Divers phénomènes physiques apparaissent à différentes échelles du matériau composite. Pour cette raison la compréhension du comportement des renforts s’appuie habituellement sur les propriétés aux échelles suivantes :
- Echelle de la fibre : c’est une échelle microscopique qui prend en compte les propriétés intrinsèques des fibres ainsi que leurs interactions
- Echelle du fil/mèche : c’est une échelle mésoscopique qui tient en compte les propriétés physiques et mécaniques des fils ou mèches ainsi que l’interaction de l’ensemble des fibres constituant ce fil ou cette mèche
- Echelle du renfort ou composite : c’est une échelle macroscopique qui définit la nature et les propriétés de la pièce finale ou du renfort
Les chapitres précédents portaient sur la caractérisation des propriétés mécaniques à chaque échelle permettant d’établir une base de données fiable pour étudier l’effet de paramètres tels que la torsion du fil, le tissage et les traitements sur les propriétés mécaniques. Dans cette partie, l’impact de ces paramètres ainsi que de la variabilité des
fibres de lin sont évalués entre les échelles, ou ce que l’on a appelé une étude inter-échelle. Ensuite, une analyse statistique est réalisée afin de compléter cette étude.
- Etudes statistiques
Trois analyses statistiques ont été réalisées : la première pour tester la variance et la normalité du lot, la deuxième pour calculer la différence statistique introduite par les mesures expérimentales des propriétés mécaniques en traction (force/contrainte, déformation, pentes) et finalement la troisième pour étudier l’impact de quelques paramètres clés sur ces propriétés.
En premier lieu, une analyse de variances des tests est effectuée sur les données brutes afin de vérifier l’homogénéité des variances ainsi que son évolution entre les différentes échelles. Dans le domaine du textile, le paramètre clé à considérer pour étudier la cohérence des résultats est le coefficient de variation, noté CV% également nommé écart- type relatif qui permet de mesurer une dispersion relative (Equation 1). Dans l’idéal, selon les standards textiles, la valeur du CV% doit être de l’ordre de 3%. Cependant, si elle est en dessous de 10 %, on peut considérer que nous avons de bons résultats statistiques. Le coefficient de variation noté CV% est déterminé comme suit :
𝐶𝑉% = 100 ×𝜎
𝑋̅
(Equation 1)
Avec
CV % : le coefficient de variation exprimé en % σ : écart-type de la population
𝑋̅ : valeur moyenne de la population/lot
De plus, on peut aussi définir la Limite Pratique d’Erreur, noté LPE %, dans l’intervalle de confiance, noté IC pour évaluer la précision de l’estimation d’un paramètre statistique sur un échantillon.
L’intervalle de confiance est définit, pour une probabilité de 5%, par: 𝐼𝐶 = 𝑡𝑠 × 𝜎
√𝑁−1 (Equation 2)
Avec
IC : Intervalle de confiance
ts : valeur de la variable t-Student lue dans le tableau des quantiles (1- α/2) c’est-à-dire à 0,975 pour α =5%
σ : écart-type de la population
N : Nombre d’échantillons de la population/lot
La limite pratique d’erreur s’exprime selon l’équation 3 : 𝐿𝑃𝐸% = 100 ×𝐼𝐶
𝑋̅
(Equation 3)
Avec
LPE % : Limite pratique d’erreur
IC : Intervalle de confiance à une probabilité de 5% 𝑋̅ : valeur moyenne de la population/lot
Pour faire ces analyses, une loi d’analyse statistique doit être choisie. Cette loi dépend de la taille N de la population/lot. Pour une taille supérieur ou égale à 30, c’est la loi de Laplace-Gauss ou loi normale centrée réduite (notée z) qui doit être appliquée. Dans le cas contraire, c’est la loi Student (notée t) à N-1 degrés de liberté [1]. Etant donné que nos tests
sont effectués sur des échantillons de petite taille, la loi de probabilité qui correspond à notre répartition est celle de Student.
Le test Student est un test d’interférence statistique qui permet non seulement de décrire les observations mais aussi de les transposer afin de les généraliser et de tester des hypothèses sur le lot étudié. En effet, il permet de décider, selon les résultats du lot, entre deux hypothèses (H0 et H1) pour retenir celle qui est vraie. L’hypothèse nulle H0 consiste à dire
que l’échantillon étudié est un échantillon aléatoire de la population de référence. Le calcul est réalisé pour voir si l’écart entre la moyenne observée et la moyenne théorique est important ou non. Pour trancher sur cette hypothèse, on utilise le test t-student à deux paramètres qui permet de comparer les moyennes mesurées sur deux échantillons différents [2]. Le calcul est réalisé avec la variable t qui est la valeur représentative de la différence statistique entre deux lots de matière, dans un intervalle de confiance de 95%. Elle s’exprime comme suit :
𝑡 =
𝑋𝑖̅̅̅−𝑋𝑗̅̅̅̅ √𝜎𝑖² 𝑁𝑖− 𝜎𝑗² 𝑁𝑗 (Equation 4) Avec 𝑋𝑖̅̅̅ : valeur moyenne du paramètre étudié i σi : l’écart-type associé à la moyenne 𝑋𝑖̅̅̅ Ni : taille de la série i
La distribution de la variable t est déterminée dans le but de comparer les moyennes de deux échantillons et tester une corrélation linéaire. Le seuil α correspond à la probabilité que la valeur t soit dépassée en valeur absolue de P (-t < T < t) = 1- α comme indiqué sur la Figure 5-1.
Figure 5-1: Répartition théorique de la loi de STUDENT
D’une manière générale, une différence entre deux groupes est considérée significative lorsque la probabilité de l’hypothèse nulle est inférieure ou égale à 5%. Donc on choisit de tester l’hypothèse pour une valeur de seuil α= 5% (IC de 95%). Concrètement, en regardant la distribution de la courbe à la Figure 5-2, les valeurs « normales » doivent être strictement inférieures à|1,96|. On considère alors que la zone de « normalité » comprend 95% de la population. Par conséquent, toute valeur n’appartenant pas à cette intervalle (<- 1,96 ou >1,96) constitue la zone d’« anormalité ». Si on obtient une valeur de la variable t qui dépasse 1,96 en valeur absolue, on peut conclure que les deux paramètres étudiés sont statistiquement différents. Par rapport à notre hypothèse, ceci signifie que l’hypothèse nulle est rejetée.
Figure 5-2: Répartition théorique de la loi de distribution pour un IC de 95% (seuil α = 5%) Associée à la variable t, on peut calculer la probabilité p d’obtenir l’hypothèse nulle H0
pour évaluer la mesure. Cette probabilité est comparée au seuil α, fréquemment fixé à 5 %. Si p est inférieure à cette valeur (i.e. p<0.05) alors l’hypothèse nulle H0 est rejetée et par
conséquence la différence des moyennes est significative (au seuil α avec un degré de significativement p). Dans le cas contraire, la différence des moyennes n’est pas significative au seuil α.
Dans ce contexte, une étude statistique de variance ANOVA à deux facteurs est réalisée pour analyser si les résultats du type de fil entre les échelles fil, tissu et composite sont statistiquement différents quant à leurs propriétés en traction (effort, déformation et pentes) à la fois pour le même lot ou pour des lots différents.