Configuration en boîte fermée

Dans les années 1980-1990, la modélisation de la convection de Rayleigh-Bénard au sein de systèmes poreux a été l’objet de très nombreuses études. En effet, l’apparente simplicité de description d’un tel système instable a conduit de nombreux chercheurs à s’intéresser aux mécanismes de transition vers le chaos d’écoulements fluides mis en mouvement par un différentiel de température. Les modélisations numériques et analytiques de ces systèmes ont été menées le plus souvent sur un domaine carré fermé (Figure 3.4) chauffé par le bas, possédant des parois latérales adiabatiques (voir paragraphe 3.6.2, article 1).

Figure 3.4 : Schéma d’un système de type boîte fermée : un domaine carré contenant un milieu poreux est délimité à droite et à gauche par des parois adiabatiques imperméables, en bas par une paroi chauffée imperméable et en haut par une paroi froide imperméable. T désigne la température, P la pression, L la dimension du domaine, u et v les vitesses horizontale et verticale du fluide. Ces variables sont ici toutes adimensionnées(*).

A partir d’un Rayleigh critique, égal à 4#² [Kimura et al., 1986; Caltagirone et Fabrie, 1989;

Graham et Steen, 1992; 1994; Cherkaoui et Wilcock, 1999], on observe la mise en mouvement du fluide. La convection déforme alors le champ de températures.

Kimura et al. (1986), Steen et Aidun (1988) ou encore Caltagirone et Fabrie (1989) ont étudié les mécanismes des transitions observées en fonction du nombre de Rayleigh. Après la première bifurcation du système vers un régime permanent par dépassement du Rayleigh critique, l’augmentation progressive du Rayleigh fait apparaître différents régimes repérables à l’aide de la courbe d’évolution temporelle du flux d’énergie traversant la frontière inférieure du domaine. Ce flux est aussi appelé nombre de Nusselt (Nu). Le Nusselt est défini comme le rapport entre le flux de chaleur total et le flux de chaleur en conduction pure. Il permet ainsi de quantifier le rapport des flux de chaleur avec ou sans convection. Dans le cas des systèmes de boîtes fermées, les parois latérales sont souvent imperméables et adiabatiques. Ceci permet de calculer le nombre de Nusselt sur la frontière inférieure de la boîte. Comme cette paroi est imperméable, il peut alors s’écrire comme étant le flux diffusif adimensionné traversant la paroi :

* * * * * 0

0

T

Nu =

dx

z

z =

!

!

"

où L* _{est la longueur adimensionnée de la frontière inférieure du domaine, et T}*_{, la température}

adimensionnée. Lorsque la valeur du nombre de Rayleigh du système est supérieure à celle du Rayleigh critique, la valeur du nombre de Nusselt est donc supérieure à 1. Selon la valeur du nombre de Rayleigh, le nombre de Nusselt va adopter des comportements bien déterminés (figure 3.5)

Figure 3.5 : Évolution des valeurs moyennes du nombre de Nusselt et de ses fréquences

d’oscillation en fonction du nombre de Rayleigh, pour un rapport d’aspect égal à 1[Steen et Aidun, 1988; Caltagirone et Fabrie, 1989]. Le domaine C désigne la gamme des nombres de Rayleigh pour lesquels le champ de température est diffusif et le nombre de Nusselt égal à 1. Au-delà de la valeur du Rayleigh critique de 39,5, un régime de convection stable se met en place (CS). Différents régimes d’oscillation apparaissent lorsque le nombre de Rayleigh devient supérieur à 390,7. Ces différents régimes d’oscillation sont désignés par les lettres P (P1, P2) pour des régimes périodiques possédant une seule fréquence d’oscillation f1, et par QP (QP1, QP2) pour des régimes quasi-périodiques possédant plusieurs fréquences d’oscillation, f1 correspondant à la fréquence principale.

Donc, pour deux valeurs du nombre de Rayleigh différentes, on obtient des comportements du nombre de Nusselt différents. Ceci fait du couple (nombre de Rayleigh,nombre de Nusselt) un critère efficace pour la validation d’un code couplant hydraulique et transport en milieu poreux.

Pourquoi le nombre de Nusselt oscille!t!il ?

Pour illustrer succinctement le propos qui suit, la figure 3.6 présente l’évolution du champ de températures dans un milieu poreux fermé, chauffé par le bas, pour un Rayleigh de 800, au cours d’une période de temps égale à la période d’oscillation du nombre de Nusselt. On observe une convection de Rayleigh-Bénard dans le cas d’un régime périodique de type P2 (la fréquence principale f1 est de l’ordre de 280). On remarque aisément à la base du domaine, un bombement de la couche limite qui s’intensifie à mesure qu’il se déplace de la droite vers la gauche dans le sens général de l’écoulement. Il donne ensuite naissance à un bourgeonnement net de matière chaude à mi-parcours. Ce bourgeon, tout en se déplaçant vers la gauche, possède une vitesse ascensionnelle liée à sa plus faible densité.

Figure 3.6 : Évolution du champ de température au cours d’une période d’oscillation (T=1/f1) du nombre de Nusselt. La circulation du fluide est établie dans une boîte fermée contenant un milieu poreux homogène isotrope pour un nombre de Rayleigh égal à 800. Dans le premier champ présenté en haut à gauche, le cycle orienté par quatre flèches représente le sens général de la circulation.

Par la suite, cette vague vient s’écraser contre la paroi latérale gauche, chasse une zone plus froide pincée entre cette vague et la vague précédente qui remonte vers le sommet du domaine. Le système réagit également pour la zone froide aux perturbations engendrées par les vagues de chaleurs. Ces vagues peuvent être interprétées comme une tentative de mise en place d’un nouveau rouleau de convection afin d’évacuer le surplus d’énergie. Mais tant que le Rayleigh n’est pas supérieur à une valeur seuil, cette tentative est étouffée par le mouvement général de convection de l’unique rouleau et par la diffusion thermique.

Les différentes fréquences apparaissant par exemple pour le régime QP1 sont dues aux

différences entre la vitesse d’apparition du bourgeonnement et la vitesse d’étalement des cellules ascendantes (respectivement descendantes) le long de la couche limite froide (respectivement chaude) [Horne et Caltagirone, 1980; Caltagirone et Fabrie, 1989]. L’apparition d’une troisième fréquence serait due à la coalescence des vagues lors de leurs ascensions le long des parois latérales.

La configuration du champ de température conditionne donc directement et précisément l’évolution dans le temps du nombre de Nusselt. On étudie donc un système défini par un paramètre d’entrée principal, le nombre de Rayleigh, qui conduit à un comportement déterminé et décrit par la fréquence d’oscillation et la valeur moyenne d’une unique variable de sortie : le nombre de Nusselt. Ces systèmes simplifiés restent contraignants numériquement et permettent donc la validation par comparaison des résultats numériques avec des résultats déjà publiés (voir paragraphe 3.6.2, article 1).