Données et logiciels Nous utilisons :Nous utilisons :

• le modèle EGM2008 pour générer les données synthétiques ;

• le modèle numérique du terrain ETOPO5 (Edwards, 1988) d’une résolution de 50; • le logiciel stokes de la suite logicielle GRAVSOFT est utilisé pour calculer l’intégrale

de Stokes.

Nous choisissons trois zones d’une taille 1^◦ × 1^◦ en France. Ces zones ont des caracté-ristiques de topographie différentes : une zone de plaine, une zone semi-montagneuse et une zone montagneuse afin de tester l’influence de la topographie sur le choix des paramètres. Nous avons aussi choisi une zone sur l’équateur qui nous permet de faire des calculs avec des rayons de Stokes plus grands que les zones de France.

5.4 Principaux résultats

5.4.1 Résolution de la grille d’anomalies

Nous avons testé différentes valeurs de la résolution de la grille de 0.05^◦ à 0.5^◦ avec un rayon d’intégration de 2^◦. Les calculs s’effectuent sur différentes gammes de fréquence entre les degrés 200 et 2000.

Dans la figure 3 (section 5.6), nous trouvons que pour tous les degrés, quand le pas de la grille diminue, la précision s’améliore jusqu’à un pas limite. Nous notons aussi que quand la théorie d’échantillonnage est respectée, nous avons une précision suffisante.

La dégradation des pas entre 0.005^◦ et 0.075^◦ ne change pas la précision d’une manière significative. Pour les tests sur le rayon de Stokes, nous fixons le pas de la grille à 0.05^◦.

5.4.2 Rayon d’intégration de Stokes

Comme mentionné au début de ce chapitre, le choix du rayon dépend du degré du modèle géopotentiel. Les études précédentes ont utilisé des modèles jusqu’au degré 180.

Nous montrons dans la figure 5 (section 5.6), pour différent n_maxde EGM2008, l’évolution de l’erreur moyenne quadratique en fonction du rayon de Stokes. Contrairement aux études précédentes, la précision s’améliore quand nous prenons un rayon de 2^◦ mais la position du premier minimum est en accord avec ces études.

Nous montrons aussi dans la figure 7 (section 5.6), la comparaison des rayons selon l’écart-type pour des rayons allant jusqu’à 6^◦. Nous notons que dans ces zones la valeur de l’erreur est importante pour les degrés bas, jusqu’au degré 600. L’intégration avec un rayon de 2^◦ apporte une amélioration de la précision dans les différentes zones.

Nous comparons aussi les résultats selon l’erreur relative de la différence entre les hauteurs du modèle EGM2008 et les hauteurs calculées dans la figure 8 (section 5.6).

Nous notons que la précision relative augmente avec la rayon d’intégration à partir du degré 600. La précision de la fonction standard de Stokes ne peut être meilleure qu’environ 10% de l’écart type du géoïde résiduel.

5.4.3 Tests supplémentaires

Dans l’étude publiée, nous avons choisi trois zones situées en France afin de tester les paramètres de la phase d’intégration. Ces zones nous permettent de faire les tests sur le rayon d’intégration jusqu’à une valeur limitée à quelques degrés en raison des logiciels utilisés, qui ne s’affranchissent pas de la singularité des coordonnées aux pôles. Pour vérifier la convergence de l’intégrale quand le rayon d’intégration grandit, nous avons fait le même calcul pour une zone située à l’équateur (figure 5.1). Le logiciel utilisé permet de calculer jusqu’à un rayon d’intégration de presque 90^◦

Figure 5.1 – La test zone sur l’Équateur.

En utilisant les bandes de fréquences (200 − 360^◦) du modèle global EGM2008 et en suivant la même procédure de calcul que dans la section précédente, nous avons testé des valeurs du rayon d’intégration jusqu’à 60^◦ pour trois valeurs du pas d’échantillonnage. La figure 5.2 représente le résultat de ce test. Nous constatons que la résolution de 0.5^◦ n’est pas suffisante. En ce qui concerne le comportement du rayon d’intégration, les erreurs diminuent au-delà de la valeur de 6^◦, testée précédemment. Afin d’avoir une précision de 1 cm sur le calcul du géoïde avec la fonction standard de Stokes, il faut prendre un rayon supérieur à 20^◦. Cette valeur n’est pas réaliste en pratique. Ce test montre que les résultats obtenus ne sont pas dominés par les erreurs numériques d’intégration.

Figure 5.2 – Écarts-types de la différence des hauteurs du géoïde (en m) en utilisant la fonction standard de Stokes selon le rayon d’intégration de Stokes dans la zone test située à l’équateur. Les couleurs représentent trois pas d’échantillonnage.

5.5 Conclusion

La résolution de la grille d’anomalies résiduelles n’affecte pas la précision à moins qu’elle soit inférieure à la valeur suggérée par la théorie de l’échantillonnage. Le choix d’un rayon de Stokes en dessous de 1^◦ ne suffit pas pour avoir la précision voulue. Le choix du rayon d’intégration dépend fortement des propriétés du terrain.

Nous avons aussi vérifié le comportement des erreurs relatives en fonction du rayon d’in-tégration et nous avons trouvé que la précision relative des degrés supérieur à 600 s’améliore quand on augmente le rayon d’intégration. Dans toutes les bandes de fréquence, l’erreur minimale est supérieur à 10% de l’énergie du signal. Ce taux donne un estimateur d’une borne inférieure de l’erreur d’intégration. Par exemple, dans un modèle de géoïde calculé sur l’Auvergne par Duquenne (2007), qui correspond à la deuxième zone de l’étude publiée, l’écart-type des hauteurs résiduelles a été estimé à 11 cm. Selon le résultat que nous avons trouvé, la meilleure précision de l’intégrale de Stokes standard que nous pouvons atteindre ne peut être meilleure que 1.1 cm.

Nous avons aussi vérifié en faisant le test avec un grand rayon que l’aplatissement de la Terre n’a pas d’effet sur les conclusions, puisque l’intégrale converge quand le rayon aug-mente. Le degré n_max de coupure du modèle spatial n’a pas d’influence.

Nous avons trouvé aussi que la qualité du modèle géopotentiel ne joue pas sur les résultats en testant trois modèles globaux OSU 81, EGM 96 et EGM 2008.

Les conclusions précédentes sont issues de calculs sur une grille synthétique parfaitement interpolée. Dans le cas des données réelles, l’erreur totale sera dominée par d’autres phéno-mènes comme le manque de données. Nous ne nous attendons donc pas à être en accord avec les études utilisant des données réelles mais cette étude permet d’avoir une borne inférieure

5.6 Accuracy of unmodified Stokes’s integration in the