2. ESTIMATION FIABILISTE DE LA DUREE DE VIE DES BETONS PAR LES ESSAIS
2.5. Estimation Bayésienne
2.5.2. Information a priori
Avant de commencer à appliquer l’estimation bayésienne, il faut faire le choix de la distribution a priori à utiliser. Ce choix est basé sur la connaissance que l’on a sur les paramètres étudiés ainsi que les incertitudes qui les entourent. La connaissance disponible permet de définir la distribution de l’a priori. Lorsque l’on dispose d’une connaissance faible sur les paramètres, l’a priori suivra une distribution simple et peu informative. L’a priori, suivra une distribution uniforme, si toute valeur du paramètre a la même probabilité d’être choisie. Si l’on dispose d’une connaissance suffisante sur l’a priori, la distribution pourra
être une loi de distribution non uniforme plus complexe (loi normale, gamma etc.) [Beaumont, 2014].
L’usage des lois conjuguées (Tableau2.5) permet de calculer l’a posteriori avec un a priori et une vraisemblance dans la même famille de loi. Il est important de trouver la densité a
priori qui permet de déterminer le pouvoir de décision qui sera confié aux données. Les
lois conjuguées simplifient non seulement les calculs mais permettent de maximiser le pouvoir des données observées ; ce qui est important dans notre cas car nous visons la détermination du plus petit échantillon de données pour la meilleure estimation des paramètres du processus de dégradation.
Vraisemblance f(x/𝜃) Information 𝑔(𝜃) Information a posteriori 𝑔(𝜃/x) Normale 𝑁(𝜃, 𝜎2) Normale 𝑁(𝜇, 𝜏2) 𝑁(𝜌(𝜎 2𝜇 + 𝑟2𝑥), 𝜌𝜎2𝑟2) 𝜌−1= 𝜎2+ 𝑟2 Poisson 𝑃(𝜃) Gamma 𝐺(𝛼, 𝛽) 𝐺(𝛼 + 𝑥, 𝛽 + 1) Gamma 𝐺(𝑣, 𝜎2) Gamma 𝐺(𝛼, 𝛽) 𝐺(𝛼 + 𝑣, 𝛽 + 𝑥) Binomiale 𝐵(𝑛, 𝜃) 𝐵𝑒(𝛼, 𝛽) Bêta 𝐵𝑒(𝛼 + 𝑥, 𝛽 + 𝑛 − 𝑥) Négative Binominale 𝑁𝑒𝑔(𝑚, 𝜃) 𝐵𝑒(𝛼, 𝛽) Bêta 𝐵𝑒(𝛼 + 𝑚, 𝛽 + 𝑥) Multinominale 𝑀𝑘(𝜃1, … , 𝜃𝑘) 𝐷(𝛼Dirichlet 1, … , 𝛼𝑘) 𝐷(𝛼1+ 𝑥1, … , 𝛼𝑘+ 𝑥𝑘) Bêta 𝐵𝑒(𝛼, 𝛽) Exponentiel 𝑒𝑥𝑝(𝜆) 𝑒𝑥𝑝(𝜆 − log (1 − 𝑥)) Normale 𝑁(𝜇, 1/𝜃) Gamma 𝐺(𝛼, 𝛽) 𝐺(𝛼 + 0.5, 𝛽 + (𝜇 − 𝑥)2/2)
Tableau 2.5. Quelques lois conjuguées [Fatemi, 2012]
Après avoir trouvé les types de lois qui vont représenter la distribution a priori, il faut déterminer les paramètres des lois à partir des informations dont on dispose.
b) Recherche des paramètres de la loi a priori
L’hypothèse qui est faite est que les différents paramètres sont indépendants. La distribution a priori, s’écrit comme le produit des distributions a priori individuelles associées aux différents paramètres :
g(𝜃) = ∏𝑞𝑖=1𝑔𝑖(𝜃𝑖) (2.50) Pour estimer les paramètres de lois, il existe plusieurs méthodes telles que : la méthode séquentielle, la méthode des échantillons équilibrés, la méthode des moments pondérés, la méthode des doubles moments, la méthode des fractiles, la méthode du maximum d’entropie, la méthode des moments [Suhner, 1994], [Finetti, 1974] et [Goldstein, 1999].
c) Le poids de l’a priori
L’information a priori est souvent donnée sous forme d’intervalle. Cependant, il est important de prendre en compte le poids de l’information a priori lors de l’estimation bayésienne des paramètres. En effet, on distinguer trois types d’a priori :
• Peu informatif et cohérent
Une information a priori est cohérente, si la moyenne théorique 𝑚𝑡ℎ est le centre de l’intervalle [𝑚𝑚𝑖𝑛,𝑚𝑚𝑎𝑥] qui représente l’information a priori. Peu informatif veut dire que la variance de l’intervalle est trop grande. Si l’estimation bayésienne donne une valeur de 𝑚 proche de 𝑚𝑡ℎ avec un écart-type réduit ; on peut conclure que c’est la combinaison de l’information a priori et celle des données issues des essais qui sont à l’origine d’une telle estimation.
• Très informatif et cohérent
Par cohérent on entend à nouveau le fait que la moyenne théorique 𝑚𝑡ℎ est le centre de l’intervalle [𝑚𝑚𝑖𝑛,𝑚𝑚𝑎𝑥] qui représente l’information a priori. Le terme "très informatif" signifie que l’on a une variance faible. Si l’estimation bayésienne donne une moyenne très proche de la valeur théorique et un écart-type faible ; cela indique que l’information fournie par l’a priori est plus importante que celle que nous apportent les essais.
• Très informatif et incohérent
Avec un a priori très informatif et incohérent, l’intervalle qui représente l’information, [𝑚𝑚𝑖𝑛,𝑚𝑚𝑎𝑥] est très réduit, et décentré par rapport à la moyenne théorique 𝑚𝑡ℎ. Le fait d’avoir un a priori très informatif et incohérent avec un échantillon d’essais faible permet d’avoir une estimation bayésienne du paramètre 𝑚 avec écart-type réduit et donc un intervalle de confiance serré. La valeur de l’estimation bayésienne de 𝑚 sera décentrée, car l’intervalle de l’information a priori est décentré par rapport à la moyenne théorique 𝑚𝑡ℎ. On peut dire qu’il y a dégradation de la connaissance apportée par les essais en choisissant le mauvais a priori. Un mauvais a priori peut conduire à un a posteriori incorrect. La solution à ce problème est la pondération de l’a priori en calculant un facteur de compatibilité entre l’a priori et la vraisemblance [Usureau, 2001].
2.6. Conclusion
Une introduction sur le traitement statistique des essais de vieillissement qui permettent d’estimer la fiabilité d’un produit soumis aux conditions normales d’utilisation a été faite. La principale difficulté sur la mise en œuvre des essais de vieillissement est liée au temps nécessaire pour obtenir une défaillance au niveau du produit testé. Une autre alternative pour atteindre rapidement la défaillance et l’utilisation des essais accélérés réalisés dans des conditions sévérisées sous différents stress.
Les résultats des essais accélérés sont utilisés pour estimer la fiabilité réelle du produit dans les conditions normales d’usage. Cette extrapolation des résultats se fait à l’aide d’une fonction de transfert.
Étant donné que la détérioration du béton est une conséquence de phénomènes de dégradation progressifs comme la carbonatation, le choix de présenter les essais de dégradation accélérés a été fait. Une modélisation des phénomènes de dégradation par les processus stochastiques de Gamma, Inverse Gaussien, de Wiener ou à Dispersion Exponentielle est possible en prenant en compte les différentes caractéristiques du phénomène étudié. Avec le souci d’avoir un seul processus stochastique pour modéliser tout processus de dégradation sur le béton, le choix s’est porté sur le processus de Wiener car il permet de modéliser tout type de phénomène de dégradation (étant non monotone et restant croissant dans le temps). Il reste aisé à utiliser par rapport aux autres processus stochastiques.
Les essais accélérés impliquent l’utilisation de plans d’essais présentés dans ce chapitre ainsi que les modèles d’accélération permettant de modéliser la fiabilité du produit selon les différents stress utilisés. Le choix du plan d’essais doit prendre en compte les conditions de réalisation des essais ainsi que le mode de défaillance des produits testés en veillant à ce que l’on garde la même défaillance sous stress sévérisés et aux conditions normales d’utilisation.
L’objectif de notre travail est de proposer le meilleur plan d’essais permettant d’avoir une estimation de la fiabilité du béton. Cela est possible en optimisant le plan d’essais (chapitre 3). Dans cette optique, une estimation bayésienne des paramètres du modèle de dégradation permet d’apporter plus de précision sur l’estimation de la fiabilité.