Introduction

Nous nous intéressons dans cette partie au problème de reconstruction de phase de systèmes SISO à phase non-minimale. Dans le cas où l’on ajoute aux hypothèses (H1), (H3), (H4), (H5),

(H6) et (H7) décrites dans la section 1.3.2, une hypothèse supplémentaire (H8) selon laquelle l’en-

trée du système est une séquence i.i.d. non gaussienne, l’estimation de la phase d’un système LIT

à phase non-minimale est possible en exploitant uniquement le polyspectre d’ordreq (q ≥ 3) de

la sortie (observation). Contrairement au spectre de puissance, le polyspectre préserve l’informa- tion sur la phase du système [159, 160], ce qui lui confère un grand avantage. Plusieurs méthodes traitant du problème de reconstruction de phase de systèmes SISO ont été proposées dans la lit- térature [159, 160]. Elles peuvent être classées en deux catégories : celles qui exploitent toute

l’information fréquentielle contenue dans le spectre d’ordreq (q ≥ 3) [17, 33, 149, 171] et celles

utilisant seulement une partie de cette information, à savoir, une ou deux tranches UniDimension- nelle (1D) du polyspectre de la sortie [85, 138, 172, 181]. Ces dernières supposent l’existence d’un

critère de mesure qui permet de sélectionner la "meilleure" tranche 1D du polyspectre, c’est-à-dire, la tranche 1D du polyspectre dans laquelle on est censé récupérer un maximum d’information fré- quentielle utile. Un tel critère a été proposé par H. Pozidis et A. P. Petropulu dans [181] et a aussi été exploité dans [172]. Cette procédure de sélection a été introduite afin d’éviter les tranches où le polyspectre estimé risque de présenter une grande variance et aussi celles où l’amplitude du polyspectre est proche de zéro (cas des systèmes à bande limitée). Une autre manière de décrire et de différencier les algorithmes cités précédemment, consiste à les classer selon leur nature re- cursive ou non. Ainsi, les algorithmes [17, 33, 138, 172] sont récursifs, ils reposent sur une relation de récurrence qui leur permet de calculer au fur et à mesure les différentes valeurs de la phase, en supposant que la première valeur est nulle. Quant aux méthodes [85, 149, 171, 181] elles sont non récursives. Plus exactement elles estiment les différentes composantes de la phase en bloc. En outre, tous ces algorithmes se distinguent les uns des autres de par leur besoin ou non d’utiliser explicitement une méthode de déroulement de phase [67]. On rappelle brièvement que le dérou-

lement de phase (nommé phase unwrapping en anglais) consiste à retrouver les multiples de2π

qui assurent la continuité de la fonction estimée par la valeur principale de la phase [108]. En effet, les méthodes proposées dans [33, 85, 149, 171] nécessitent toutes une étape supplémentaire de déroulement de phase, contrairement à celles présentées dans [17, 138, 172, 181].

Pour illustrer les différentes classes de méthodes citées ci-dessus, nous avons décrit, en dé- tail (voir annexe D) trois algorithmes. Nous avons commencé par présenter deux algorithmes qui exploitent toute l’information fréquentielle du bispectre (annexe D1 et D2). Le premier est l’algo- rithme de Matsuoka/Ulrych [149] qui estime toutes les valeurs de la phase en bloc et qui nécessite une étape supplémentaire de déroulement de phase. Le deuxième, nommée Petro/Pozi [172], est de nature récursive et ne nécessite pas de procéder à un déroulement de la phase estimée. Enfin, un autre algorithme d’estimation blocs (Pozi/Petro [181] ne nécessitant pas de déroulement de phase et n’exploitant qu’une partie du polyspectre a été détaillé dans l’annexes D3. Notons, que le choix de présenter ces quatre algorithmes a été motivé par plusieurs raisons. En effet, l’algorithme Matsuoka/Ulrych à été choisi car il est considéré comme étant l’un des premiers algorithmes d’es- timation bloc présenté dans la littérature. De plus cet algorithme a servi de base à plusieurs autres algorithmes, notamment l’algorithme de Pozi/Petro. Les algorithmes Petro/Pozi et Pozi/Petro ont été présentés en raison de leurs supériorité face aux autres algorithmes ; efficacité montrée en partie par le biais de simulations par H. Pozidis et A. P. Petropulu dans [181].

Toutes les méthodes citées précédemment présentent des limitations. En effet, H. Pozidis et A. P. Petropulu [181] ont montré que les méthodes exploitant toutes les tranches du poly- spectre [17, 33, 149, 171] sont peu robustes dans le cas où le système est à bande limitée. Par ailleurs, l’algorithme proposé par K. S. LII et M. Rosenblatt [138] traite seulement des systèmes

à valeurs réelles. Les algorithmes Petro/Pozi [172], et Pozi/Petro [181] estiment la phase seule- ment à une phase linéaire près. De plus, la méthode Petro/Pozi [172] est incapable de traiter des systèmes présentant en entrée une séquence de distribution symétrique. Notons aussi que pour les algorithmes récursifs [17, 33, 138, 172], une erreur d’estimation des premières valeurs de la phase va se répercuter et amplifier l’erreur d’estimation des valeurs suivantes. Enfin, les algorithmes Petro/Pozi et Petro/Pozi [172, 181] montrent, au travers des résultats obtenus lors de simulations numériques [181], une certaine sensibilité, à un mauvais choix de la tranche 1D du polyspectre.

Afin de palier à toutes ces limitations, nous proposons une nouvelle famille de méthodes bap- tisées PEP (Phase Estimation using Polyspectra), simples à implémenter et capables de traiter des systèmes SISO à phase non-minimale (réels ou complexes), à bande limité ou non, d’entrée symé- triquement distribuée ou non. Nos méthodes ne sont pas récursives et n’estiment pas les valeurs de la phase en bloc, ce qui les distingue naturellement des méthodes citées ci-dessus. En effet, contrairement aux méthodes existantes, elles permettent d’estimer chaque valeur de la phase indé- pendamment des autres valeurs estimées. Plus précisément, nous proposons deux sous-familles de

méthodes, lesq-PEP (q ≥ 3) et les (q1, q2)-PEP (q2 > q1 ≥ 3). Les q-PEP exploitent une tranche

2D du spectre d’ordreq. Ainsi à l’ordre 3, la 3-PEP approche exploite toute l’information du bis-

pectre. En revanche, siq > 3, les q-PEP méthodes n’exploitent que la "meilleure" tranche 2D

du polyspectre utilisé. Concernant les méthodes (q1, q2)-PEP (q2 > q1 ≥ 3), celles ci exploitent

simultanément une tranche 1D du spectre d’ordreq1(q1 ≥ 3) et une tranche 2D du spectre d’ordre

q2(q2 > q1 ≥ 3). D’une certaine manière, elles tirent le meilleur des spectres d’ordre q1 etq2 en

exploitant conjointement des tranches spectrales contenant le maximum d’information utile, ce qui n’avait encore jamais été proposé dans la littérature. Cette exploitation simultanée de deux spectres d’ordre supérieur distincts permet entre autres de rendre les méthodes d’estimation de phase plus robustes à un mauvais choix des tranches spectrales, ce qui leur confère un grand intérêt lors du traitement de systèmes à bandes limitées. Ce résultat sera montré au travers des simulations nu- mériques. Par ailleurs, nos méthodes estiment la phase à une constante près et n’introduisent donc aucun retard pur lors de la reconstruction complète de système SISO, contrairement à tous les algorithmes existants. Notons enfin, que les méthodes PEP proposées nécessitent l’emploi d’une étape supplémentaire de déroulement de phase.