CHAPITRE 2 CADRE THEORIQUE ET METHODOLOGIE
II- 3 L’analyse du corpus selon trois niveaux de granularité
Etant donnée la taille de notre corpus, nous procédons par zooms successifs. Nous effectuons des analyses selon trois niveaux successifs qui s’imbriquent les uns dans les autres : un premier niveau que nous nommons panoramique qui englobe l’année scolaire, donc qui se situe au niveau de la séquence, un deuxième niveau que nous nommons premier zoom qui se situe à l’échelle d’une séance et un dernier niveau que nous nommons second zoom qui se focalise sur des moments précis issus des séances, moments que nous préciserons par la suite.
II-3.1 Un niveau panoramique d’analyse
Ce niveau d’analyse se situe à l’échelle de l’année scolaire. Nous repérons les ressources raisonnablement disponibles pour les professeurs des écoles et qu’ils seraient donc susceptibles d’utiliser puis étudions les choix effectués par les enseignants en termes de ressources pour trouver des problèmes ouverts. Nous déterminons également comment la proposition de problèmes ouverts se répartit sur l’année scolaire dans chacune des classes, ce qui nous permet d’accéder au parcours mathématique que chaque professeur propose à ses élèves concernant l’étude de problèmes ouverts.
a) Choix des ressources raisonnablement disponibles
Afin de déterminer ce qu’il est possible de proposer à des élèves de cycle 3 en termes de problèmes ouverts®, de faire des hypothèses sur les choix que font les enseignants que nous observons, nous étudions les ressources dont ils peuvent disposer. Il s’agit des manuels scolaires les plus souvent utilisés, de quelques numéros de la revue professionnelle Grand N, de contenus de formation initiales auxquels nous avons pu avoir accès pour un des enseignants observés. Etant donné l’âge des cinq enseignants sélectionnés, nous analysons des manuels scolaires édités suite aux changements de programmes des années 1995, 2002 et 2008. Nous y ajoutons un document d’accompagnement « le problème pour chercher » des programmes de l’année 2002 qui, même s’il n’est plus d’actualité depuis les changements de programmes de l’année 2008, constitue une ressource que certains enseignants consultent peut-être encore et, étant donné leur ancienneté dans le métier, ont eu la possibilité de consulter quelques années auparavant. Nous nous intéressons également à quelques sites Internet, mentionnés dans ce document d’accompagnement. Il s’agit de sites dédiés à des123
rallyes mathématiques, le site du rallye mathématique transalpin (ARMT) auquel nous ajoutons le site du rallye mathématique de La Sarthe. Nous choisissons le rallye mathématique de La Sarthe parce que notre étude se situe dans ce département et les enseignants observés sont susceptibles de le connaître. Ce rallye s’adresse principalement à des élèves de collège cependant depuis l’année 2012, quelques classes de cycle 3 y participent également. De ce fait, nous pouvons penser que la consultation du site ainsi que l’étude de problèmes issus de ce rallye peuvent être encouragées par des inspecteurs. D’autres sites dédiés à des rallyes mathématiques sont susceptibles d’être utilisés par les enseignants observés, par exemple le site du rallye de la Haute-Loire ainsi que le site du Puy de Dôme. En effet, ces sites, au moment de nos observations, apparaissent le plus souvent en tête des listes des moteurs de recherche, en utilisant les mots clés « problèmes de recherche, cycle 3 », « rallye mathématique » ou « résolution de problèmes cycle 3 » et la probabilité est grande pour que les enseignants observés les rencontrent lors de recherches d’énoncés sur Internet. Nous repérons, pour chacune de ces ressources, la fonction de leurs auteurs dans le monde éducatif qui, d’après nous, peut influencer les enseignants dans leurs choix. Par exemple, un enseignant peut choisir d’utiliser des ressources rédigées par un groupe d’inspecteurs (donc possédant d’après lui une certaine caution institutionnelle) alors qu’un autre enseignant peut choisir des ressources conçues par un groupe de professeurs de mathématiques (en pensant qu’ils ont, eux, une bonne connaissance de ce qui est attendu des élèves en mathématiques lors de leur entrée au collège). Nous cherchons à déterminer comment ils caractérisent les problèmes ouverts® et quels objectifs ils visent à travers leur utilisation en classe. Nous étudions également les scénarii des séances dédiées à des problèmes ouverts® qu’ils proposent éventuellement aux enseignants.
b) Analyse du choix des ressources par les
enseignants observés
Nous repérons les ressources que les enseignants utilisent lors de nos observations en classe et lors nos échanges : s’agit-il du manuel habituel de la classe ? Sinon, vers quelles autres ressources les enseignants s’orientent-ils et pourquoi ? Nous étudions la sélection qu’ils opèrent parmi les ressources disponibles en faisant appel à des éléments du cadre théorique de l’approche documentaire du didactique (Gueudet, Trouche, 2008). Nous cherchons à déterminer une éventuelle stabilité dans le choix des ressources utilisées pour trouver des problèmes ouverts.
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Les enseignants fournissent, principalement hors de la classe, un réel « travail de documentation » qui consiste à « collecter des ressources, les sélectionner, les transformer, les recomposer, les partager, les mettre en œuvre, les réviser… » (Gueudet et Trouche, 2009). Ils disposent d’un certain nombre de ressources, ressources que nous avons identifiées dans le paragraphe précédent. Ces ressources sont à considérer comme un artefact (Rabardel, 1995, Gueudet et Trouche, 2009) c’est à dire « un produit de l’activité humaine élaboré pour s’inscrire dans une activité finalisée » (Rabardel, 1995) qui va être transformé par l’enseignant qui choisit de les utiliser afin d’atteindre un but qu’il a défini au préalable. De plus, cette « […] notion de ressources est utilisée au sens de ressource pour construire des documents […] » (Crozat, 2007). Et c’est donc à partir de ces ressources-artefacts que les enseignants vont produire un document. Ce document étant « porteur d’une intention spécifique à un contexte d’usage » (Ibid.). Gueudet et Trouche précisent que les enseignants disposent alors « d’un ensemble de ressources-artefacts (manuels, logiciels, sites), qui vont donc donner naissance, pour une tâche donnée, au cours d’une genèse documentaire, à un document-instrument » (2009, p. 75).
Afin de comprendre cette genèse documentaire autrement dit ce travail réalisé par l’enseignant sur les ressources pour les transformer en un document, il convient de tenir compte de deux processus : les processus d’instrumentation et d’instrumentalisation. Le premier renvoie à la construction des schèmes d’utilisation (Vergnaud, 1996, Gueudet et Trouche, 2009), le second renvoie à l’appropriation des ressources. Le document produit par l’enseignant à partir de ressources-artefacts dans un but qu’il a lui-même défini –proposer un problème ouvert à sa classe, par exemple- « […] est ainsi une entité mixte, avec une composante matérielle et une composante psychologique (un schème d’utilisation de ces ressources, pour la réalisation d’une tâche donnée) ». Gueudet et Trouche proposent d’ailleurs une modélisation afin de le définir : « document = ressources + schème d’utilisation » (2009). En nous inspirant de leur travail, nous proposons le schéma suivant (Cf. Figure 16) afin de retracer l’élaboration d’un document dans le cas de notre étude, par les cinq enseignants observés.
La construction du document, dépendante du but prédéfini par l’enseignant, est liée à un schème d’utilisation des ressources disponibles défini comme « une organisation invariante de l’activité, structurée par des invariants opératoires qui se forgent à travers une variété de contextes d’usage. ». Les invariants opératoires d’un schème d’utilisation, dans le cas du travail documentaire de l’enseignant, comprennent les « connaissances professionnelles de
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l’enseignant » à savoir « l’ensemble des connaissances susceptibles d’intervenir dans l’activité professionnelle des enseignants. Ces connaissances peuvent être mathématiques, elles peuvent concerner les types de tâches à proposer aux élèves, les difficultés à anticiper etc. » (Gueudet, Trouche, 2010, p. 59).
Figure 16 Elaboration d’un document par un enseignant (Schéma inspiré de Gueudet, Trouche, 2010)
Il apparaît donc que le travail documentaire de l’enseignant, conduisant à la production d’un document, dépend des différentes ressources-artefacts disponibles et d’un schème d’utilisation basé sur des invariants opératoires. Ainsi dans notre étude, le repérage de ces invariants opératoires peut permettre d’expliquer en partie les choix faits par l’enseignant en termes de ressources, il semble constituer « une clef de compréhension essentielle du travail enseignant, en particulier pour une étude de travail documentaire » (Gueudet, Trouche, 2008, p. 11).
c) Analyse a priori des problèmes choisis par les
enseignants observés
Les cinq enseignants de notre étude choisissent seuls des problèmes ouverts pour leur classe. Nous effectuons une analyse a priori de ces énoncés qu’ils choisissent afin de repérer les savoirs en jeu dans chacun d’eux. Nous déterminons également des démarches de résolution possibles pour résoudre le problème et repérons les démarches pouvant être mobilisées par
Un but commun à atteindre :
organiser une séance dédiée à l’étude d’un ou plusieurs problèmes ouverts
La création d’un document : l’énoncé de problèmes ouverts, des éléments concernant la mise en œuvre des séances, etc. Les ressources disponibles :
Les manuels des collections Cap Maths, J’apprends les maths, Euromaths, etc.
Les ouvrages de l’équipe Ermel Le document d’accompagnement des
programmes (MEN, 2003)
Des documents (revues ou autres) issus de la recherche
Le site ARMT
Les sites des autres rallyes mathématiques
Les sites des inspections académiques Des sites de professionnels
Un temps d’instrumentation (l’appropriation des ressources) Un temps d’instrumentalisation (la construction d’un schème d’utilisation)
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des élèves de cycle 3. Cette analyse nous permet de déterminer les possibles avec les énoncés choisis, de repérer quelles mathématiques peuvent être abordées dans chacune des classes en les étudiant.
Notre étude fait suite aux travaux de recherche déjà existants sur les savoirs en jeu dans les problèmes ouverts® de l’école primaire (Douaire, 1999 ; Hersant, 2008, 2010 ; Houdement, 2009), elle nous permet de déterminer le parcours mathématique envisagé par chacun des enseignants pour leurs élèves lors de l’étude de problèmes ouverts, étude répartie sur l’année. Nous classons tous ces énoncés. Nous considérons les énoncés selon leur lien avec la « vie courante », nous discutons l’intérêt de ce lien pour les élèves à travers la comparaison de quelques énoncés, en termes de littératie mathématique (Artigue, 2011), de représentation des problèmes (Julo, 1995) et en termes de modélisation (Houdement, 2009). Nous les classons ensuite selon le domaine mathématique dans lequel ils sont posés. Nous utilisons pour cela, la répartition proposée par les instructions officielles (MEN, 2008), en quatre grands domaines des mathématiques enseignées à l’école primaire puis au collège (Nombres et calcul, Géométrie, Grandeurs et Mesures, Organisation et Gestion de données). Nous étudions également les énoncés selon la nature des solutions à produire et la nature de la réponse attendue : y a-t-il une, aucune ou plusieurs solutions au problème ? S’agit-il d’un nombre, d’une mesure, d’un ensemble de nombres, d’une forme géométrique ou d’un autre type de solutions (une liste de noms, une proposition mathématique, etc.) ? Faut-il trouver toutes les solutions possibles ? Nous classons enfin les énoncés selon les raisonnements pouvant être convoqués par les élèves et selon le type de validation attendue (Douaire, 1999 ; Houdement, 2009 ; MEN, 2008).
d) Détermination du parcours mathématique de chaque
enseignant
Concernant les pratiques des cinq enseignants observés, nous repérons aussi à ce niveau panoramique la répartition sur l’année des séances dédiées à l’étude des problèmes ouverts en croisant cette répartition avec les énoncés proposés. Nous cherchons à déceler une progression dans les propositions faites par chacun des enseignants tout au long de l’année. Les différentes analyses effectuées à ce niveau panoramique permettent donc de déterminer le parcours mathématique proposé par chacun des cinq enseignants à sa classe, en termes de problèmes ouverts. Nous effectuons ensuite des comparaisons afin de déterminer des invariants dans ce qui est proposé aux élèves de chacune des cinq classes. Nous considérons ces invariants
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comme des « passages obligés » pour les enseignants lorsqu’ils proposent l’étude de problèmes ouverts en classe. Autrement dit, étudier des problèmes ouverts en cycle 3 entrainerait de ne pas se démarquer de ces invariants. Nous cherchons à les expliquer en termes de composantes cognitive, médiative, institutionnelle et personnelle. Nous dégageons également des variabilités entre les parcours mathématiques proposés aux élèves que nous identifions comme des marges de manœuvre possibles lors de l’organisation de séances dédiées à l’étude de problèmes ouverts.
II-3.2 Un premier zoom à l’échelle des séances
Au niveau du premier zoom, nous plaçons nos analyses à l’échelle d’une séance, autrement dit à l’échelle d’un cours de mathématiques, et nous nous intéressons aux scénarii proposés lors de chacune des séances organisées par chacun des cinq enseignants observés. Nous employons alors les expressions proposées par A. Robert (2008) qui distingue deux scénarii : le scénario prévu et le scénario réalisé. Le scénario prévu correspond à l’organisation des séances, à leur déroulement prévu a priori par le professeur. Le scénario réalisé coïncide avec le déroulement effectif de la séance dans la classe.
A partir des séances observées dans les classes des enseignants puis transcrites, nous étudions les scénarii réalisés par chacun d’eux et cherchons ensuite à les comparer. Les séances sont étudiées chronologiquement, elles sont découpées en différentes phases, liées à l’organisation dans la classe de l’activité des élèves : il peut s’agir d’une phase de démarrage de la séance, d’une phase de recherche (individuelle et/ou collective), d’une phase de mise en commun des résultats et d’une phase de synthèse. Nous notons la durée de chacune des phases (à une minute près). Nous pensons que cette durée permet d’expliquer certains choix faits par chacun des enseignants et peut nous éclairer sur les objectifs d’apprentissage qu’ils se sont fixés. Par exemple, un enseignant laissant chercher ses élèves pendant plus de trente minutes sans intervenir n’a, nous semble-t-il, pas les mêmes objectifs d’apprentissage qu’un enseignant laissant dix minutes à la phase de recherche et réservant plus de temps aux phases de mise en commun et de synthèse.
Afin de comprendre l’élaboration de ces scénarii par les cinq enseignants et d’expliquer les choix qu’ils font pour leur classe, nous étudions ensuite ceux proposés dans les ressources à disposition de ces enseignants. Nous étudions si les ressources repérées (les documents officiels (MEN, 2002, 2008) ; les ouvrages Ermel CE2, CM1 et CM2 (Douaire et al., 1997, 1999, 1999) ; la revue Grand N ; des « livres du maître » des collections Euromaths, Cap
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Maths, J’apprends les maths ; des sites Internet dédiés à des rallyes mathématiques) proposent ou non des pistes pour élaborer des scénarii puis, si c’est le cas, nous étudions les scénarii que les auteurs proposent.
Etant donné que nous pouvons obtenir des renseignements sur l’activité des enseignants en étudiant l’activité des élèves en classe (Orange, 2005 ; Robert et J. Rogalski, 2002, 2008) et puisque « les productions sont considérées comme des traces de l’activité intellectuelle des élèves » (Orange, 2005), nous étudions également les traces écrites récupérées lors de chacune des séances, traces écrites de l’enseignant (au tableau par exemple) et traces écrites des élèves (feuilles de brouillons, affiches, etc.). Nous cherchons à reconstruire l’activité intellectuelle des élèves, grâce à toutes leurs productions. Ces productions peuvent également être orales, constituées d’échanges entre les élèves d’un petit groupe (que nous avons enregistrés) ou d’échanges entre le professeur et la classe (qui apparaissent sur l’enregistrement vidéo). Par exemple, à partir de l’analyse de toutes les données recueillies lors d’une phase de recherche d’un groupe d’élèves (c’est à dire les feuilles de brouillons individuelles, l’affiche rédigée par le groupe ainsi que les échanges verbaux enregistrés dans le groupe entre les élèves sans oublier d’éventuelles interventions de l’enseignant) nous pouvons retracer l’historique d’une affiche et retrouver les démarches, les raisonnements utilisés par le groupe pour atteindre la solution qu’il propose.
Afin d’analyser, au niveau du premier zoom, les pratiques de chacun des cinq enseignants, nous cherchons, de la même façon qu’au niveau panoramique, à repérer les similitudes intra individuelles puis interindividuelles, dans le but d’obtenir les éléments qui semblent incontournables pour mener à bien ce type de séances ainsi que les variabilités pouvant exister entre les cinq enseignants. Ces différences peuvent au niveau du premier zoom, comme au niveau panoramique, être considérées comme des choix possibles pour les enseignants lors de la mise en œuvre de séances dédiées à des problèmes ouverts en cycle 3.
II-3.3 Un second zoom sur des moments choisis des séances
Au niveau du second zoom, nous souhaitons cibler notre attention sur des moments dans la séance qui, suite aux analyses réalisées aux deux niveaux précédents, nous semblent révélateurs et qui permettent d’affiner les réponses à nos questions de recherche. Cette analyse consiste à repérer des routines professionnelles (Butlen, Masselot, Ngono, Peltier- Barbier, Pézard, Robert, Vergnès, 2004) participant à l’organisation dans la classe de ces moments ainsi que les gestes professionnels contribuant à ces routines.129
Pour cela, à la manière de Butlen et al. (2004, 2012), afin d’organiser un découpage de l’activité de l’enseignant, nous considérons « trois niveaux de composants de l’activité du professeur : des grands moments de l’activité du professeur (dévolution, régulation, institutionnalisation), des routines participant de la réalisation de ces moments, organisations finalisées de gestes professionnels et enfin de gestes professionnels qui contribuent au fonctionnement des routines » (Butlen et al., 2004, p. 41). Nous considérons que l’activité du professeur des écoles enseignant les mathématiques s’articule autour de trois processus : les processus de dévolution, de régulation et d’institutionnalisation (Brousseau, 1998, Butlen et al., 2004).
L’analyse, en termes de gestes professionnels et de routines, de ces trois grands moments de l’activité de chacun des cinq enseignants observés nous permet de décrire comment ils mettent effectivement en œuvre les séances qu’ils décident de dédier à l’étude de problèmes ouverts et d’expliquer les choix qu’ils font lors de cette mise en œuvre.
Les gestes professionnels sont définis comme des « activités élémentaires participant de l’activité du professeur » (Butlen et al., 2004, p. 36). Il est clair que du fait de la polyvalence des professeurs des écoles, des gestes professionnels en lien par exemple avec l’organisation de la journée ou la gestion des transitions entre les différentes disciplines peuvent être repérés. Dans le cadre de notre travail, nous choisissons de nous intéresser aux seuls gestes professionnels relatifs à l’enseignement des mathématiques.
Les routines sont « des ensembles organisés de gestes professionnels » (Butlen et al., 2004, p. 37) qui se répètent lorsque les situations d’enseignement sont semblables. Elles sont répertoriées par Butlen et al. selon trois catégories : une première catégorie de routines (routines de type 1) est relative au fonctionnement de la classe : celles-ci sont « plutôt liées à l’installation et au respect d’attitudes de travail ou de postures générales (vie, règles et normes de la classe) pouvant dépasser le cadre des seules mathématiques » (Butlen et al, 2004, p. 37). Une deuxième catégorie (routines de type 2) est relative aux différents matériels proposés aux élèves. « Leur fonction est d’installer des habitudes de travail chez les élèves, un environnement, qui influent sur l’activité de l’enseignant. » (Ibid., p. 38). Une troisième catégorie de routines (routines de type 3) est plus spécifiquement relative à l’enseignement des mathématiques.
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Figure 17 Découpage de l’activité de l’enseignant (Butlen et al., 2004, p. 42)
Dans notre travail, afin de décrire l’activité du professeur lors de séances dédiées à des problèmes ouverts, nous repérons des gestes professionnels permettant de déterminer des routines de type 3, liées à l’enseignement des mathématiques et associées au processus de dévolution, régulation et institutionnalisation (éléments que nous avons entourés sur le schéma).
Nous étudions des épisodes relevant du processus de dévolution de la recherche de solutions aux élèves, de régulation et d’institutionnalisation.
Ces épisodes sont choisis dans notre corpus suite aux analyses effectuées aux niveaux panoramique et du premier zoom. Ils correspondent, pour chacune des séances observées et transcrites, au temps réservé à la prescription de la tâche, aux phases de recherche des élèves ainsi qu’aux phases de mise en commun des résultats et synthèses.
En particulier, nous étudions les différentes interventions de l’enseignant. Pour cela, nous repérons dans le découpage des séances en phases, à quels moments, il intervient et étudions la nature de ces interventions en nous appuyant sur des outils d’analyse des interactions élèves-enseignant proposés par Paries, Robert et J. Rogalski (2008). S’agit-il d’enrôler les élèves dans le travail de recherche proposé ? S’agit-il de les aider à chercher et/ou à trouver