L’algorithme MUltiple Signal Classification (MUSIC) a ´et´e introduit par Schmidt en 1986 [66]. Il fait partie des algorithmes `a haute r´esolution bas´es sur la d´ecomposition en sous-espaces propres.
Pour expliquer le principe de l’algorithme, nous nous concentrons dans un premier temps `a l’estimation de la direction d’arriv´ee (DoA) et puis nous g´en´eralisons le mod`ele pour tenir compte de la direction de d´epart (DoD) et du retard.
Supposons un milieu homog`ene et K signaux bande ´etroite s1(t), s2(t), ..., sK(t) qui arrivent sur un r´eseau de N antennes omnidi-rectionnelles avec N > K. Le signal re¸cu yn(t) par la n-i`eme antenne peut s’´ecrire
yn(t) = XK
k=1
sk(t)e−jφn,k+wn(t) (A.1) o`u wn(t) est le bruit sur le n-i`eme capteur et φm,k est le d´ephasage d´etermin´e par la g´eom´etrie du r´eseau et par la direction d’arriv´ee des K ondes re¸cues.
En utilisant la notation vectorielle, l’´equation A.1 peut se r´e´ecrire :
Y =A S+W (A.2)
avec
A= [a(φ1), a(φ2), ..., a(φK)]
S = [s1(t), s2(t), ..., sK(t)]T
W= [w1(t), w2(t), ..., wN(t)]T
Aest une matrice de dimension (N×K) form´ee par la concat´enation desK vecteurs directionnels d´efinis par
a(φk) =
e−jφ1,k, e−jφ2,k, ..., e−jφN,k
. (A.3)
Le vecteur directionnel a(φk) est donc un vecteur de N composantes qui contient la r´eponse du r´eseau d’antennes au signal associ´e auk-i`eme trajet.
Supposons que le signal ´emis soit une sinuso¨ıde de longueur d’onde (dans le milieu de propagation) λ. L’onde correspondante au k-i`eme trajet ´eclaire le r´eseau suivant une DoA θ. Pour un r´eseau lin´eaire dont la s´eparation entre antennes estd, le d´ephasage relatifφn,k de la n-i`eme antenne par rapport `a la premi`ere antenne peut s’´ecrire :
φn,k = 2π
λ n d sin(θ) (A.4)
En supposant que les signaux et les bruits sont stationnaires et d´ecorr´el´es, la matrice de covariance des signaux est obtenue comme suit
RY Y =E{Y∗(t)Y(t)}=E{(A S+W)∗(A S+W)}=A RSA∗+σ2I (A.5) Dans cette ´equation, RS est la matrice de covariance du vecteur signal, σ2 est la puissance du bruit (identique pour chaque capteur) etI est la matrice identit´e de dimensions (N ×N).
La matrice RY Y ´etant Hermitienne et d´efinie positive, ses valeurs propres α sont r´eelles et positives. En les classant par ordre d´ecroissant, on peut les diviser en deux groupes. D’une part, les K valeurs propres les plus ´elev´ees sont associ´ees au sous-espace signal. Les K vecteurs propres βk associ´es
`a ces valeurs propres engendrent un sous-espace colin´eaire aux vecteurs directionnels de l’´equation A.3. D’autre part, lesN−K valeurs propres plus petites, dont la valeur est `a peu pr`es constante et ´egale `a la puissance de bruitσ2, sont associ´ees au sous-espace bruit. Les vecteurs propres associ´es `a ces valeurs propres engendrent un sous-espace bruit orthogonal aux vecteurs directionnels.
En d´efinissant la matrice diagonale Λ =diag
qui contient les valeurs propres de RY Y et Afin de d´eterminer les directions d’arriv´ee, on construit un vecteur directionnel a(θ) pour chaque angle θi. S’il existe une source dont la DoA co¨ıncide avec cette valeur, a(θi) appartiendra au sous-espace signal. Il sera donc orthogonal au sous-espace bruit.
L’estimation des directions d’arriv´ee revient donc `a chercher les valeurs maximales de la fonction
PM U SIC(θ) = 1
aH(θ)BbruitBbruit∗ a(θ) (A.7) Il est possible de g´en´eraliser cet algorithme pour l’estimation conjointe DoA/DoD de chaque trajet. De la mˆeme fa¸con qu’il est n´ecessaire d’utiliser un r´eseau d’antennes en r´eception pour estimer le DoA, il est n´ecessaire d’utiliser un r´eseau d’antennes en ´emission pour estimer la DoD, qu’on noteraθ′. Pour un r´eseau lin´eaire dont la s´eparation entre antennes estd′, le d´ephasage relatif φm,k de la m-i`eme antenne par rapport `a la premi`ere antenne peut s’´ecrire :
φm,k = 2π
λ m d′sin(θ′) (A.8) Ainsi, le mod`ele expliqu´e pr´ec´edemmment peut ˆetre g´en´eralis´e `a l’estimation DoA/DoD en rempla¸cant le d´ephasage de l’´equation A.4 par
φm,n,k = 2π
λ m d′sin(θ′) + 2π
λ n d sin(θ) (A.9) Aussi, il est possible de g´en´eraliser l’algorithme pour l’estimation conjointe DoA/DoD/retard de chaque trajet. De la mˆeme fa¸con qu’il est n´ecessaire d’utiliser un r´eseau d’antennes pour estimer la direction de l’onde, il est n´ecessaire d’utiliser diff´erentes fr´equences pour estimer le retard. Le d´ephasage entre l’onde re¸cue `a la fr´equencef1 et l’onde re¸cue `a la fr´equence
f2, ayant parcouru la mˆeme distance est de 2π(f2−f1)τko`uτkest le retard as-soci´e `a la distance parcourue. Ce d´ephasage a une structure similaire `a celle concernant l’estimation du DoA. Ainsi, le mod`ele expliqu´e pr´ec´edemment peut ˆetre g´en´eralis´e pour inclure l’estimation du retard :
φm,n,l,k = 2π
λ m d′ sin(θ′) + 2π
λ n d sin(θ) + 2πp(∆f)τk (A.10) Dans cette expression, ∆f est le pas de fr´equence entre deux tons successifs etl = 1,2, ..., L avec Lle nombre total de points de fr´equence utilis´es.
Finalement, il est possible de g´en´eraliser l’algorithme pour estimer la polarisation de chaque trajet. Cela est expliqu´e avec plus de d´etail dans le troisi`eme chapitre.
Dansla suite nous dicustons quelques consid´erations `a prendre en compte lors de l’utilisation de l’algorithme MUSIC.
– En principe, le nombre de sources doit ˆetre connu avant d’appliquer l’algorithme MUSIC. Les m´ethodes les plus utilis´ees pour cela sont Minimum Description Length (MDL) [84] et Akaike Information Cri-terion (AIC) [85]. Il est aussi possible d’estimer le nombre de sources en comptant le nombre de valeurs propres ´elev´ees apr`es avoir calcul´e la matrice de covariance des donn´ees. Cependant, la connaissance
`a priori du nombre de sources exact n’est pas n´ecessaire lorsque le nombre d’´el´ements (antennes et points de fr´equence) est beaucoup plus
´elev´e que le nombre de sources [6]. Ceci est le cas dans les exp´eriences d´ecrites dans le chapitre 2 et 3 de ce rapport mais constitue un r´eel probl`eme `a prendre en compte dans la plupart des cas de sondage de canal.
– Si le signal d’excitation est modul´e, la largeur de bande du signal est limit´ee par la condition suivante : la fonction de modulation doit rester invariante entre le temps d’arriv´ee au premier et au dernier ´el´ement.
En d’autres mots, cette diff´erence de temps doit ˆetre n´egligeable par rapport `a l’inverse de la largeur de bande du signal.
– L’algorithme MUSIC suppose que les signaux incidents sont d´ecorr´el´es ou faiblement corr´el´es pour ´eviter que la matrice Rs soit singuli`ere.
Dans le cas du sondage de canal, les trajets multiples sont fortement corr´el´es. Une ´etape de d´ecorr´elation pr´ealable est donc n´ecessaire [126]
[127] [128]. L’algorithme utilis´e dans ce manuscrit est l’algorithme de 138
lissage (Spatial Smoothing en anglais), d´ecrit dans [6]. Il consiste `a diviser les donn´ees enP sous-r´eseaux (figure A.1) et calculer la matrice de covariance liss´eeRSS comme la moyenne des matrices de covariance Rp correspondantes au p-i`eme sous-r´eseau :
RSS = 1 P
XP
p=1
Rp (A.11)
Fig. A.1: Division en sous-r´eseaux pour l’algorithme de lissage La taille des sous-r´eseaux doit ˆetre telle que le nombre d’´el´ements dans chaque sous-r´eseau soit sup´erieur au nombre de trajets K et que le nombre de sous-r´eseaux P soit aussi sup´erieur au nombre de trajets K.
La figure A.1 montre la division en sous-r´eseaux pour le cas d’une es-timation `a deux dimensions retard-DoA mais l’algorithme peut ˆetre g´en´eralis´e `a plus de dimensions, suivant le mˆeme principe, en construi-sant des sous-r´eseaux de dimensions sup´erieures.
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