Le dephasage induit par les phonons dans les materiaux massifs, dans les puits quantiques ainsi que dans les ls est maintenant bien connu [38]. Nous allons rappeler ici comment il se manifeste dans le cas d'un con nement bidimensionnel.
2.4.1 Interaction electron-phonon
A temperature nie, les noyaux ne sont pas ges aux noeuds du reseau cristallin. Du fait de la periodicite du cristal, le mouvement des noyaux autour de leur position d'equilibre se decompose sur des modes collectifs de vibration: les phonons. Dans les semiconducteurs de type GaAs, il existe trois branches de dispersion acoustiques, et, du fait de la presence de deux atomes par maille, trois branches de dispersion optiques. Les branches de dispersion acoustiques sont lineaires aux petits vecteurs d'onde ~q: EA(~q) = hvsq, ou EA est l'energie
du phonon acoustique et vs la vitesse du son dans le semiconducteur. Les
phonons optiques, quant a eux, ont une faible dispersion, ils sont pratiquement monochromatiquesEO(~q)Cte, en particulier dans GaAs EO(~q)36 meV [39].
Les interactions electron-phonon sont analysees en terme d'absorption et d'emission de phonons. On ne tiendra compte que des processus elementaires ne faisant intervenir qu'un seul phonon. Ces processus se font avec conservation de l'energie et du vecteur d'onde:
E(~k0) = E(~k)
E(~q) (2.4.1)
~k0 = ~k
~q (2.4.2)
Le terme comportant le signe + correspond a l'emission d'un phonon, celui avec le signe; a l'absorption d'un phonon. Le taux de di usion des electrons par ces
processus ( ph) et donc l'elargissement ( ph) qui en resulte peuvent ^etre calcules
par la regle d'or de Fermi (il y a en e et un continuum d'etats electroniques): ph h = 1ph = 2h X f j<fjHe ;ph ji>j 2(E f ;Ei) (2.4.3)
ou He;ph represente l'hamiltonien de couplage electron-phonon, i l'etat initial
et f l'etat nal. Il reste maintenant a determiner la forme de He;ph pour les
phonons acoustiques et optiques. Dans le formalisme de la seconde quanti cation, cet hamiltonien peut s'ecrire [40]:
He;ph = X ~k~qM~k~q(a + ;~q+a~q)c + ~k+~qc~k (2.4.4)
2 .4. INTERACTION AVEC LES PHONONS DANS LES SYST
EMES 2 D 29
oua et a+sont les operateurs annihilation et creation de phonons, etc et c+ sont
ceux pour les electrons, ~k est le vecteur d'onde de l'electron, ~q celui du phonon et le spin de l'electron. Dans cet hamiltonien, le terme en a+ correspond a
l'emission d'un phonon, celui en a a l'absorption. Si on s'interesse au taux de di usion d'un etatji> vers un etat jf > d^u a:
1. l'absorption d'un phonon de vecteur d'onde ~q, l'element de matrice inter- venant dans l'expression du taux de di usion est de la forme:
<n~k+~q + 1;n~k ;1;n~q;1jc + ~k+~qc~ka~q jn~k +~q;n~k;n~q> = q (1;n~k +~q)n~kn~q (2.4.5) 2. l'emission d'un phonon de vecteur d'onde ;~q, l'element de matrice est de
la forme: <n~k+~q+ 1;n~k ;1;n ;~q + 1 jc + ~k+~qc~ka + ;~q jn~k +~q;n~k;n ;~q> = q (1;n~k +~q)n~k(n ;~q+ 1) (2.4.6) Ces processus ont e ectivement lieu si l'etat de departjn~k> est occupe et si l'etat
d'arrivee jn~k
+~q> est vide c'est a dire que les elements de matrice ci-dessus sont
nuls sauf si n~k = 1 et n~k+~q = 0. Il en resulte que l'elargissement d^u a l'absorption
de phonons de vecteur d'onde~q, aq, et celui d^u a l'emission eq sont de la forme: aq / nq(T) (2.4.7)
eq / nq(T) + 1 (2.4.8)
ou nq(T) est le facteur d'occupation des phonons de vecteur d'onde ~q a la
temperatureT. Les phonons etant des bosons, ce facteur est de la forme: nq(T) = exp(h!1
q
kT );1
(2.4.9) Pour determiner la forme complete de l'hamiltonien de couplage electron- phonon, il faut regarder en detail la maniere dont ils se couplent.
2.4.2 Phonons acoustiques
Les modes de vibrations acoustiques correspondent a une contrainte du cristal: dans une maille, les deux atomes de la maille se deplacent dans le m^eme sens, c'est un e et principalement inter-site. L'interaction electron-phonon peut ^etre decrite par couplage piezoelectrique (une contrainte du cristal cree un champ electrique) ainsi que par un potentiel de deformation (la deformation du cristal change la structure de bande du cristal) [41]. Dans GaAs et InAs, il appara^t que le potentiel de deformation est preponderant. L'expression du hamiltonien fait
30 CHAPITRE 2 . LES BOITES QUANTIQUES INAS/GAAS 0 1 2 3 0 50 100 150 200 γ ph (meV) Température (K) Phonons LA Phonons LO
Figure 2.4.1: Elargissement des transitions par couplage aux phonons (a = 5
eV/K et b = 15 meV). A basse temperature elargissement lineaire d^u aux phonons LA, haute temperature elargissement exponentiel d^u aux phonons LO.
alors intervenir un terme en ~q:~ej ou ~q est le vecteur d'onde du phonon et ~ej le
deplacement de l'atome j [40]. Ce terme est nul pour les phonons transverses. Seuls les phonons longitudinaux ont donc une contribution au couplage electron- phonon. Pour les phonons acoustiques longitudinaux,< h!LA > 1 meV ce qui
correspond a une temperature d'environ 10 K. Le facteur de Bose peut donc ^etre linearise au-dessus de 10 K: n(T) kT=h!LA. L'elargissement d^u aux phonons
acoustiques est donc lineaire en temperature pour T > 10K:
LA =aT (2.4.10)
Pour les puits quantiques GaAs=AlxGa1;xAs et InxGa1;xAs=GaAs, a est typi-
2 .5. CONS EQUENCES DE LA DISCR ETISATION 31
2.4.3 Phonons optiques
Les modes de vibrations optiques correspondent au deplacement des deux atomes d'une maille en opposition de phase. C'est un e et principalement intra- site qui intervient lorsque la maille contient deux types d'atomes. Du fait de l'ionicite de la liaison, le deplacement des deux atomes de la maille cree un dip^ole qui rayonne un champ electrique. Et ce champ interagit avec les electrons via le couplage de Frohlich. Il appara^t de la m^eme maniere que pour les phonons acoustiques, que seuls les phonons optiques longitudinaux interviennent dans ce processus. Pour les phonons optiques longitudinaux du GaAs par exemple, < h!LO > 36 meV, ce qui correspond a une temperature d'environ 430 K.
Cette fois on peut negliger 1 devant l'exponentielle dans l'expression du facteur d'occupation des phonons. Il reste alors n(T) e
;(h! LO=kT
). L'elargissement d^u
aux phonons optiques est donc de la forme: LO =be;
h!
LO
k T (2.4.11)
Pour les puits quantiques GaAs=AlxGa1;xAs et InxGa1;xAs=GaAs, b est typi-
quement de l'ordre de 10 a 20 meV [42,45{47].
Sur la gure 2.4.1 est simule cet elargissement des transitions par couplage aux phonons. Les valeurs de a et b choisies sont: a = 5eV/K et b = 15 meV. On observe qu'a basse temperature ce sont essentiellement les phonons acoustiques qui jouent un r^ole, l'elargissement par les phonons est donc lineaire en temperature dans le domaine 10 a 40 K. Puis, vers 50 K, ce sont les phonons optiques qui predominent et l'elargissement varie de facon exponentielle avec la temperature [48].