Inversion des ondes de surface

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Vs : Vs(z) et suivi temporel

3.2 Inversion des ondes de surface

Comme vu pr´ec´edemment, les ondes de surface se distinguent en deux types : les ondes de Rayleigh et les ondes de Love. Nous ´etudierons dans cette section principalement les ondes de Rayleigh.

3.2.1 Caract´eristiques des ondes de Rayleigh

Les ondes de Rayleigh naissent de l’interf´erence des ondes P et de la composante verticale des ondes S (SV) le long d’une surface plane et libre et d´ecroˆıent en amplitude en profondeur.

La plus grande partie de l’´energie est contenue entre la surface et une hauteur ´equivalente `a une longueur d’onde λ dans un milieu homog`ene et isotrope (Matthews et al. (1996)), bien que la r`egle empirique ´evalue plˆutot la sensibilit´e des ondes de Rayleigh jusqu’`a une profondeur d’un tiers de la longueur d’onde. Le d´eplacement de la d´eformation est r´etrograde en surface (contrai-rement aux vagues `a la surface de l’eau par exemple, qui ont des mouvements progrades) mais devient prograde en profondeur. Ce mouvement met en valeur la composante du d´eplacement des particules en fonction de l’axe vertical (uz) et l’axe horizontal (ux). La figure 3.3a donne les valeurs qualitatives de ces d´eplacements et montre clairement que la composante verticale est pr´epond´erante en surface tout comme en profondeur (les capteurs `a composante verticale sont donc pr´ef´er´es). Dans ces conditions de demi-espace homog`ene, la vitesse des ondes de Rayleigh (VR) est directement fonction de la vitesse des ondes de volume (VS etVP) et ne d´epend pas de la fr´equence (Lavergne (1989)) : Cependant dans un milieu ´elastique, le rapport VR2/VS2 est d´ependant de son coefficient de Poisson ν (sans dimension). La relation approch´ee de Viktorov (1967) permet de corriger cette d´ependance :

V s=VR 1 +ν

1.12ν+ 0.87 avec ν = (V pV s)2−2

2[(V pV s)2−1] (3.2) Si cette approche peut ˆetre appliqu´ee dans des exp´eriences en laboratoire `a petite ´echelle dans un mat´eriau homog`ene, connu et contrˆol´e (ce que nous verrons dans la prochaine partie), elle ne l’est plus sur un terrain h´et´erog`ene o`u les ondes de surfaces deviennent dispersives.

Dans la r´ealit´e la vitesse des ondes S est variable en profondeur (par contraste de densit´e, h´et´erog´en´eit´e, mais surtout par stratifications lithologiques de diff´erentes imp´edances) induisant une dispersion des ondes de Rayleigh : deux types de vitesses sont alors diff´erenci´es : la vitesse de groupe, c’est `a dire la vitesse du paquet ´energ´etique (illustr´ee par l’enveloppe du signal) et les vitesses de phase (vitesse des maximums locaux du signal) (figure 3.3c). Les diff´erentes fr´e-quences constituant l’onde ne se propagent pas `a la mˆeme vitesse. Cette particularit´e va servir

`

a retrouver les variations des ondes S en profondeur par inversion des ondes de surface. Il est possible d’appliquer les principes pr´ec´edents aux ondes de Love (figure 3.3b) mais elles poss`edent une d´esavantageuse tendance `a exhiber facilement leurs modes sup´erieurs, rendant le traitement

3.2. Inversion des ondes de surface 73

plus d´elicat.

Un autre avantage des ondes de surface est leurs pr´edominances ´energ´etiques `a la surface, l`a o`u l’installation de g´eophone est la plus simple et la plus courante. L’onde de Rayleigh repr´e-sente 67% de l’´energie sismique d’ondulation verticale quand l’onde S en repr´erepr´e-sente 26% et l’onde P 7% (Miller and Pursey (1955)). Cela vient de l’amortissement g´eom´etrique `a la surface du sol qui est plus faible pour une onde de Rayleigh (propagation cylindrique, diminution d’amplitude en 1/x) que pour une onde de volume (propagation sph´erique, diminution en 1/x2), o`ux est la distance source-r´ecepteurs (Aki and Richards (2002)).

-0.5 0 0.5 1

Figure3.3 – a) Diminution de l’amplitude de la composante verticale (uz) et horizontale (ux) des ondes de Rayleigh dans un milieu homog`ene et formation d’un mouvement de d´eplacement r´etrograde en surface puis prograde en profondeur (modifi´e d’apr`esStein and Wysession (2009)).

b) Diminution de l’amplitude des ondes de Love pour les 2 premiers modesn(mod´elisationn= 0, λx = 19, vx = 3.92km/s ;n= 1,λx= 20, vx = 4.13km/s) dans un milieu stratifi´e. c) Diff´erence entre la vitesse de phase et la vitesse de groupe (vitesse de l’´energie) d’un train d’ondes. Les figures b et c modifi´ees proviennent de :www.staff.uni-bayreuth.de.

3.2.2 Rappel historique

La proc´edure d’acquisition d’enregistrement des ondes de surfaces a connu une s´erie d’am´e-liorations depuis 60 ans. Nous ferons ici un rappel historique des acquisitions en profil (1D).

Les m´ethodes d’analyse des ondes de surface ont commenc´e en 1958 avec le proc´ed´e SSRM (Steady State Rayleigh Method) parJones (1958). Il s’agit d’un dispositif simple compos´e d’un excitateur monofr´equentiel (de fr´equencef) et d’un g´eophone vertical reli´es tous deux `a un os-cilloscope. L’enregistrement donnait la valeur de la longeur d’onde de RayleighλR.VR, la vitesse de l’onde de Rayleigh ´etait d´eduite de par la relation VR = λR·f. La fonction (VRR) ´etait obtenue apr`es un bon nombre de r´ep´etitions de la mesure `a diff´erentes fr´equences. La vitesse

de cisaillement en profondeur ´etait d´eduite par la comparaison avec un abaque th´eorique et la profondeur de p´en´etration empirique ´etait deλ/2 (inversion au 1er ordre).

En 1984 la m´ethode d’´etude s’est nettement am´elior´ee avec la SASW (Spectral Analysis of Surface Waves) d´evelopp´ee par Nazarian and Stokoe (1984) (associ´ee aux progr`es informatiques et au d´eveloppement des enregisteurs num´eriques). Le d´ephasage (φ) d’un signal pour une fr´e-quence (f) est mesur´e entre 2 capteurs espac´es d’une distance (d) et la vitesse de phase peut donc ˆetre calcul´ee par :

Cette m´ethode fut -encore- perfectionn´ee par Park et al. (1999), avec la MASW (Multi-channel Analysis of surface waves), laquelle, en augmentant le nombre de capteurs le long du profil d’´etude a permis d’am´eliorer la r´esolution et d’analyser les diff´erents modes. Grandjean and Bitri (2006) l’am´elior`erent avec la technique 2M-SASW (Multifold and Multichannel Spec-tral Analysis of Surface Waves) qui consiste `a d´eplacer la source le long du profil de g´eophones.

En plus d’am´eliorer le rapport signal/bruit pour chaque capteur, elle permet ´egalement de mi-nimiser les effets de champ proche1.

En parall`ele, l’avanc´ee des ´etudes sur la nature du bruit de fond sismique permit de d´evelopper de nouvelles m´ethodes bas´ees sur leur enregistrement en r´eseau 2D, que nous ´etudierons plus en d´etail par la suite (section 3.2.4).

3.2.3 Des ondes de Rayleigh au mod`ele Vs(z)

Le traitement qui permet de passer des signaux temporels des ondes de surface acquises in-situ `a un mod`ele de variation des ondes S en profondeur se d´eroule en deux ´etapes : (1) le calcul de la courbe de dispersion des enregistrements et de (2) son inversion afin de trouver un mod`ele Vs(z) correspondant expliquant les observations.

Pour obtenir la dispersion des ondes de surface, il est n´ecessaire de passer du domaine tem-porel et spatial o`u elles ont ´et´e acquises (x, t) au domaine fr´equence temporelle et fr´equence spatiale (f, k) o`uk est le nombre d’ondes (le nombre de longueurs d’onde pr´esentes sur une dis-tance de 2π). La m´ethode notoire pour passer de l’un `a l’autre domaine porte le nom conciliant de m´ethode F-K (Lacoss et al. (1969)). Elle se base sur la d´ecomposition du champ en ondes planes par une double transform´ee de Fourier, une pour le domaine temporel et une autre pour le domaine spatial. Soit un signal temporel s(x, t), la transform´ee F-K not´ee es(f, k) est ´etablie par :

1. [Le champ proche est la zone proche de la source dans laquelle les ondes de surface ne peuvent pas encore ˆetre consid´er´ees planes. Deux raisons ont ´et´e avanc´ees pour expliquer les ph´enom`enes de champ proche : l’influence des ondes de volume, qui ont encore une grande amplitude dans le champ, et le caract`ere cylindrique de la propagation proche de la source, avec un rayon de courbure trop petit pour ˆetre approxim´e par une onde plane.] cit´e deRenalier et al.(2010).

3.2. Inversion des ondes de surface 75 certains cas, au plan (f, s) o`usest la lenteur (l’inverse de la vitesse exprim´ee en s/m). De cette distribution d’´energie spectrale, la courbe de dispersion des ondes de surface est directement d´e-finie par les maxima, le champ d’onde ´etant largement domin´e par ce type d’onde. Cette image d’´energie spectrale a tout de mˆeme ses limites dict´ees par le th´eor`eme de Shannon-Nyquist. Les fr´equences au-del`a de celle de NiquystfN = 1/2∆tne sont plus valides tout comme les nombres d’ondes au del`a de kN = 1/2∆x, o`u ∆t est l’´echantillonnage temporel et ∆x repr´esente la dis-tance entre les g´eophones (´echantillonnage spatial). De plus, afin d’´eviter les effets de champ proche, il est conseill´e de ne pas tenir compte des longeurs d’ondes plus grandes que deux fois la distance entre la source et le premier r´ecepteur (Stokoe et al.(1994)).

Une fois obtenue la courbe de dispersion, il faut l’inverser afin d’obtenir un mod`ele de vitesse d’ondes S en profondeur. Il s’agit d’ajuster un mod`ele initial Vs(z)a priori, en minimisant l’´ecart entre la courbe de dispersion mesur´ee et celle de ce mod`ele th´eorique, c’est `a dire en minimisant lemisfit :

o`ucdatai est la vitesse de phase pour une fr´equence fi mesur´ee, capriori i, cellea priori (du mod`ele) pour une fr´equencef etnest le nombre de fr´equence. Un bon mod`ele est g´en´eralement d´efini par unmisfit inf´erieur `a 0,5% (Renalier (2010)).

Non unicit´e de la solution

Le choix du mod`elea priori (ou de d´epart) est tr`es important et met en lumi`ere le principal probl`eme de toutes les techniques d’inversion en g´eophysique : la non unicit´e de la solution. Pour repr´esenter ce concept de non-unicit´e, consid´erons un mod`ele r´egi par deux param`etres. Si les param`etres du mod`ele a priori sont mal choisis (figure 3.4a) alors le calcul du misfit, lors des it´erations successives convergera vers un mod`ele faux si il existe un espace de param`etres qui tend `a diminuer sa valeur plus proche que celui du mod`ele vrai. Les m´ethodes d’inversion de Newton-Raphson, des gradients ou des moindres carr´es utilisent ce processus. Elles fonctionnent correctement seulement si le mod`ele est bien contraint (meilleur connaissance des valeursa priori des param`etres) ou si le probl`eme est lin´eaire, c’est `a dire qu’il n’existe qu’une seule convergence possible.

Pour l’´etude de l’inversion des ondes de surface dans un sol type glissement de terrain (sou-vent h´et´erog`ene et variant dans le temps), il est pr´ef´erable d’employer une autre m´ethode qui se base non plus sur un seul mod`ele initial mais plusieurs, r´epartis al´eatoirement dans l’espace des param`etres comme la m´ethode de Monte-Carlo. La figure 3.4b montre bien que la probabilit´e qu’un de ces mod`eles a priori converge vers la bonne solution est beaucoup plus importante.

paramètr paramètr e 1

e 2

misfit

+

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