Interféromètre de Sagnac

2.2.1 Description de l’interféromètre

CHAPITRE 2. CHOIX DE L’INTERFÉROMÈTRE

pression de la translation entre les deux voies de sortie de l’interféromètre, en supposant que les deux miroirs et la séparatrice composant l’interféromètre sont tous perpendiculaires au même plan4. En effet, si on note A l’arête commune des deux miroirs, A0 son symétrique par rapport à la séparatrice, et θ l’angle entre ces deux miroirs, un rayon passant par la voie 1 (se reporter à la figure 2.3) traverse deux fois la séparatrice, supposée infiniment mince, et entre ces deux traversées subit une réflexion sur le miroir 1 puis sur le miroir 2, ce qui revient à une rotation de centre A et d’angle 2θ, et que l’on peut noter symboliquement par :

voie 1 : T1= rotA,2θ

Le rayon passant par la voie 2 est lui d’abord réfléchi une première fois par la séparatrice (il subit donc une symétrie d’axe ∆), et vient ensuite frapper le miroir 2 puis le miroir 1, avant d’être de nouveau réfléchi par la séparatrice. La transformation géométrique T2 qui lie le

rayon incident à ce rayon sortant par la voie 2 est donc :

voie 2 : T2= sym∆◦ rotA,−2θ◦ sym∆

Comme rot_A,−2θ◦ sym_∆= sym∆◦ rotA0_,2θ, T₂ est tout simplement égale à une rotation de

centre A0 et d’angle 2θ.

Le rayon issu de la voie 2 se déduit donc de celui issu de la voie 1 par la transformation T :

T = T₂◦ T₁−1 = rotA0_,2θ◦ rot_A,−2θ

Or on a : rotA0_,2θ= ~t rot2θ −−→ A0A−−−→A0A◦ rotA,2θ donc : T = ~t rot2θ −−→ A0A−−−→A0A= ~t2 sin(θ)·rotθ+ π₂ −−→ A0A (2.1)

On retrouve bien que l’effet de l’interféromètre est d’introduire une translation entre les deux voies de sortie. Plus précisément, on en déduit que :

– une rotation des miroirs autour de leur arête commune n’affecte pas les franges ; – une translation de la séparatrice ne modifie pas l’axe de la translation, mais seulement

son importance : la position de la frange centrale est donc inchangée, mais l’interfrange peut être réglé de la sorte ;

– une rotation de la séparatrice autour de l’arête commune des miroirs ne modifie pas le pas des franges (la distance |AA0| reste identique), mais change la direction de la translation, donc celle de la frange centrale.

2.2.2 Encombrement

Si la robustesse est une qualité de l’interféromètre de Sagnac, son volume est par contre un défaut majeur, ce qui se comprend en observant sur la figure 2.3 que les rayons ont une faible incidence sur la séparatrice, ce qui oblige à la prendre grande, et que, si on voulait réduire cette incidence, il faudrait alors écarter démesurément les miroirs l’un de l’autre pour que le faisceau, dans son trajet entre ces deux miroirs, passe librement sans traverser la séparatrice. La disposition des pièces optiques n’est pas anodine, et il en existe une minimisant le volume de l’interféromètre. C’est cette géométrie optimale que nous nous proposons de déterminer, sous les hypothèses suivantes :

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– on travaille uniquement dans un plan, perpendiculaire aux miroirs et à la séparatrice ; – le faisceau est défini par le diamètre d de la pupille et par le demi-angle de champ α

(voir la figure 2.4) ;

– la position de la pupille est libre ;

– on se place dans une configuration où les deux voies de sortie sont superposées (autre- ment dit, la translation entre les deux rayons sortants est nulle, ce qui revient à placer l’intersection A des miroirs dans le prolongement de la séparatrice) ;

– on ne prend pas en compte les supports des pièces optiques, et la séparatrice est infiniment mince ;

– on cherche la géométrie qui, sans introduire de vignettage, minimise la taille de la séparatrice, celle-ci étant à la fois la surface d’entrée et de sortie de l’interféromètre, donc imposant le volume de ce dernier5.

Fig. 2.4 – Modèle de faisceau utilisé

Afin de déterminer cette géométrie optimale, il est plus commode de travailler avec le schéma déplié de l’interféromètre, tel qu’il apparaît sur la figure 2.5.

Pour des raisons de symétrie, la meilleure position de la pupille est quand elle est placée dans le plan de ∆0, à égale distance de l’entrée et de la sortie de l’interféromètre. On voit alors sur la figure que, pour réduire la taille de la séparatrice, il faut diminuer au maximum l’angle θ, ce qui peut être fait jusqu’à ce que P , P0 et P00 viennent effleurer la trace du faisceau, comme le montre la figure 2.5. En suivant toujours ce schéma, on peut écrire6

AP − d = AP cos θ + (AP sin θ) tan α et7 (s + AP ) sin π 2 − θ − α  = AP cos α d’où s = d 1 − cos θ − sin θ ·  cos α cos (θ + α)− 1 

Grâce à cette équation, nous sommes donc en mesure d’estimer le diamètre minimal s de la séparatrice lorsque les paramètres d, α et θ sont fixés : c’est ce qui est représenté sur la figure 2.6, où d varie avec α selon l’équation 2.2, afin de maintenir constante l’étendue géométrique G qu’aurait un faisceau à symétrie circulaire.

G = (π sin α · d/2)2 (2.2)

À étendue géométrique fixée, la géométrie optimale aboutit à un diamètre de la sépa- ratrice de 15, 2√G, cette géométrie correspondant à un demi-angle de champ d’environ 8˚, et à un angle entre les miroirs d’environ 43˚, ce qui est très proche de la configuration

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on cherche donc le champ de pleine lumière, ce qui nous paraît plus pertinent que de rechercher le champ total, comme le font Sellar et Rafert (2003)

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à angle droit de l’interféromètre de Sagnac, quand les rayons incident et émergents sont perpendiculaires.

Fig. 2.5 – Schémas déplié et replié de l’interféromètre de Sagnac, et avec empreinte du faisceau dans sa géométrie optimale pour d et α fixés

Fig. 2.6 – Diamètre de la séparatrice (en unité de longueur) d’un interféromètre de Sagnac en fonction de α et de θ, pour une étendue géométrique de faisceau égale à 1 dans l’unité de surface correspondante

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