Jeux dynamiques

Dans les jeux statiques que nous avons examinés dans le paragraphe ci-dessus, les acteurs choisissent leurs actions simultanément ce qui ne permet pas de représenter des modèles évoluant au cours du temps avec différents choix pour chaque joueur. Les jeux dynamiques nommés encore forme extensive d’un jeu, tiennent compte de l’ordre dans lequel les acteurs choisissent leurs stratégies. Ainsi, sous sa forme extensive, un jeu est représenté comme un arbre de décisions dans lequel le nœud initial identifie le premier coup à jouer, les nœuds terminaux présentent les résultats possibles du jeu, les nœuds intermédiaires sont les coups possibles et les branches s’éloignant d’un nœud, les actions utilisables à ce coup (fig.3.2).

Fig. 3.2 : forme extensive d’un jeu

L’arbre ci-dessus représente un jeu dynamique à deux joueurs. Le premier joueur commence à jouer en choisissant une de ses deux stratégies Ss1 ou Ss2. Ensuite le joueur 2 choisit une stratégie parmi Sr1 et Sr2. A la suite de ces deux choix successifs, on détermine le gain de chaque joueur. Par exemple le choix de (Ss1, Sr2) permet au joueur

1 de gagner 2 et au joueur 2 de gagner 3.

Si les jeux sous leur forme extensive semblent avoir plusieurs applications dans le domaine de la chaîne logistique, à l’exception des jeux à deux étapes que nous étendons à la fin de ce paragraphe, les travaux traitant l’interaction entre la chaîne logistique et les jeux dynamiques est beaucoup moins importante que celle sur les jeux statiques.

Nous citons, en particulier, les jeux qui s’intéressent aux réapprovisionnements multi-périodes. Dans ce type de jeux qu’on retrouve dans la littérature sous la désignation « jeux multi-périodes dépendant du temps », la fonction d’utilité de chaque période dépend des actions prises au cours de la période précédente. Une propriété qu’on retrouve dans les chaînes logistiques avec les cumuls des stocks et des ruptures d’une période à l’autre.

Ce type de jeu comprend deux grandes classes : les jeux déterministes et les jeux stochastiques. Si la première classe n’a guère intéressé la chaîne logistique, plusieurs travaux ont traité des jeux de la seconde classe comme Sobel [93] et Kirman et Sobel [65].

Si les travaux qui s’intéressent à ce type de jeux ne sont pas nombreux, c’est en particulier à cause de la difficulté de leur résolution. En effet, un jeu stochastique est une combinaison entre un jeu statique et un processus markovien : à chaque période, en plus des stratégies et des fonctions d’utilité classiques, s’ajoute un mécanisme de transition p s s x





1 ; 0 Joueur1 Joueur2 Joueur2 Ss2 Ss1 Sr1 Sr2 Sr1 Sr2 2 ; 3 0 ; 1 3 ; 2

x. La détermination de ces probabilités de transition passe généralement par le processus

de la demande moyennant des hypothèses tels que des demandes indépendantes et identiquement distribuées. Sous de tels hypothèses, on aboutit à une unique solution stationnaire tels qu’une politique de stockage de type (S,s). Néanmoins, la difficulté de résolution de ces systèmes provient du fait que des équilibres non-stationnaires peuvent exister et on est obligé de supposer encore que la solution finale interdit de tels équilibres et donc passer à un système équivalent d’un jeu statique avec une séquence d’équilibres de Nash.

Néanmoins, le jeu en deux étapes successives a fait l’objet de nombreux articles s’intéressant à la chaîne logistique. L’intérêt que porte ce jeu pour la chaîne logistique est la notion d’un rapport de force non équitable entre les joueurs qui ramène le système vers un équilibre appelé équilibre de Stackelberg du nom de l’économiste allemand qui a introduit cette notion en 1934.

Dans un jeu de Stackelberg, le premier joueur appelé aussi le meneur Stackelberg, choisit son action parmi l’ensemble de ses stratégies. Le second joueur, le suiveur Stackelberg, répond à ce choix en adoptant une stratégie de l’ensemble de ses stratégies et le jeu est ainsi entièrement défini.

Nous nous intéressons par la suite au lien qui peut exister entre ce jeu et la chaîne logistique et nous développerons le formalisme mathématique de ce jeu dans la dernière section de ce chapitre. La notion de dominance dans la chaîne logistique est très fréquente. Nous citons comme exemples le cas d’un grand distributeur face à ces fournisseurs ou celui d’un fabriquant de voitures devant ces concessionnaires ou ces fournisseurs.

Parmi les travaux qui ont utilisé l’équilibre de Stackelberg, Lariviere et Porteus [69] se sont intéressé à un modèle mono-période de vendeur de journaux à deux acteurs : un fournisseur (le meneur Stackelberg) qui fixe le prix de vente et un détaillant qui détermine la quantité à commander. Dong et Rudi [37] ont traité un modèle similaire avec plusieurs détaillants et ils ont revu les deux équilibres de Stackelberg (le fournisseur est le meneur ou le détaillant est le meneur). Li [73] a étudié deux étages de stockage avec un fournisseur et plusieurs détaillant avec une politique à revue périodique. Caldentey et Wein [25] ont étudié l’équilibre de Stackelberg sur un étage de production/stockage avec un fournisseur qui décide de la capacité de production et un détaillant qui détermine le niveau de stock nominal et Weerawat [103] s’est intéressé à

un modèle à deux étages de production où les deux acteurs choisissent leurs niveaux de stock nominal.