Interpolation par noyau régularisant à support com-

Une fois les forces réparties sur le support cylindrique, elles sont appliquées sur la grille cartésienne du domaine de simulation au moyen d’un processus d’interpolation. La figure 3.6 résume de manière schématique la problématique rencontrée et la solution que nous avons développée.

Figure 3.6 – Interpolation du champ de force sur la grille cartésienne par noyau régularisant.

L’une des particularités de notre méthode réside dans le choix de la technique d’interpolation. En effet, nous avons choisi d’utiliser une interpolation par noyau régularisant à support compact. Cette technique a été largement utilisée au LHEEA sur des problématiques liées à la méthode SPH [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40], et présente des propriétés intéressantes pour notre application. En effet, elle a l’avantage de fonctionner de manière indépendante de la direction ce qui simplifie la procédure de recherche de voisins. Cette méthode est particulièrement adaptée à notre problématique car les deux topologies de maillage utilisées (cylindrique et cartésienne) ne se correspondent pas naturellement. La procédure que nous avons mise en place permet de considérer les valeurs des forces volumiques au centre des volumes du support cylindrique comme un nuage de points que nous interpolons alors facilement avec cette méthode de noyau régularisant sur la grille cartésienne. De plus, le support du noyau est compact et permet donc de limiter le nombre de cellules du support cylindrique qui influent sur une cellule cartésienne donnée, réduisant ainsi le coût de calcul. Cette dernière propriété est particulière à notre méthode. En effet, dans la plupart des cas, les méthodes actuatrices présentées dans la littérature utilisent des noyaux régularisants classiques basés sur des Gaussiennes qui font intervenir l’ensemble des cellules [26] [10] [25].

Le noyau utilisé dans cette étude est défini comme une composition de splines cubiques comme suit :

W_q= C      −1 6 + q2− q3 si 0 ≤ q < 0.5 −1 3(1 − q)3 si 0.5 ≤ q < 1 0 sinon , (3.27)

avec q = |x−x0|

R , où R est le rayon du noyau (avec R = 2.5∆xmin), et où la constante C prend les valeurs C1D = −8

R, C2D = −240

7πR2 et C3D= −48

πR3 en 1D, 2D et 3D respecti-vement.

Cette constante permet de garantir :

Z

Ω

W_q(|x − x0|, R_kernel)dv(x0) = 1. (3.28) Les forces régularisées s’écrivent :

< f(x) >=^Z

Ω

f(x0)Wq(|x − x0|, R_kernel)dv(x0), (3.29) avec Ω le domaine défini par la sphère de rayon R et de centre x, x étant la position du point auquel nous souhaitons réaliser l’interpolation, et x0 la position des points d’appui (ils correspondent aux volumes du support cylindrique). Ré-écrite sous forme discrète, nous obtenons :

f_i =X j f_jW(xi− x_j, R) | {z } Wij ω_j, (3.30)

où ωj sont les volumes discrets du support cylindrique.

Les figure 3.7 et 3.8 illustrent l’expression (3.30). Nous y retrouvons xj qui cor-respond aux centres des volumes du support cylindrique et xi qui correspond au centre de la cellule cartésienne.

Figure 3.7 – Illustration de l’interpolation par un noyau Wqdans le cas d’un champ 2D (dans ce cas, le support du noyau est un disque de rayon R).

Cette méthode fonctionne correctement lorsque le noyau est intégralement rem-pli. Dans le cas contraire, l’interpolation résultante serait erronée. Deux situations peuvent alors engendrer des noyaux partiellement remplis :

Figure 3.8 – Représentation bi-dimensionnelle du noyau utilisé pour une cellule cartésienne i et des volumes polaires j.

Figure 3.9 – Cas particulier de noyau partiellement rempli pour une cellule carté-sienne i et des volumes polaires j. Vue de face sur le support cylindrique pour un actuator-disc (axe du support cylindrique perpendiculaire au plan ~z~y).

1. Les cellules cartésiennes qui se trouvent en bordure du support cylindrique : ces cellules cartésiennes ne sont pas intégralement entourées de volumes j. La figure 3.9 illustre le cas de noyaux partiellement remplis puisque situés sur les bords intérieur et extérieur du support polaire.

2. Dans le cas d’un modèle actuator-line, les cellules qui se trouvent en bordure d’une ligne tournante : ces cellules cartésiennes sont entourées de cellules j,

mais certaines ont des forces associées nulles. La figure 3.10 explicite ce cas en montrant un support partiellement rempli lors du passage d’une ligne tour-nante (actuator-line) dans le noyau associé à la cellule cartésienne i.

Figure 3.10 – Cas particulier de noyau partiellement remplis pour une cellule car-tésienne i et des volumes polaires j. Vue de face sur le support cylindrique pour un actuator-line (axe du support cylindrique perpendiculaire au plan ~z~y).

Pour palier à ce problème, nous avons mis en place une méthode de correction MLS (Moving Least Square) qui permet de corriger le noyau de régularisation et ainsi de maintenir une interpolation correcte y compris lorsque le noyau n’est pas inté-gralement rempli. Cette méthode a notamment été explicitée dans plusieurs thèses de doctorat du LHEEA sur la méthode SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) où les techniques d’interpolation par noyau régularisant forment la base de cette méthode particulaire lagrangienne [33] [32].

En pratique, cette technique modifie le noyau pour satisfaire quatre conditions en 3D. La correction MLS s’écrit comme suit :

W_ij^{M LS} = [αi+ (xi− x_j)βi+ (yi− y_j)γi+ (zi− z_j)δi]Wij, (3.31) avec P jW_ij^{M LS}ωj = 1 (relatif à l’équation 3.28) P j(xj − x_i)WM LS ij ω_j = 0 (garantissant < xi >=P jx_jWM LS ij ω_j) P j(yj− y_i)WM LS ij ω_j = 0 (garantissant < yi >=P jy_jW_ij^{M LS}ω_j) P j(zj − z_i)WM LS ij ω_j = 0 (garantissant < zi >=P jz_jWM LS ij ω_j) . (3.32)

On peut alors former un système matriciel à résoudre pour chaque point i :              Wijωj (xi− x_j)Wijωj (yi− y_j)Wijωj (zi− z_j)Wijωj (xi− x_j)Wijω_j (xi− x_j)2W_ijω_j (xi− x_j)(yi− y_j)Wijω_j (xi− x_j)(zi− z_j)Wijω_j (yi− y_j)Wijω_j (yi− y_j)(xi− x_j)Wijω_j (yi− y_j)2W_ijω_j (yi− y_j)(zi− z_j)Wijω_j (zi− zj)Wijωj (zi− zj)(xi− xj)Wijωj (zi− zj)(yi− yj)Wijωj (zi− zj)2Wijωj                           αi β_i γ_i δi              =              1 0 0 0              . (3.33) En inversant ce système matriciel, nous obtenons αi, βi, γi et δi.

L’algorithmique que nous avons mis en place se base sur une recherche des cellules cylindriques j voisines de chaque cellule cartésienne i. Ces listes de voisinage sont créées une fois pour toutes en début de calcul, puis stockées (notamment pour mettre à jour les champs de l’actuator-line) sous forme de listes chaînées.

Cette façon de procéder réduit fortement les temps de calculs dans le cas de l’actuator-line. La plupart des méthodes décrites dans la littérature utilisent des recherches de cellules j voisines systématiques à chaque pas de temps, ce qui vaut au modèle actuator-line la réputation d’être beaucoup plus coûteux en temps que le modèle actuator-disc [27]. Dans notre cas, nous évitons la recherche systématique de voisins en fonction de la position des lignes tournantes, car les associations de cellules restent inchangées au cours du calcul. Seul le champ de forces associé aux cellules du support cylindrique évolue. De cette manière, les écarts de temps de calculs entre les deux modèles restent faibles (cf. 5.3).