3.2 Modélisation des surfaces
3.2.2 Assemblage de portions de surfaces développables
Il est généralement plus simple de représenter un objet par un assemblage de parties élémentaires plutôt que par une surface unique associée à une frontière complexe. Les figures3.10et3.12illustrent ces deux solutions pour des formes similaires. Bien qu’il soit possible de faire passer une surface unique par toutes les parties de la feuille, cela ne semble pas intéressant en pratique :
⊲ la frontière de l’objet n’est plus simplement connexe,
⊲ le raccordement entre les parties impose de nombreuses contraintes de continuité, ⊲ la surface hors des zones d’intérêt est très peu contrainte.
Cette solution n’est pas envisagée dans la suite. Les formes complexes sont donc réalisées par assemblage de surfaces développables. Il existe trois possibilités pour raccorder des portions de surface développable :
1. le regroupement sous une surface développable unique, 2. l’assemblage par l’intermédiaire d’une région plane, 3. le raccordement par un pli franc.
FIGURE 3.10 – Découpage complexe d’une surface. (à gauche) la surface mise à plat et les frontières de l’objet. (à droite) la surface déformée et l’objet ainsi constitué. La forme complexe de l’objet ne peut pas être représentée par une surface développable unique associée à une frontière connexe à cause d’une incompatibilité dans les génératrices. Par conséquent l’objet est obtenu par l’association de deux parties distinctes de la même surface.
3.2.2.1 Regroupement
Le regroupement de deux portions de surfaces développables en une nouvelle portion de surface dévelop- pable est possible lorsque l’assemblage est réalisé le long de génératrices des deux portions. Le raccordement est continu et l’angle entre les portions peut être ajusté de manière à faire correspondre les plans tangents de part et d’autre du raccord. La figure3.11illustre ce type d’assemblage. Cette méthode est par exemple utilisée dans (Sun and Fiume,1996) pour raccorder des cônes généralisés afin d’obtenir une surface complexe.
24 Chapitre 3. SURFACES DÉVELOPPABLES
FIGURE3.11 – Raccordement simple le long de génératrices.
3.2.2.2 Assemblage par l’intermédiaire d’une portion plate
Une autre solution pour réaliser une surface globalement développable à partir de plusieurs portions est de les relier par une zone plate. Dans ce cas, les raccords s’effectuent également le long de génératrices des différentes portions. De cette façon, la continuité de la surface (et si nécessaire de sa dérivée) est assurée. La surface plate est alors bordée par les génératrices des portions, comme illustré par la figure 3.12. Une démonstration que l’assemblage ainsi réalisé est développable est présenté dans (Do Carmo,1976).
FIGURE3.12 – Raccordement de plusieurs portions de surfaces développables. Le triangle gris est la région plate permettant le raccord, les parties colorées sont des portions de surfaces développables. Les éléments se raccordent le long des génératrices. La surface ainsi générée représente par exemple la page d’un livre dont les coins sont cornés.
3.2.2.3 Raccordement le long d’un pli franc
Cette dernière catégorie permet d’expliquer les déformations obtenues par exemple en froissant une feuille de papier : des plis francs apparaissent sur la surface mais celle-ci peut toujours être mise à plat. En considérant la surface dans sa globalité, les plis francs sont des points singuliers car la surface n’est pas régulière le long des plis. En revanche, les portions de surface entre les plis sont développables et par conséquent le papier froissé est un assemblage de portions développables.
D’après (Pottmann and Wallner,2001), la relation entre les surfaces développables de part et d’autre d’un pli est la suivante : le plan osculateur du pli est en tout point le plan bissecteur des plans tangents des surfaces développables. Un exemple de surface développable pliée est présenté sur la figure 3.13. Cette méthode est utilisée dans l’étude (Frey,2004) sur la fabrication de pièces par emboutissage.
Cette méthode d’assemblage garantit que la surface obtenue est globalement développable, au sens où elle peut être mise à plat. Par ailleurs, il est toujours possible d’assembler deux surfaces développables sans tenir compte de la contrainte, en faisant l’intersection des deux surfaces. Mais l’ensemble n’est alors plus globalement développable.
3.3. CONCLUSION 25
FIGURE3.13 – Pli franc pour le raccord de surfaces développables.
3.3
Conclusion
Les surfaces développables sont les surfaces pouvant être mises à plat sans étirement. Elles permettent de représenter la surface d’une feuille de papier par exemple. Plusieurs paramétrisations de ces surfaces ont été présentées, la paramétrisation directe, duale, et des modèles discrets. Afin de réaliser des objets complexes, les différentes possibilités de raccord de ces surfaces ont été décrites. Cette étude permet de comprendre les différents aspects mathématiques intervenant dans les surfaces développables. Pour intégrer ces éléments dans notre processus de reconstruction 3D de surfaces développables à partir d’images, nous avons choisi d’utiliser un modèle de surface. Ce dernier peut être vu comme une mise en forme pratique des concepts mathématiques introduits. Notre contribution sur la modélisation d’objets à partir de surfaces développables est détaillée dans le chapitre suivant.
CHAPITRE
4
4
U
N MODÈLE GÉNÉRATIF DE
SURFACES DÉVELOPPABLES
U
N MODÈLE GÉNÉRATIF DE
SURFACES DÉVELOPPABLES
Résumé.Dans la méthode adoptée pour la reconstruction 3D d’objets déformables, la mo- délisation de la surface est une étape essentielle. Cette modélisation peut être plus ou moins spécifique suivant les hypothèses faites sur l’objet. Dans ce cadre, nous étudions maintenant la modélisation des objets dont la surface est développable. Ce cas de figure correspond à des hypothèses fortes sur l’objet. Nous les avons tra- duites en proposant un modèle génératif de surfaces développables. Cette approche permet également d’identifier d’autres propriétés des surfaces développables.
Contributions.
⊲ Notre premier modèle permettant de représenter des portions uniques de sur-
faces développables est présenté dans (Perriollat and Bartoli,2006).
⊲ Notre modèle plus complet, avec la gestion de l’assemblage de plusieurs por-
tions développables est décrit dans (Perriollat and Bartoli, 2007a,b; Perriollat et al.,à paraître).
28 Chapitre 4. UN MODÈLE GÉNÉRATIF DE SURFACES DÉVELOPPABLES
4.1
Introduction
Le traitement informatique des objets réels fait généralement intervenir un modèle de ces objets. Le modèle désigne dans ce contexte un processus permettant de générer des objets de la classe de manière synthétique. Il est constitué d’un ensemble d’équations ou de relations représentant au mieux des propriétés identifiées de l’objet. La plupart du temps, le modèle utilisé est incomplet, il ne représente pas toutes les caractéristiques de l’objet, et n’est valide que dans un domaine d’étude restreint. Le modèle est donc par nature adapté à l’utilisation pour laquelle il a été conçu.
Dans le chapitre précédent, les surfaces développables ont été introduites. Plus exactement, elles ont été étudiées d’un point de vue mathématique. Les formulations de ces surfaces ne constituent pas directement des modèles puisqu’elles ne sont pas liées à des objets physiques. En revanche, elles constituent des outils mathématiques utiles, par exemple pour la modélisation des objets dont la surface est développable. Ce ne sont pas les seuls outils à avoir été employés pour la modélisation de ces objets : des méthodes de simulation physique et des équations dérivées de la géométrie discrète ont notamment été utilisées.
La première partie de ce chapitre est un état de l’art des modèles représentant des objets dont la surface est développable. Le modèle que nous avons développé est ensuite introduit. Des propriétés de la paramétrisation du modèle sont également présentées. Enfin des possibilités d’extension sont considérées.
Notre modèle a été conçu spécifiquement pour les applications envisagées en vision par ordinateur, voire en synthèse d’image :
⊲ reconstruction 3D : estimation des paramètres du modèle à partir d’observations, par exemple des
images,
⊲ estimation de caractéristiques : les caractéristiques de l’objet qui ne sont pas directement données par
les observations peuvent être estimées à partir du modèle. Par exemple, la frontière d’un objet estimé à partir de points 3D peut être prédite par le modèle,
⊲ conception de surfaces développables : déformation intuitive de l’objet, mise à plat d’un objet déformé,
Il s’agit d’un modèle génératif discret, couplé à un processus d’interpolation permettant de lisser la surface générée.
Remarque 4.1. La distinction faite dans ce chapitre entre objet et surface réside dans la présence ou non
d’une frontière. Ainsi un objet est une partie de surface délimitée par une frontière. Il peut être constitué d’un ensemble de portions1de surface.