Os referidos autores formularam um modelo para estimar o comportamento dos processos de erosão sobre os ‘headcuts’ de voçorocas. Tomando-se como base que o ‘headcut’ recua ao longo de uma encosta devido a difusão da energia do fluxo localizado em uma estrutura turbulenta da parte baixa da parede (Figura 7). O grau de difusão é dependente de vários fatores, como a velocidade do fluxo central, o qual por sua vez depende das condições do fluxo da borda, altura ‘headcut’ e forma da estrutura turbulenta do ‘headcut’ (poça). Ainda, este modelo pressupõe que, enquanto que o ‘headcut’ (cabeceira) da voçoroca dirige-se a montante da encosta, a forma da estrutura turbulenta do ‘headcut’ permanece constante. Isto implica que o material produzido pelo ‘headcut’ é depositado na extremidade a jusante para manter a forma da estrutura turbulenta do ‘headcut’ constante.
O modelo estima a taxa de incisão do ‘headcut’ de uma voçoroca em uma determinada encosta, em virtude das condições do escoamento e outras condições do ambiente físico. Sendo importante para a contribuição para estudos de formação de paisagem.
A taxa de incisão do ‘headcut’ 𝑑X
𝑑𝑡 é modelada em função da taxa de aprofundamento 𝑑D
𝑑𝑡 vertical da poça dividida pelo fator de forma Sf , conforme a equação:
𝑑X 𝑑𝑡
=
1 𝑆𝑓 𝑑D 𝑑𝑡(40)
em que X é o comprimento do incisão horizontal, t é o tempo. O fator de forma Sf (figura 7) é a relação entre a profundidade da poça (D) e a metade do comprimento da poça (Xm):
𝑆
𝑓=
DEsta relação depende da classificação textural do solo, variando entre 0 e 1.
Figura 7 - Processo de expansão longitudinal dos canais de voçorocas ao longo de encostas por meio da difusão da energia do escoamento das poças localizadas na base dos ‘headcuts’. Adptado de Flores-Cervantes et al. (2006)
A taxa de aprofundamento é estimada em função da tensão máxima de cisalhamento produzida no fundo da poça (τ), e da tensão crítica de cisalhamento (τc), conforme Stein et al. (1993) conforme a equação a seguir:
𝑑D
𝑑𝑡
= k(τ − τ
c)
p
, 𝜏 > 𝜏
𝑐
(42)
onde k é a erodibilidade, τc é a tensão crítica de cisalhamento do solo, e p é um expoente empírico (0 – 1), normalmente é aplicado 1 para solos de caráter coesivo.
A tensão de cisalhamento na parte inferior da estrutura turbulenta do ‘headcut’ é causada por uma descarga de queda líquida de estado constante do ‘headcut’ (figura 7). O autor adotou uma abordagem baseada em Alonso et al. (2002), Stein et al. (1993), e Stein e Julien (1994), para calcular essa tensão. Sendo o resultado de um coeficiente de fricção e da velocidade de escoamento no fundo da estrutura turbulenta do ‘headcut’:
em que Cf é o coeficiente de fricção, D é a densidade da água, e Vfundo é a velocidade máxima do fluxo produzido pela colisão do fluxo na poça inferior ao ‘headcut’. O coeficiente de fricção pode ser obtido pela seguinte expressão:
C
f= 0.025 (
vq
)
0.2(44) onde q é a descarga da borda do ‘headcut’ por unidade de largura, e ν é a viscosidade cinemática da água.
A velocidade no fundo é produto da velocidade do fluxo que incide na poça da base do ‘headcut’, com um nível de difusão orientado pela turbulência, e em alguns casos ocorre a proliferação de energia em todo corpo de água acumulado na base do ‘headcut’ (figura 7). A velocidade do fluxo permanece constante e igual a velocidade da poça, ao longo da linha central do fluxo, para uma distância (Jp), numa zona conhecida como o núcleo potencial (STEIN et al.1993). O fluxo de água possui uma espessura inicial, entra na estrutura turbulenta do ‘headcut’ tem um ângulo quase uniforme. Os fluxos livres, não afetados por um limite, se espalham lateralmente e difundem-se ao longo do fluido em vórtice turbulento, diminuindo na velocidade média.
Os autores classificam o fluxo na estrutura turbulenta do ‘headcut’ (poça) em “não estado de difusão” e “estado de difusão”. Quando a distância do eixo do fluxo (J), que é entre o ponto de colisão na superfície do espaçamento formado dentro do headcut e o ponto em que incide na parte inferior da poça do ‘headcut’ é menor do que o fluxo potencial (Jp), ou seja, quando o núcleo potencial atinge o fundo da estrutura turbulenta do ‘headcut’, significa que nenhuma difusão ocorre quando a lamina de escoamento incide do topo para o fundo da estrutura turbulenta do ‘headcut’. Então, a velocidade do fluxo no fundo da poça (Vfundo) é igual à velocidade na superfície da estrutura turbulenta do ‘headcut’ (Vpoça). Esta condição na poça é denominada de estado de não difusão. Contudo, quando J é maior do que Jp, a velocidade do fluxo ao longo do fluxo central é reduzida por difusão, e esta condição é denominada de estado de difusão. Sendo assim, com base nessas condições os autores expressam Vfundo como:
não difusão 𝑉𝑓𝑢𝑛𝑑𝑜 = 𝑉𝑝𝑜ç𝑎 , 𝐽 ≤ 𝐽𝑝
(45)
onde 𝑦𝑝 é a espessura do fluxo quando o mesmo incide na poça, Cd é o coeficiente de difusão (STEIN et al., 1993), que varia entre 2,5 a 2,72. A espessura da lâmina do escoamento no espaçamento da poça é encontrada pela seguinte expressão:
𝑦
𝑝=
𝑞𝑉𝑝𝑜ç𝑎 (47)
Para a determinação do comprimento alcançado pelo fluxo incidente de água na poça, usa-se a geometria da mesma e o ângulo de contato do fluxo com a poça em relação a um plano horizontal, β, como:
J =
Dsen β (48)
J
p= C
d2y
poça (49)em que D é a profundidade da poça. Sendo assim, obtida uma vez que a velocidade de fluxo na borda (Vborda) do ‘headcut’ é conhecida. A distância horizontal de ‘headcut’ ao ponto mais profundo da piscina (Xm) é igual a distância horizontal desde o ‘headcut’ ao ponto em que o fluxo entra em contato com a superfície da poça (Xp). Podendo ser calculado por:
D = S
fX
p= S
fV
borda√
2Hg (50)onde Vborda é a velocidade do fluxo na borda do ‘headcut’, H é a altura ‘headcut’, e g é a aceleração da gravidade.
Ao assumir as condições citadas pelos autores do modelo, a tensão de cisalhamento pode ser reescrita, como:
τ = C
fD V
poça2 (51)τ = [
Cd2 ypoça senβD
] C
fD V
poça2 (52)
a primeira equação é utilizada para a condição J ≤ Jp, isto é, para um estado de não difusão, e a segunda equação é para a condição de J > Jp, um estado de difusão. Na segunda equação de tensão de cisalhamento, a parte entre parênteses representa o grau de difusão na poça, sendo sempre menor do que 1. Nessa lógica, quanto maior o grau de difusão da tensão de cisalhamento maior a velocidade de incisão.
A velocidade da poça, muitas vezes é influenciada por pressões atmosféricas. Portanto, podendo ser obtida por meio da análise dos seus vetores como componentes:
V
poça=
Vbordacos β (53)
em que β é o ângulo de contato resultante da colisão entre o fluxo e a poça de imersão em relação a um plano horizontal:
β = arc tan
√2gHVborda (54)
Segundo os referidos autores, a velocidade da estrutura turbulenta do ‘headcut’ é controlada pela velocidade da borda do ‘headcut’ (Vborda). A tensão de cisalhamento (𝜏) e profundidade da estrutura turbulenta do ‘headcut’(D), além do ângulo de β, são expressos em função da velocidade da borda (Vborda). A velocidade da borda representa o fluxo acelerado no topo do ‘headcut’ como o fluxo se aproxima da superfície da estrutura turbulenta do ‘headcut’, em queda livre, a uma distância maior que a do fluxo do fundo (ALONSO et al., 2002; HAGER, 1983; STEIN; JULIEN, 1993).
A velocidade da borda depende do regime do fluxo antes da aceleração em queda livre, sendo esse regime de fluxo calculada de acordo com o Número de Froude:
F
r=
Vn√ghn (55)
em que Vn é a velocidade de fluxo normal, antes de entrar na região de fluxo acelerado, e hn é a profundidade de fluxo normal, sendo expresso pela seguinte equação:
h
n=
qVn (56)
e a velocidade do fluxo normal a montante da borda é calculada usando a expressão:
V
n= n
−0.6q
0.4S
0.3 (57)em que n é a rugosidade obtida pela equação de Manning’s, q é vazão, e S a declividade. Para os fluxos subcríticos, Froude (Fr) < 1, quando os fluxos são mais profundos e lentos a mudança do regime, é apenas uma função da descarga líquida de unidade da borda. Quando Fr > 1, fluxo supercrítico, que corresponde a mais rápida e menos profundas fluxos, a
velocidade da borda é uma função tanto da velocidade do escoamento superficial quanto do Número de Froude:
V
borda=
√qg 3 0.715Fr < 1
(58) Vborda = VnFr2+0.4 Fr2 = q0.4 S0.3 n0.6 (1 + 0.4n0.5 g0.5 q0.1S0.45 ) 𝐹𝑟 > 1 (59)Portanto, nesse o modelo, a velocidade de incisão do ‘headcut’ está ligada com o grau de difusão da velocidade do fluxo central, o qual depende das condições do fluxo da borda, altura ‘headcut’ e forma da estrutura turbulenta do ‘headcut’, sendo assim, quanto maior for o grau de difusão menor a taxa de incisão.