La qualité de la reconstruction dépend du nombre de correspondances et du bruit dans les images. Bien que ce dernier ait été ignoré pendant les explications de l’algorithme, nous montrons comment le prendre en compte
6.6. ANALYSE DE L’ERREUR 107
en pratique. Les expériences pour déterminer l’erreur de reconstruction par rapport au nombre de points et à l’amplitude du bruit ont été réalisées sur des données de synthèse. Les surfaces utilisées sont modélisées par des surfaces développables car celles-ci sont isométriques au plan. En pratique les surfaces sont des carrés dont le côté mesure 200 mm. Les points sont tirés aléatoirement sur la surface. L’erreur de reconstruction pour le
ième point d’intérêt est définie par :
e(i) = k ˜Qi− ˆQik (6.12)
6.6.1 Influence du nombre de points
La figure6.6 montre l’erreur moyenne de reconstruction par rapport au nombre de correspondances. La courbe pointillée représente l’erreur pour l’implantation rapide (équation (6.9)) et la courbe continue est celle des points optimisés pour tenir compte de l’inextensibilité (équation (6.10)). Comme prévu, l’erreur décroît grâce au processus d’optimisation. Les courbes sont décroissantes : plus le nombre de correspondances est im- portant, plus l’erreur de reconstruction est faible. Cette constatation peut être expliquée par deux phénomènes :
⊲ amplitude des déformations. Avec les déformations, la distance euclidienne entre les points 3D dimi-
nue. D’un certain point de vue, notre algorithme est basé sur la préservation de la distance euclidienne entre un point et son point d’attache. Par conséquent, moins la surface se déforme entre deux points, plus l’erreur de reconstruction est faible.
⊲ orientation des points. L’orientation 3D d’un point et de son point d’attache change la position relative
des points dans l’image. Il existe une configuration dans laquelle l’angle entre un point et son point d’attache est maximum. Cette situation est l’orientation optimale car elle conduit à la borne la plus proche et donc minimise l’erreur de reconstruction.
La probabilité d’avoir des cas optimaux pour la reconstruction augmente avec le nombre de points, c’est pour- quoi l’erreur de reconstruction diminue lorsque le nombre de correspondances augmente.
Remarque 6.1. Il serait intéressant de mener une étude plus détaillée pour interpréter les parts respectives et
les corrélations entre ces deux phénomènes dans l’erreur de reconstruction. Il est pour cela possible d’intro- duire des mesures locales entre les points et leurs points d’attache pour décrire l’amplitude et l’orientation des déformations. La partie délicate de cette caractérisation est due à l’algorithme de raffinement des bornes car il ne fournit pas de solution analytique à la reconstruction.
50 100 150 200 250 300 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 nombre de correspondances erreur moyenne (mm) implantation rapide optimisation des points
FIGURE6.6 – Erreur de reconstruction en fonction du nombre de correspondances.
6.6.2 Influence du bruit
Dans la présentation de l’algorithme de reconstruction, le bruit dans les correspondances de points n’a pas été pris en compte. Il y a deux façons de le considérer car on peut choisir arbitrairement dans quelle image les
108 Chapitre 6. RECONSTRUCTION 3DMONOCULAIRE DE SURFACES INEXTENSIBLES
points sont bruités et dans quelle autre leurs positions sont exactes. En effet, il est possible de considérer que les positions des points sont exactes sur l’image de référence et par conséquent bruitées dans l’image de l’objet déformé ou au contraire que les positions exactes sont celles de l’image de l’objet déformé et que le bruit est dans l’image de référence. Ce choix influence les éléments de l’algorithme :
⊲ le bruit dans l’image de l’objet déformé change l’orientation des lignes de vues,
⊲ le bruit dans l’image du modèle de référence modifie les distances de référencedij entre les points.
Comme les points 3D sont paramétrés le long de leurs lignes de vue, la première possibilité a des repercussions plus complexes sur notre algorithme que la deuxième. Nous choisissons par conséquent d’exprimer le bruit dans l’image de référence.
Les distances bruitées mesurées sur le patron conduisent à des profondeurs maximales plus importantes si elles sont sur-évaluées. Au contraire, une sous-évaluation des distances induit des profondeurs maximales plus faibles, qui se répercutent sur les autres points par l’intermédiaire du processus de raffinement. Ce deuxième cas de figure est plus problématique car il peut conduire à des profondeurs maximales inférieures aux profondeurs réelles des points.
Pour éviter ce phénomène, nous ajoutons un terme correctif constantk aux distances calculées dans l’image
de référence :
dij ←− dij + k (6.13)
Ce terme traduit la fiabilité sur les distances. Son efficacité est liée à l’amplitude du bruit, comme montré sur la figure6.7. La courbe présente un minimum bien localisé à environ 55% de l’amplitude moyenne du bruit, ce qui donne une méthode empirique pour choisir la valeur de ce terme correctif. Cette courbe expérimentale montre également qu’il est préférable de sur-estimer ce paramètre plutôt que de le sous-estimer. Dans la plupart des expériences sur des séquences réelles, ce terme est fixé à un pixel. Ce dernier pourait également être déterminé en prenant en compte l’imprécision de la détection.
Le bruit dans les correspondances de points étant pris en compte dans l’algorithme, il est possible d’étudier l’influence du bruit sur la qualité de la reconstruction. La précision de la reconstruction se dégrade progressi- vement avec l’amplitude du bruit, comme montré sur la figure6.8. Pour une amplitude du bruit de 5 pixels, l’erreur moyenne est inférieure à 5,5 mm.
0 100 200 300 400 500 0 20 40 60 80 terme de correction en pourcentage du bruit moyen
erreur moyenne (mm)
implantation rapide optimisation des points
FIGURE6.7 – Influence du terme de correction
sur l’erreur de reconstruction.
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6
amplitude du bruit (pixels)
erreur moyenne (mm)
implantation rapide optimisation des points
FIGURE6.8 – Erreur de reconstruction en fonc-
6.7. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX SUR DES DONNÉES RÉELLES 109