Equation de l’ellipse de polarisation

Supposons une onde qui arrive sur un r´eseau `a double polarisation (fi-gure 3.1). La polarisation de l’onde ´electromagn´etique plane incidente, `a une fr´equence donn´ee, est d´ecrite par le lieu trac´e par la pointe de son vecteur champ ´electrique dans le plan perpendiculaire `a sa propagation. Pour une onde TEM, on peut d´ecomposer le champ ´electrique suivant ses composantes transverses Eφ etEθ, de la fa¸con suivante (figure 3.2) :

E =Eφuˆφ+Eθuˆθ (3.1) On d´efinit β, l’orientation de l’onde, comme l’angle form´e entre l’axe ˆu_θ et l’axe majeur de l’ellipse. La tangente de l’ellipticit´eαest le rapport entre les longueurs des axes de l’´ellipse. Son signe indique le sens de rotation.

α =tan⁻¹

longueur axe mineur longueur axe majeur

(3.2) Pour ´eliminer les ambigu¨ıt´es, on d´efinit β et α tels que 0 ≤ β < π et

−^π₄ ≤ α ≤ ^π₄. Les param`etres α et β d´eterminent l’´etat de polarisation de 68

Fig.3.1: R´eseau `a double polarisation Fig. 3.2: Ellipse de polarisation

l’onde, qui peut ˆetre repr´esent´e par une position M dans la sph`ere de Poin-car´e, comme dans la figure 3.3. La latitude du pointM est 2αet la longitude

Fig. 3.3: Sph`ere de Poincar´e

est 2β, par rapport au point H de r´ef´erence, qui correspond `a la polarisation lin´eaire horizontale. Sur cette sph`ere, les polarisations lin´eaires se situent sur l’´equateur de la sph`ere et les polarisations circulaires aux deux pˆoles.

Les polarisations orthogonales sont situ´ees aux antipodes l’une de l’autre [88].

La position M peut se d´ecrire alternativement grˆace aux param`etres γ et η, qui sont respectivement le rapport d’amplitudes des composantes Eφ

etEθ et leur d´ephasage. En n´egligeant la phase absolue, les composantes du champ ´electrique transverse peuvent s’´ecrire donc en fonction de γ et de η

de la fa¸con suivante :

Eθ = E·cos(γ) (3.3)

Eφ = E·sin(γ)·e^jη o`u 0 ≤γ ≤ ^π2 et−π < η ≤π.

En appliquant les formules de trigonom´etrie sur la sph`ere de Poincar´e de la figure 3.3, la relation entre (α, β) et (γ, η) est donn´ee par les ´equations suivantes :

tan(2β) =tan(2γ)·cos(η) (3.4)

sin(2α) = sin(2γ)·sin(η)

Nous voulons maintenant d´efinir un param`etre pour quantifier l’erreur commise lors de l’estimation de la polarisation d’une onde. Dans la figure 3.3, la position du point ˆM repr´esente l’estimation de l’´etat de polarisation du point M. ζ est la distance angulaire en degr´es entre les points M et ˆM (0≤ζ ≤π). En appliquant la loi des cosinus en trigonom´etrie sph´erique sur la g´eom´etrie de la figure 3.3, on peut ´ecrireζ en fonction de γ,η, ˆγ et ˆη[95] : cos(ζ) =cos(2γ)cos(2ˆγ) +sin(2γ)sin(2ˆγ)cos(η−η)ˆ (3.5) ζ nous donnera donc une id´ee de l’erreur commise par l’estimation obtenue avec l’algorithme MUSIC expliqu´e dans le paragraphe suivant.

3.2.2 G´ en´ eralisation de l’algorithme MUSIC pour l’es-timation de la polarisation

Pour obtenir le champ ´electrique induit dans les ´el´ements du r´eseau de la figure 3.1, on utilise la matrice de passage de coordonn´ees sph´eriques `a coordonn´ees cart´esiennes suivante :

En combinant les ´equations 3.3 et 3.6, et en consid´erant que la composante suivant ˆr est nulle (car onde TEM), le champ ´electrique qui incide sur le r´eseau d’antennes de la figure 3.1 s’´ecrit :

E =kEk[ ( cos(θ)cos(φ)cos(γ)−sin(φ)sin(γ)e^jη)ˆx (3.7) ( cos(θ)sin(φ)cos(γ) +cos(φ)sin(γ)e^jη)ˆy

( −sin(θ)cos(γ))ˆz]

70

Nous supposerons que l’´el´evation est nulle (φ= 0˚) pour tous les trajets, c’est

`a dire que les vecteurs de propagation de toutes les ondes sont contenus dans le planxy. On peut alors simplifier l’´equation :

E =kEk[ ( cos(θ)cos(γ))·xˆ (3.8) ( sin(γ)e^jη)·yˆ

( −sin(θ)cos(γ))ˆz]

Selon la g´eom´etrie de la figure 3.1, la composante x sera mesur´ee grˆace aux dipˆoles horizontaux et la composante y grˆace aux dipˆoles verticaux.

La composante z ne pourra pas ˆetre mesur´ee mais les composantes x et y des diff´erentes antennes du r´eseau sont suffisantes pour d´eterminer l’´etat de polarisation et l’azimut de la DoA lorsqu’on consid`ere que l’´el´evation est nulle. En utilisant plusieurs points de fr´equence il sera ´egalement possible de d´eterminer le retard de chaque trajet.

Afin de g´en´eraliser l’algorithme MUSIC pour estimer la polarisation des ondes, il faut reformuler les vecteurs directionnels d’un r´eseau `a diversit´e de polarisation, comme celui de la figure 3.1. Dans ce cas, ils d´ependent non seulement du retard et de la DoA, comme c’´etait le cas dans le chapitre 2 (´equation 2.3) mais aussi des deux autres param`etres caract´erisant la polarisation d’une onde : γ et η. La dimension du pseudo-spectre r´esultant de l’algorithme MUSIC est ´egale au nombre de param`etres `a estimer. Pour estimer le retard, l’azimut de la DoA et l’´etat de polarisation des ondes, le pseudo-spectre MUSIC est donc une fonction `a quatre dimensions.

Pour prendre en compte la polarisation, les vecteurs directionnelspkpour lek-i`eme trajet peuvent s’´ecrire en g´en´eralisant les vecteurs directionnels ak

d´ecrits dans l’´equation 2.3 du chapitre 2, (adapt´es au cas de l’estimation conjointe retard-DoA azimut) :

pk(θ, τ, γ, η) = ak(θ, τ)⊗qk(θ, γ, η) (3.9) Dans cette ´equation,⊗est le produit de Kronecker etqk(θ, γ, η) est un vecteur

`a deux dimensions contenant les composantes de champ ´electrique induits dans les dipˆoles suivant la direction ˆx et ˆy. Selon la relation 3.8, on peut

´ecrire :

q_k(θ, γ, η) = cos(θ)cos(γ) sin(γ)·e^jη

(3.10) Dans la relation 3.9, on suppose que l’´etat de polarisation de la k-i`eme onde est constant dans la bande de fr´equences sous ´etude. Si ce n’´etait pas le cas, il faudrait r´ealiser une estimation conjointe DoA-polarisation pour

chaque fr´equence.

Si les sources sont corr´el´ees, il est n´ecessaire d’appliquer un algorithme de lissage spatial (Spatial Smoothing en anglais) [6] qui consiste `a calculer une matrice de covariance liss´ee `a partir des matrices de covariance Rp deP sous-r´eseaux tel que d´efini dans l’´equationA.11 de l’annexe A. Il faut prendre la pr´ecaution cette fois-ci pour que les dipˆoles de polarisations orthogonales appartenant `a une mˆeme antenne se retrouvent dans le mˆeme sous-r´eseau [95], comme dans la figure 3.4.

Fig. 3.4: Lissage spatial pour un r´eseau d’antennes `a double polarisation

3.3 Simulations

Comme toujours, les mesures sont pr´ec´ed´ees de simulations pour valider l’algorithme et d´eterminer les limites des conditions d’utilisation.