Invariants d'Iwasawa - Fonction L p-adique d'une forme modulaire

Bianchi a également étudié les invariants d'Iwasawa associés à une courbe elliptique E. Soit F une extension nie de Qp, O son anneau d'entiers et π un uniformisant de F . On rappelle

que l'algèbre d'Iwasawa est ΛO OJT K. Les invariants d'Iwasawa sont dénis en général pour

tout élément de l'algèbre d'Iwasawa via le théorème suivant.

Théorème 3.2.1 (préparation de Weierstrass p-adique). Soit gT > ΛO un élément non nul.

On peut écrire de manière unique

gT πµPT UT où µ est un entier non négatif, UT > Λ

O OJT K est une unité et P T Tn an1Tn1

. . . a0 est un polynôme tel que πSai pour 0 B i B n 1.

Démonstration. Voir [Was12, Theorem 7.3]. Ì

Dénition 3.2.2. Soit gT > ΛO un élément non nul. Écrivons gT πµUT P T à l'aide du théorème de préparation de Weierstrass p-adique. Le µ-invariant de gT , µgT , est déni comme étant l'entier µ et le λ-invariant de gT , λgT , est degP T .

Le µ-invariant correspond à la plus grande puissance de π divisant tous les coecients de gT , alors que le λ-invariant correspond au nombre de zéros de gT dans le disque T > Cp ST S @ 1.

Lorsque E est une courbe elliptique sur Q avec réduction ordinaire en p, il est possible de montrer que LpE,ψ,T > Zp ψJT K. Soit π un uniformisant de Zp ψ. Alors le théorème de

préparation appliqué à cette situation nous permet d'écrire LpE,ψ,T πµUT P T et de

dénir les invariants d'Iwasawa de LpE,ψ,T .

Théorème 3.2.3 (Bianchi). Soit E une courbe elliptique sur Q avec réduction ordinaire semistable en p. Soit ψ un caractère de Dirichlet de conducteur pk_M_{. Alors, le µ-invariant de}

LpE,ψ,T est égal au µ-invariant de LpE,ψ,T .

Démonstration. Voir [Bia19, Theorem 4.2]. Ì

Une question naturelle est de se demander si les λ-invariants sont aussi les mêmes. Pour répondre à cette question, nous démontrons des lemmes généraux sur les séries de puissances. Ces résultats proviennent d'un travail conjoint avec Florian Sprung [DS19].

Lemme 3.2.4. Supposons que fT et gT > ΛO sont reliés par

gT uT f 1 1 T 1 où uT > Λ

Démonstration. L'idée pour cette démonstration et la suivante nous a été proposée par un arbitre anonyme. La clé de l'argument est de constater que α T ( 1

1T 1 est une involution.

Remarquons de plus que, pour f > ΛO, πµfdivise f X αT fT T2 . . .. Donc, µf B

µf X α. En appliquant le même argument à f X α, on trouve que µf B µf X α B µf X α2

et le résultat suit. Ì

Lemme 3.2.5. Supposons que fT et gT > ΛO sont reliés par

gT uT f 1 1 T 1 où uT > Λ

O. Alors, λf λg.

Démonstration. Nous devons montrer que fT et gT ont le même nombre de zéros dans U T > Cp ST S @ 1 en comptant les multiplicités. Soit ζ > U un zéro de fT . Alors, ₁ζ_ζ

est un zéro de gT dans U. En eet, U ζ

1 ζU SζS

S1 ζS SζS @ 1,

car Sζ 1S maxSζS,S1S 1 puisque SζS x S1S. Comme αT a une dérivée non nulle α_{T > Λ} O

pour tout T > U, il suit que la multiplicité du zéro g ζ

1ζ gαζ est la même que la

multiplicité du zéro fζ. Puisque α nous donne une bijection entre l'ensemble des zéros de fT et l'ensemble des zéros de gT qui préserve la multiplicité, on conclut que λfT

λgT . Ì

Proposition 3.2.6. Soit ψ un caractère de Dirichlet et p tel que p Ñ ap. Les invariants

d'Iwasawa de Lpf,α,ψ,T restent les mêmes sous la substitution ψ ( ψ. En d'autres mots,

µLpf,α,ψ,T µLpf,α,ψ,T

λLpf,α,ψ,T λLpf,α,ψ,T .

Démonstration. Par l'équation fonctionnelle 2.3, Lpf,α,ψ,T et Lpf,α,ψ,₁_T1 1 ne dif-

fèrent que par un élément de la forme 1k~2_c

Q 1T

logp`Qe

logp γ _ψQ. Mais, 1k~2_c

Q ψQ

est une unité de Cp et 1 T

logp`Qe

logp γ est une unité dans l'algèbre Λ

O. Le résultat suit alors du

lemme 3.2.4 et du lemme 3.2.5. Ì

Remarque 3.2.7. Dans le cas de la fonction L p-adique associée à une courbe elliptique avec bonne réduction semistable en p, on retrouve le résultat de Bianchi pour la µ-invariance.

Puisque les lemmes 3.2.4 et 3.2.5 peuvent être appliqués à n'importe quelle série de puissances dans une algèbre d'Iwasawa, on obtient les corollaires suivants.

Corollaire 3.2.8. Soit p tel que pSap. Posons

µ_® µL®_pf,ψ,T , µ_® µL®_pf,ψ,T µ_¬ µL¬_pf,ψ,T , µ_¬ µL¬_pf,ψ,T .

On dénit λ®, λ®, λ¬ et λ¬ de façon similaire. Alors, µ® µ_®, µ_¬ µ_¬, λ_® λ_® et λ_¬ λ_¬. Démonstration. Puisque les fonctions L® ~ ¬p f,ψ,T ont des coecients entiers et satisfont la

même équation fonctionnelle que Lpf,α,ψ,T , on peut appliquer les lemmes de la même

façon. Ì

Corollaire 3.2.9. Soit p tel que ap 0. Supposons de plus que K Q an que Lpf,ψ,T > Λψ

dans la notation de 2.5. Posons

µ µL_pf,ψ,T , µ µL_pf,ψ,T µ µL_pf,ψ,T , µ µL_pf,ψ,T .

Alors, µ µ et µ µ. De même, λ λ et λ λ où les λ-invariants sont dénis de la

même façon.

Conclusion

Pour une forme parabolique f > SkΓ1N, nous avons vu qu'il est possible de construire

une distribution p-adique µf avec la propriété que Lpf,ψxj RZ_p,Mψxxjdµf interpole les

valeurs Lf,ψ,j 1 de la fonction L complexe. De plus, l'équation fonctionnelle de Lpf,χ

nous a permis d'étudier les coecients du développement de Lpf,χ en série de puissances.

Finalement, nous avons étudié le µ-invariant ainsi que le λ-invariant de la fonction L p-adique. Une future piste à explorer dans l'étude des fonctions L p-adiques serait les congruences entre les valeurs spéciales des fonctions L. Soit f et g deux formes modulaires telles que f g mod p. Alors, Vatsal [Vat99] a démontré, sous quelques conditions techniques, que les valeurs spéciales Lf,j et Lg,j sont elles aussi congrues modulo p. Supposons que le signe dans l'équation fonctionnelle de Lf,s est 1. Cela implique que Lf,1 0. Alors, Jochnowitz [Joc94] a prédit qu'il devrait exister une certaine relation de congruence entre L_{f,1 et Lg,1. Est-ce que le}

théorème de Wuthrich reliant Lg,1 à L_{g,1 nous permettrait de faire un lien entre Lg,1}

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