Interpolation et intégration

Avant d’être intégrées par la formule de Stokes, les anomalies résiduelles ponctuelles doivent être transformées en grille régulière par interpolation. Il existe différents algorithmes d’interpolation dont chacun peut avoir des résultats différents. Nous en donnons ici quelques exemples.

La méthode des inverses des distances (Watson & Philip, 1985) consiste à attribuer un poids inversement proportionnel à la distance entre les points de mesure et les points à estimer. Cette méthode ne dépend que de la distance entre les points. Les valeurs interpolées sont limitées par les valeurs minimales et maximales des mesures. La méthode des splines (Smith & Wessel, 1990) est une fonction d’interpolation définie par morceaux de polynômes (linéaires, cubiques, quadratiques, etc.) passant par chacun des points de données. Donc, il y a une courbe ou une ligne séparée pour chaque intervalle. Si l’on a (n + 1) paires de points (x_i, y_i), les splines linéaires peuvent être écrits comme :

S_i(x) = a_i+ b_i(x − x_i), i = 0, 1, ..., n − 1 (2.11) Dans le cas des splines cubiques on a :

S_i(x) = a_i(x − x_i)³+ b_i(x − x_i)²+ c_i(x − x_i) + d_i (2.12) Au contraire de l’interpolation polynomiale droite qui tend à avoir une distorsion près des bords, les Splines cubiques évitent ce problème mais la troisième dérivée est discontinue ce qui empêche son utilisation dans le cas des applications sensibles à la finesse des dérivées plus élevés que le deuxième degré (Nahavandchi & Soltanpour, 2006).

Une autre méthode utilisée est la collocation, (Moritz, 1980), qui a été expliquée en section 1.2.5, p. 44.

Les anomalies d’altitudes résiduelles sur les points de grille sont ensuite calculées à partir de la formule de Stokes (équation 1.23, p. 28) appliquée sur les anomalies résiduelles en ces points.

L’intégrale dans l’équation 1.23 doit théoriquement être évaluée sur toute la Terre. En pra-tique, la zone d’intégration est limitée autour du point de calcul. L’erreur de troncature peut être réduite par des modifications du noyau de Stokes soit déterministes soit stochastiques (Ellmann, 2004; Sjöberg, 2003).

2.1.4 Restauration

D’une manière similaire à la décomposition de champ perturbateur en trois parties, l’ano-malie d’altitude ζ, se décompose en :

ζ = ζM + ζRT + ζRes (2.13)

– ζ_M : partie issue du modèle de champ. ζ_M = ^{TM(r, θ, λ)} γ ⁼ GM rγ nXmax n=2 _a r ‹_n Xn m=0

P_n,m(cosθ)(4C_n,mcosmλ + 4S_n,msinmλ) (2.14) – ζ_RT : contribution du terrain résiduel.

ζ_RT = ^G γ ZZZ RT ρ dτ l ^(2.15)

– ζ_Res : partie résiduelle de l’anomalie d’altitude (cf. équation 1.23, p. 28). ζRes = ^R

4πγ Z

σ4gRes S(Ψ) dσ (2.16)

2.1.5 Implantations particulières

La méthode expliquée précédemment (figure 2.1, p. 54), demande de calculer les anoma-lies résiduelles aux points de mesures afin de les interpoler sur une grille régulière avant de les intégrer par Stokes. Cette approche est la plus utilisée (Duquenne, 2002; Valty & Duquenne, 2010; Valty et al., 2012; Jiang et al., 1996; Kiliçoğlu et al., 2011; Kamguia et al., 2007; Sri-nivas et al., 2012).

Certains auteurs ont privilégié une autre approche que la méthode classique. Ils consi-dèrent que, dans cette dernière, les anomalies résiduelles contiennent encore des hautes fré-quences. Ils ont choisi de faire l’interpolation avec une autre réduction du terrain (réduction de Bouguer simple ou complète). Les raisons d’utiliser les anomalies de Bouguer sont liées à leur propriété de construire une surface lisse adaptée pour l’interpolation et la prédiction et de réduire l’effet d’aliasing qui vient d’une couverture non homogène et non représentative des mesures gravi de la surface terrestre (Featherstone & Kirby, 2000; Goos et al., 2003; Amos & Featherstone, 2004).

Featherstone & Kirby (2000) proposent que les informations supplémentaires des MNT peuvent être exploitées afin d’avoir des anomalies calculées plus précises que celles calculées à partir des observations. Cette approche a été justifiée par le fait que les MNT sont, en général, moins concernés par les problèmes d’échantillonnage puisqu’ils servent à modéliser la topographie. En plus, l’emploi d’un MNT d’une résolution plus haute que les points de mesure gravimétrique donne une augmentation de la résolution de la grille d’anomalie de pesanteur résultante.

Ces auteurs ont comparé l’effet d’aliasing sur le calcul du géoïde en utilisant une grille de 6⁰× 60 en Australie. Ils ont trouvé une différence de l’ordre de 6 cm en hauteur du géoïde entre une grille dérivée des mesures gravimétrique et une grille reconstruite en utilisant les anomalies de Bouguer simple.

Au contraire, la procédure de calcul utilisant les anomalies de Bouguer complètes revient à calculer d’abord les corrections du terrain sur les points de mesure et les ajouter aux anomalies de Bouguer simple aux points de mesure avant de les interpoler vers les nœuds du MNT.

L’utilisation des anomalies de Bouguer simples et non pas complètes selon Featherstone & Kirby (2000) a deux raisons : (1) pour faire un calcul séquentiel et avoir les valeurs moyennes des anomalies à l’air libre. (2) pour éviter une étape supplémentaire d’échantillonnage : les corrections du terrain calculées par le MNT sont aussi données sur une grille régulière. Pour obtenir les corrections du terrain sur les points des mesures (grille irrégulière), ces corrections doivent être interpolées à ces points de mesures.

Figure 2.2 – Détails des étapes de (1) à (4) de la figure 2.1 dans le cas de l’utilisation des anomalies de Bouguer simples.

Mais d’un autre côté, si les corrections de terrain sont calculées avant l’interpolation et donc les anomalies de Bouguer complètes, les anomalies résultantes sont plus lisses que les anomalies de Bouguer simple. Pour cette raison Goos et al. (2003) ont fait une comparaison entre les anomalies de Bouguer simples et complètes pour la même zone d’étude.

La comparaison avec des points GPS nivelés a montré qu’il n’y a pas de différence signi-ficative entre les deux modèles de géoïde en utilisant soit les anomalies de Bouguer simples soit les anomalies de Bouguer complètes. Cependant, Janak & Vanröek (2005) ont utilisé les anomalies de Bouguer complètes et non pas simples à cause de la position de nombreuses

mesures gravimétriques qui se trouvent au sommet de la zone qui fait que les anomalies de Bouguer simples sont trop biaisées pour l’étape d’interpolation. La conclusion de Janak & Vanröek (2005) s’accorde avec celle de Amos & Featherstone (2004) qui proposent l’utilisation de l’anomalie de Bouguer complète dans les zones ou l’effet de la topographie est important. Nous montrons dans les figures 2.2 et 2.3 les étapes différentes de calcul d’un modèle du géoïde en utilisant les anomalies de Bouguer simples et complètes par rapport au calcul du géoïde par les anomalies résiduelles.

Figure 2.3 – Détails des étapes de (1) à (4) de la figure 2.1 dans le cas le cas de l’utilisation des anomalies de Bouguer complètes.

Une procédure de calcul du géoïde en utilisant les anomalies de Bouguer dans le contexte de la méthode R-C-R est expliquée par un exemple de calcul au service de géodésie et

nivel-lement de l’IGN dans la section 2.4 de ce chapitre.

2.2 Calcul de l’effet de la topographie

2.2.1 Le modèle du terrain résiduel (RTM)

Le modèle du terrain résiduel a été introduit par Forsberg (1984, 1993). Il représente la partie des résidus entre la surface de la topographie et une surface moyenne lisse de réfé-rence. Les masses topographiques qui se trouvent au-dessus de cette surface sont retirées et les masses au-dessous de cette surface sont remplies. Le principe est illustré dans la figure 2.4. La densité de la croûte est 2.67 g/cm3.

La surface de référence peut être obtenue soit par une fenêtre glissante, soit par un développement en en harmoniques sphériques d’un degré maximal n_max égal à celui du mo-dèle gépotentiel. En utilisant la réduction RTM nous avons l’avantage de ne pas prendre en compte les effets à grandes longueurs d’onde deux fois dans la procédure du calcul. Les effets du terrain par rapport au RTM diminuent en magnitude quand la résolution de la surface de référence augmente (Forsberg, 1984).

Figure 2.4 – Le modèle du terrain résiduel, (Forsberg, 1984).

L’attraction gravitationnelle de la topographie est donnée par l’expression plane 2.17 (Forsberg, 1994) :

δg_RT = 2πGρ(h − h_{ref )}− c (2.17)

avec :

– h est la hauteur du point P sur la surface topographique ; – c sont les corrections du terrain.

c(P ) = G ZZZ _h

hRef

ρ(P )(h − h_ref)

r3 dv (2.18)

où ρ(P ) est la constante de la densité des masses topographiques, h est la hauteur du point de calcul et r est la distance entre l’élément différentiel et le point de calcul.