Inversion de la fonction de Green

Dans cette section nous allons nous arrˆeter succintement sur la d´efinition d’un champ d’ondes diffus, tel le bruit que nous avons vu pr´ec´edemment et la coda, puis nous verrons comment l’id´ee de corr´elation du bruit ambiant a ´emerg´e dans diff´erents domaines de recherche. Nous illustrerons les ´etapes historiques par des tomographies r´ealis´ees grˆace `a ces m´ethodes d’inversion de la fonction de Green. Bien que nous ne pr´esenterons aucune m´ethode en d´etail de ces inversions, il semblait judicieux de l’opposer `a l’inversion des ondes de surface pour bien mettre en avant que la fonction de Green ne repr´esente pas une m´ethode diff´erente que celles expos´ees dans le chapitre 3.2 mais simplement une variation (tr`es pratique) de l’´etape d’acquisition des signaux.

3.3.1 D´efinition d’un champ d’ondes diffus

La fonction de Green d’un milieu entre deux points est la r´eponse enregistr´ee `a l’un si une source impulsionnelle (type Dirac) ´etait g´en´er´ee `a l’autre point. Elle d´ecrit donc la propagation des ondes entre ces points et poss`ede toute l’information n´ecessaire `a tous les modes. D´efinie de cette mani`ere, il semble opportun de mesurer directement la fonction de Green grˆace aux

3.3. Inversion de la fonction de Green 79

Figure3.6 – a) Profil g´eotechnique du glissement d’Avignonet, les flˆeches repr´esentent la vitesse du glissement en surface. b) Valeur des vitesses des ondes S `a 5m de profondeur (carr´e : mesure par forage, croix : mesures par inversion des ondes de surface, ronds : mesures par r´efraction des ondes SH). Les mesures des d´eplacements en surface sont ´egalement repr´esent´ees (carr´es vides) (Jongmans et al. (2009)).

sources qui se rapprocheraient le plus d’une impulsion (tremblements de terre, coups de masse).

Seulement elles ont deux inconv´enients majeurs, sp´ecialement en sismologie : elles ne sont ni re-productibles ni assez bien ´equir´eparties sur la surface du globe pour permettre d’avoir le mˆeme degr´e de r´esolution partout. Sur un sismogramme classique (figure 3.7a) 95% est compos´e de bruit, 4% de coda et 1% de signal.

Une id´ee diff´erente s’est alors d´evelopp´ee : s’aider d’un champ d’ondes diffus, qui n’a rien d’im-pulsionnel, pour reconstruire la fonction de Green. Cette id´ee est n´ee de la red´efinition du bruit ou de la coda longtemps consid´er´es comme al´eatoires pour lesquels aucune information ne pou-vait y ˆetre tir´ee :

– Le bruit ambiant, comme nous l’avons d´ej`a appr´ehend´e dans la section 3.2.4, est un champ complexe puisqu’il d´epend de multiples petites sources dont les localisations sont impossibles.

– La coda sismiquerepr´esente la d´ecroissance exponentielle du paquet d’ondes apr`es l’ar-riv´ee des ondes de volume et de surface lors d’une pertubation physique importante. Le terme ’coda’ provient du lexique musical o`u elle repr´esente le passage terminal d’un mou-vement. Ces arriv´ees tardives ont souvent ´et´e n´eglig´ees et confondues avec du bruit dans l’´etude sismologique.

Le bruit tout comme la coda portent cependant la signature coh´erente des trajets multi-difract´es par les h´et´erog´en´eit´es du milieu. C’est de cette capacit´e `a se propager et de garder les informations du milieu, que l’on trouve aussi bien dans la coda que dans le bruit ambiant qu’est n´ee l’id´ee d’intercorr´eler ces signaux entre des points pour reconstruire la fonction de Green. Cette coh´erence est permise si le champs diffus est en ´equilibre, c’est `a dire soit (1) qu’il provient de multiples sources dispos´ees al´eatoirement dans l’espace (bruit ambiant) ou (2) qu’il provient d’une seule source mais dont les h´et´erog´en´eit´es du milieu serviront elles-mˆemes de diffractants et joueront le rˆole de multiples sources ’secondaires’ (coda). Un cas interm´ediaire d’´equilibre entre les deux est aussi possible : des sources non positionn´ees al´eatoirement mais dont le champ d’onde rentre en ´equilibre car multir´efl´echi par les h´et´erog´en´eit´es du milieu.

3.3.2 Analogie avec le retournement temporel

Afin d’expliquer de mani`ere intuitive comment la corr´elation entre deux capteurs est capable de reconstruire la r´eponse impulsionnelle du milieu entre eux, il est d’usage de faire une analogie avec la notion de retournement temporel (Derode et al.(2003) ;Gouedard (2008) ;Hadziioannou (2011)). Consid´erons un milieu parfaitement entour´e de r´ecepteurs, une impulsion est envoy´ee dans ce milieu `a un endroit pr´ecis cr´eant un champ d’onde qui se propage `a tous les capteurs. Si ensuite ces mˆemes capteurs inversent temporellement les signaux re¸cus et les r´e´emettent dans le milieu, la somme de toutes les ondes r´e´emises va cr´eer un front d’onde ’invers´e’ qui va converger vers la source initiale. Ce ph´enom`ene de refocalisation du champ d’onde (Fink (1992)) est illustr´e

`

a la figure 3.8a.

3.3. Inversion de la fonction de Green 81

Figure3.7 – Sismogramme d’un jour d’enregistrement. 95% est compos´e de bruit, 4% de coda et 1% sont les signaux enregistr´es en sismique traditionnelle (Gouedard (2008)).

Par ailleurs la corr´elation (C) des signaux (s(t)), g´en´er´es par une sourceSentre deux capteurs (A etB) :C(sSA(t), sSB(t)) peut s’´ecrire comme la convolution du signal retourn´e temporellement s_SA(−t) et du signal s_SB(t) :

C[s_SA(t), s_SB(t)] = s_SA(−t) ∗ s_SB(t) (3.6) dans un milieu au reposs_SA(−t) = s_AS(−t), alors :

C[s_SA(t), s_SB(t)] = s_AS(−t) ∗ s_SB(t) (3.7) Concr`etement, l’´equation 3.7 signifie que la corr´elation de deux enregistrements enA etB d’un signal g´en´er´e en un pointS est ´egale `a l’enregistrement au pointB pour un signal g´en´er´e en A, enregistr´e, retourn´e temporellement puis r´e´emis par S (voir figure 3.8b). L’exp´erience de retournement temporel (figure 3.8a) nous explique qu’il est impossible de refocaliser l’impulsion si le champ d’onde inverse ne vient pas de toutes les directions de l’espace. De mˆeme dans notre cas, cela signifie que la reconstruction de la fonction impulsionnelle du milieu entre A et B se produit uniquement si les sources sont dipos´ees en grand nombre et uniform´ement autour de ces capteurs (figure 3.8c). L’intercorr´elation se divise en deux parties : une partie causale d´efinie par le front d’onde se d´epla¸cant deA vers B et une partie acausale d´efinie par le front d’onde se d´epla¸cant deB vers A (cfLarose (2006)).

=

corrélation AB enregistrement en B

=

A B A B

S S

A B

A B

A B A B

réponse ou émission impulsionnelle source

récepteur

(ou source de réémission de signaux inversés)

signal

signal inversé temporellement

a)

b)

c) ∑ corrélations AB