un fluide donné, l'écriture du système d'équations mathématiques décrivant le comportement thermo-hydraulique de la convection de Rayleigh-Bénard en milieu poreux et faisant intervenir l'approximation de Boussinesq, montre que c'est le nombre de Rayleigh seul qui conditionne la totalité du comportement du système étudié. Les sous-paragraphes suivants tiennent compte de ce fait.