Une des conditions nécessaires pour que la surface d’un objet développable (objet dont la surface est dé- veloppable) soit régulière concerne la position de la courbe de régression. Cette dernière doit être située à l’extérieur de la frontière de l’objet (la frontière de l’objet est une courbe fermée). La ligne de régression est le lieu des points d’intersection des génératrices d’une surface développable, voir la section3.1.4.1.
Dans le modèle génératif des surfaces développables que nous avons proposé au chapitre 4, un ensemble discret de génératrices est considéré. Pour garantir la régularité de la surface générée, les génératrices ne doivent pas se couper sur la surface de l’objet. Dans le cas d’une frontière plane convexe, nous avons traduit cette propriété par une contrainte portant sur l’ordre des abscisses curvilignes des intersections des génératrices avec la frontière de l’objet, voir la section4.3.3.1.
Nous démontrons ici que la contrainte utilisée implique la non intersection des génératrices sur la surface de l’objet. Cela revient à démontrer la propriété suivante, illustrée par la figureA.1:
Propriété A.1. Si {M1, · · · , M2n} est un ensemble de points ordonnés sur le contour d’une forme convexe
plane, alors les intersections entre les segments[M1, M2n], [M2, M2n−1], · · · , [Mn, Mn+1] ne sont pas situées
à l’intérieur de la forme convexe.
M1 M1 M M2 2 M3 M3 M4 M4 M5 M5 M 6 M6
FIGUREA.1 – Illustration de la propriété. (à gauche) Sur une forme convexe, l’ordre des points est un critère suffisant pour éviter que les intersections entre les segments soient à l’intérieur de la forme convexe. (à droite) Contre exemple pour une forme non convexe.
La démonstration proposée de la propriété est une preuve par récurrence. Dans un premier temps, la pro- priété est démontrée pour 4 points, puis elle est généralisée à2n points. Cette démonstration a été réalisée avec
la participation de Richard Hartley.
A.1.1 Démonstration avec 4 points
On considère 4 points, notésM1, M2, M3, M4. Les segments associés sont[M1M4] et [M2M3], ce sont les
génératrices de la surface développable de la forme convexe. Le point singulier de cette surface développable est le point d’intersection des deux segments. Il faut démontrer que ce point ne peut pas être situé à l’intérieur de la forme convexe avec les hypothèses du problème. Nous montrons que les deux cas pour lesquels le point singulier est à l’intérieur de la forme de l’objet ne sont pas compatibles avec les hypothèses du problème (la forme est convexe et les points sont ordonnés sur la frontière).
Les génératrices de la forme convexe sont les segments[M1M4] et [M2M3]. Pour être situé à l’intérieur de
la forme convexe, le point singulier doit appartenir à au moins l’un des deux segments. Cela conduit à deux cas de figure, représentés respectivement à gauche et à droite de la figureA.2.
A.1. INTERSECTION DE SEGMENTS SUR LES FORMES CONVEXES 121 M1 M1 M2 M2 M3 M3 M4 M4 I I
FIGUREA.2 – Cas possibles d’intersection. (à gauche) Cas a : le point appartient aux deux segments. (à droite) Cas b : le point singulier appartient à l’un des deux segments.
Remarque A.1. Le cas limite où le point singulier appartient à la courbe frontière est considéré comme valide.
Par conséquent, la notion d’intérieur d’un espace réfère à un espace ouvert égal à l’espace retranché de sa courbe frontière.
Cas a. Les points sont ordonnés le long de la courbe plane fermée constituant la frontière de la forme convexe.
Les points M1 et M2 définissent deux portions de frontière dont l’intersection est nulle et dont l’union est
l’intégralité de la frontière. Les points étant ordonnés le long de la frontière, les pointsM3etM4sont situés sur
la même portion de frontière.
La droite M1M2 définit deux demi-plans. Elle sépare donc la forme convexe en deux sous-espaces
convexes (l’intersection de convexes est convexe et les demi-plans sont convexes). Ces deux sous-espaces sont bordés par le segment [M1M2] et par les deux portions de frontière. Les points M3 etM4 appartenant à la
même portion de frontière, ils sont donc dans le même sous-espace convexe. En particulier, ils sont situés du même coté de la droiteM1M2. Par conséquent le cas a d’intersection ne peut pas se produire.
Cas b. Le raisonnement suivant est un raisonnement par l’absurde. Le point singulier est supposé exister, nous
montrons que cela n’est pas compatible avec les hypothèses du problème.
Le point singulierI appartient au segment ]M1M2[. Sans perte de généralité, on suppose que le point M4
est plus proche deI que le point M3. Le pointI appartient au segment [M1M2] si et seulement si le point M4
est à l’intérieur du triangle M1M2M3. Par conséquent, le pointM4n’appartient pas à la frontière du triangle.
Or les pointsM1,M2 etM3sont sur la courbe frontière de l’espace convexe. Donc l’intérieur du triangle est
inclus dans l’intérieur de l’espace convexe. Le point M4 est à l’intérieur de ce triangle, il n’appartient donc
pas à sa frontière. Cette conclusion est contradictoire avec l’hypothèse que les points sont ordonnés le long du contour.
Conclusion. Les deux cas pour lesquels le point singulier est situé à l’intérieur de la forme convexe ne sont
pas compatibles avec les hypothèses du problème. Par conséquent, la propriété est vraie pour quatre points.
A.1.2 Généralisation à un nombre fini de points
La propriété est supposée vraie pour2n points {M1, · · · , M2n} ordonnés le long du contour. Nous montrons
que ce résultat implique que la propriété est vraie pour2n + 2 points.
Les deux points supplémentaires sont ajoutés en respectant l’ordre. Sans perte de généralité, on peut supposer qu’ils sont insérés au début et à la fin des points existants. Ainsi l’ensemble de points
{M0, M1, · · · , M2n, M2n+1} est ordonné le long de la forme convexe. Pour que la propriété soit vraie, il faut
que le segment ajouté [M0M2n+1] n’ait pas d’intersection à l’intérieur de l’espace convexe avec les autres
122 Chapitre A. ANNEXES
Or ∀i ∈ [1, n], les points {M0, Mi, M2n+1−i, M2n+1} sont ordonnés le long de la frontière d’un espace
convexe. L’intersection entre les segments[M0M2n+1] et [MiM2n+1−i] est donc située à l’extérieur de l’espace
A.2. VERS LA LOCALISATION DES SURFACES DÉVELOPPABLES 123