Retrait-Calcul-Restauration
2.4 Exemple de calcul
2.4.1 Introduction
Nous allons donner un exemple de calcul d’un modèle de quasi-géoïde tel qu’il est mis en œuvre au Service de géodésie et nivellement (SGN) de l’Institut nationale de l’information géographique et forestière en montrant les données et logiciels utilisés et les étapes de calcul d’un modèle du quasi-géoïde.
2.4.2 Données utilisées
Figure 2.10 – Carte des anomalies à l’air libre.
Afin de calculer un modèle du quasi géoïde pour une zone située entre (2◦, 3◦) en longitude et (45◦, 46◦) en latitude, nous avons utilisé les données suivantes :
1- Un fichier de données gravimétrique : # φ λ H 4gAAL(anomalie à l’air libre). Ce fichier, fourni par le BGI et pré-traité par Duquenne (2007), contient 240000 points entre (−1◦ < λ < 7◦, 43◦ < φ < 49◦) afin de préparer un jeu de données pour tester les méthodes de calcul du quasi-géoïde ;
2- Un modèle du MNT fin qui couvre la zone de : (−9◦ < λ < 10◦, 40◦ < φ < 54◦) avec une résolution d’environ 30 m. À partir de ce modèle, les MNT filtré et dégradé, qui couvrent la zone de : (−1◦ < λ < 6◦, 44◦ < φ < 49◦), sont générés à l’aide des modules de la suite logicielle GRAVSOFT (Forsberg & Tscherning, 2003). Pour des raisons d’optimisation, ces données sont coupées en dalles de 1◦× 1◦
. Les différentes emprises des données sont illustrées dans la figure 2.11.
Figure 2.11 – Les différentes emprises pour les données disponibles et nécessaires. En vert : emprise souhaitée pour le QG. En rose : emprise données gravimétriques disponibles. En rouge : emprise grille anomalies résiduelles nécessaires. En gris : emprise MNT fin nécessaire.
2.4.3 Étapes de calcul
Un résumé des étapes de calcul est illustré dans la figure 2.2, p. 58.
(1-1) Calcul des anomalies de Bouguer simples aux points de mesures :
On calcule d’abord la correction de Bouguer en utilisant la suite GRAVSOFT en pre-nant les paramètres des deux rayons : R1 = 6.7 km, R2 = 120 km. Puis, on calcule l’anomalie de Bouguer comme la différence entre l’anomalie à l’air libre 4g , figure
2.10, et la correction de Bouguer AB :
4gB = 4g − AB (2.28)
La correction de Bouguer est calculée en utilisant une densité de 2.67 g/cm3 :
AB = 0.1119 h mGal (2.29)
Figure 2.12 – Carte des anomalies de Bouguer.
Units en (mGal) Min Max Mean Median Std 4gAAL -87.89 120.71 1.46 -2.26 18.71
CorrBouguer -0.69 178.53 29.18 22.78 22.77
4gBouguer -131.86 11.04 -27.72 -26.66 14.01
Table 2.2 – Statistiques des anomalies à l’air libre, correction de Bouguer et anomalies de Bouguer sur les points de mesure.
La carte des anomalies de Bouguer aux points de mesure et ses statistiques sont mon-trées dans le tableau 2.2 et la figure 2.12. On trouve sur cette carte des artefacts qui peuvent être liés à la chaîne logicielle utilisée dans cette section et plus précisément à la gestion des fichiers des données. Ce calcul a été effectué sur des dalles du MNT d’une taille (1◦ × 1◦) en raison d’optimisation du calcul. Les artefacts présentés sur la carte sont localisés sur les limites de certaines dalles. Ces artefacts ne vont pas influencer à priori le calcul dans les étapes suivantes. Si l’on compare la carte des anomalies de
Bouguer avec celle-ci publié par le BRGM sur la même zone, on retrouve les mêmes ordres de grandeur des anomalies de Bouguer et une distribution similaire.
(1-2) Interpolation des anomalies de Bouguer :
Afin d’interpoler les anomalies vers une grille régulière, on utilise l’interpolation par krigeage qui fonctionne sur le même principe que la collocation, section 1.2.5. Les diffé-rentes classes de points sont ajustées par une simple droite. La fonction de covariance adoptée ici est une fonction qui varie linéairement avec la distance de façon à être quasi nulle à 300 km.
(1-3) Calcul des anomalies à l’air libre aux nœuds de la grille :
On calcule la correction de Bouguer avec les mêmes paramètres de logiciel Tc précé-dents, puis on retire la correction de Bouguer de l’anomalie de Bouguer afin de recons-truire les anomalies à l’air libre aux nœuds de la grille.
(1-4) Calcul de la correction de terrain résiduel aux nœuds de la grille :
On calcule pour chaque dalle la correction de terrain résiduel. On utilise le logiciel Tc. Les rayons d’intégration de la topographie sont pris comme R1 = 6.7 km et R2 = 120 km.
La carte des corrections du terrain est montrée sur la figure 2.13 avec les statistiques sur les anomalies à l’air libre reconstruites et les corrections de terrain calculées au tableau 2.3.
Units en (mGal) Min Max Mean Median Std 4gAAL -0.89 224.38 33.07 22.66 30.01 TC -125.43 106.59 -0.87 -0.71 13.11
Table 2.3 – Statistiques des anomalies à l’air libre après l’interpolation et les corrections de terrain sur les nœuds de la grille d’anomalies.
La correction de terrain résiduel peut surprendre par son amplitude de ±100 mGal et son signe positif ou négatif contrairement à la correction de terrain de Bouguer qui est toujours de même signe et d’amplitude plus faible.
C’est une correction de nature différente. Elle vise à enlever les hautes fréquences telles qu’elles sont vues par le satellite et modélisées dans les modèles globaux. Il faut la com-prendre comme une correction de l’attraction du terrain résiduel en altitude prolongée ensuite harmoniquement au niveau du sol.
Figure 2.14 – Calcul d correction du terrain dans le cas du :a)- Correction du terrain résiduel, b)- Correction du terrain du Bouguer .
La figure 2.14 illustre cette différence. La correction du Bouguer est toujours de même signe parce que le plateau est déplacé avec les points mais dans le cas du terrain ré-siduel, le terrain moyen ne bouge pas avec le point, c’est le point qui bouge avec la topographie.
Concernant les amplitudes, dans la correction de Bouguer, les masses importantes sont loin du point de calcul et il n’y a pas de masses sur ou sous le point, ce qui conduit à des amplitudes plus petites de l’attraction du terrain, contrairement au cas du terrain résiduel, où on a des masses importantes sous le point de calcul et donc des amplitudes plus fortes.
(2) Calcul de l’anomalie du modèle de champ :
On utilise un modèle combiné (spatial/sol) déterminé au SGN jusqu’au degré et ordre 360 afin de calculer les anomalies gravimétriques du champ global (figure 2.15).
Figure 2.15 – Carte des anomalies du modèle global du champ.
(3) Calcul des anomalies résiduelles
(5) Intégration de Stokes
(6,7) Restauration du modèle de champ et du terrain
(8) Calcul des anomalies d’altitude du quasi-géoïde
Units en (m) Min Max Mean Median Std ζRT -0.16 0.093 -0.059 -0.067 0.049 ζRes 5.87 8.28 6.93 6.90 0.61 ζGGM 46.84 49.67 48.20 48.11 0.68 ζQG 52.66 57.87 55.08 54.98 1.28
Figure 2.16 – Carte des anomalies d’altitudes du quasi géoïde (en bas à droite), résultat des trois composantes (ζM + ζRT + ζRes).
2.5 Conclusion
La méthode R-C-R procède schématiquement en trois étapes : • le retrait des modèles connus ;
• l’interpolation et l’intégration des anomalies gravimétriques résiduelles ; • la restauration des modèles connus.
Ces trois étapes sont cependant contrôlés par de nombreuses paramètres et choix de mé-thodes :
• choix de la méthodologie et des paramètres de calcul des corrections du terrain ; • choix de la méthode d’interpolation ;
• choix d’interpoler les anomalies résiduelles ou les anomalies de Bouguer qui dépend de l’auteur ; les anomalies résiduelles sont le plus souvent utilisées dans le calcul du géoïde mais dans des calculs opérationnels, on utilise quelquefois les anomalies de Bouguer ; • choix du noyau d’intégration de Stokes et des paramètres de son calcul numérique
(rayon d’intégration, échantillonnage).
Dans l’exemple que nous avons mis en œuvre suivant la méthodologie adoptée par l’IGN, l’intérêt d’une interpolation des anomalies de Bouguer n’est pas évident. Sur la zone traitée (moyenne montagne), les anomalies de Bouguer (2.2, p. 58) ont un écart-type de 15 mGal (tableau 2.2) alors que les anomalies résiduelles (figure 2.1, p. 54) ont un écart-type de 10 mGal.
Nous allons donner dans le chapitre suivant les sources d’erreurs dans la méthode de Retrait-Restauration dans chaque étape de calcul afin de conclure quels paramètres étudier explicitement dans les chapitres suivants de la thèse.