3. LA METHODE GENERIQUE PROPOSEE
3.3. Problème d’optimisation du plan d’essais
3.3.3. Détermination de la taille de l’échantillon pour les essais
Dans l’optique de proposer un plan d’essais accélérés a priori à partir des résultats d’essais laboratoire ou venant d’un modèle prédictif, il est possible de définir par avance la taille d’échantillon 𝑁 pour les essais en utilisant un critère d’encadrement de la durée de vie du produit étudié (dans notre cas le béton). Si on souhaite estimer le qème quantile de la distribution de durée de vie du béton dans les conditions normales d’utilisation selon le critère suivant (figure 3.4) :
𝑃{(1 − 𝜀)𝑇𝑞,0≤ 𝑇̂𝑞,0≤ (1 + 𝜀)𝑇𝑞,0} ≥ 𝜙 (3.28) où 𝜀 est une constante positive qui satisfait 0 < 𝜀 < 1. Elle représente la précision de l’intervalle d’estimation de 𝑇𝑞,0 et 𝜙 est un seuil de confiance fixé et exprimé en terme de probabilité.
Si on fait l’hypothèse que 𝑇̂𝑞,0 suit approximativement une distribution normale de moyenne 𝑇𝑞,0 et de variance (𝑇̂ ) , l’équation (3.28) peut s’écrire de la manière suivante : 𝑞,0
𝑃 {(−𝑍(1+𝜙)/2≤ 𝑇̂𝑞,0−𝑇𝑞,0 √𝐴𝑣𝑎𝑟(𝑇̂𝑞,0)
≤ 𝑍(1+𝜙)/2} ≥ 𝜙 (3.29)
𝑍(1+𝜙)/2 est le (1+𝜙
En se référant à l’équation liant la matrice de Fisher à la variance asymptotique de l'indicateur 𝑇̂𝑞,0 , on peut donner une approximation de la taille d’échantillon 𝑁 par l’équation suivante :
𝑁 ≈𝐻
′𝐼−1(𝜃)𝐻[𝑍(1+𝜙)/2]2
𝜀2𝑇𝑞,02 (3.30)
L’échantillon 𝑁 devra être réparti entre les différents niveaux de stress du plan d’essais en respectant le/les critère(s) d’optimisation.
A retenir
L’optimisation du plan d’essais accéléré est une partie très importante car elle va permettre d’estimer la durée de vie du béton (fiabilité du béton) avec les paramètres d’optimisation les plus optimaux (stress (nombre et valeurs), nombre d’échantillon, mesures (fréquences et nombre)) en respectant les contraintes fixées lors des essais. L’optimisation se fait selon des critères tels que : les critères d’optimalités et l’estimation par intervalle de confiance avec un seuil de confiance et une précision donnée.
3.4. Conclusion
Ce chapitre a permis de montrer comment les données des essais sont collectées. Deux possibilités se présentent : la collecte des données par les essais réels sur le béton et la génération des données par le biais d’un modèle prédictifs. Dans cette thèse, les données proviennent du modèle de Hyvert pour l’application de la méthode de qualification de la durabilité du béton avec un plan d’essais optimisé pour le cas de la carbonatation du béton. Une fois les données générées, une transformation iso-probabiliste doit être effectuée dans le cas où la caractéristique étudiée ne suit pas une loi normale. Car le processus de Wiener choisi pour représenter l’évolution de la dégradation dans le béton représente les données qui évoluent selon la loi normale. La transformation iso-probabiliste permet de transformer la distribution des données différente de la loi normale en loi normale en conservant les paramètres qui la caractérisent comme ; la médiane, la variance, l’entropie et le quartile (supérieur ou inférieur) etc. Les données générées par le modèle de Hyvert sont utilisées pour caractériser les paramètres du processus de Wiener (voir chapitre 4). Ensuite, il se pose le problème d’optimisation du plan d’essais qui permet d’estimer la durée de vie du béton (fiabilité du béton) avec les paramètres d’optimisation les plus optimaux (stress (nombre et valeurs), nombre d’échantillon, mesures (fréquences et nombre)) en respectant les contraintes fixées lors des essais. L’optimisation passe par la définition d’une fonction objectif liée à un critère d’optimalité donné (choisi en fonction de l’objectif visé avec l’optimisation ; voir section 3.3.2). Il faut aussi faire la distinction entre le cas des
essais destructifs/non destructifs ; car les résultats et la manière de procéder diffèrent selon le type d’essais. Le chapitre se termine par une méthode permettant de trouver le nombre d’éprouvettes à utiliser lors des essais en fonction d’un seuil de probabilité et d’une précision sur l’intervalle de confiance qui encadre la durée de vie du béton. Une application de la méthode de génération de données et de planification des essais destructifs/non destructifs sera faite dans le chapitre quatre.
4. Planification d’un plan d’essais optimisé pour un béton
soumis à la carbonatation
4.1. Introduction
Pour rappel, notre objectif est d'estimer la durabilité, en termes de durée de vie garantie, d’un béton soumis à la carbonatation en s'appuyant sur un plan d’essais accélérés optimal. Dans ce chapitre, nous allons présenter dans un premier temps la méthode d'estimation de la durabilité proposée. Cette estimation sera donnée sous une forme déterministe mais également sous forme d’intervalles de confiance, déterminés par les méthodes du Percentile Bootstrap (PB) [Mandel et Betensky,2008] ou du Percentile Boostrap corrigé par Biais (PBCB) [Karlsson, 2009].
Dans une première étape du second temps, nous nous intéressons au cas de l'optimisation d'un plan d'essais accélérés à deux niveaux de stress ; l'objectif d'optimisation étant conditionné par la qualité de l'estimation. Des études particulières des effets des bornes inférieure et supérieure des niveaux de stress seront réalisées afin de conclure sur la configuration optimale de l'essai accéléré. Sera alors introduite une méthode de détermination du nombre d’essais nécessaires à réaliser en fonction de la précision et du seuil de confiance visés. Une analyse de sensibilité complétera cette étude d'un plan d'essais à deux niveaux de stress. Elle a pour objectif de saisir l’influence de la qualité des estimations sur le plan d’essais optimisé et de statuer sur la robustesse de la méthode. Dans une seconde étape, l'influence de l'introduction d'un troisième niveau de stress est étudiée. L'analyse de cette influence portera sur l'amélioration de la qualité de l'estimation de la durabilité pour un même nombre d'échantillons testés ou un même temps d'essais (ou inversement, i.e. impact d'un troisième niveau de stress sur les tailles d'échantillons à tester ou les temps d'essai pour un même niveau de qualité de l'estimation).
Ce chapitre se termine par l’application de l’approche bayésienne utilisée ici pour enrichir la connaissance a priori de la dégradation extraite du modèle de Hyvert par combinaison avec celle des mesures observées de la dégradation lors des essais, et, in fine, d'actualiser au fur et à mesure des observations le plan d'essais optimal. Les données utilisées dans ce chapitre sont générées à partir du modèle de carbonatation de Hyvert dont les caractéristiques des paramètres (moyenne et écart-type) et leurs lois de distribution (log-normale, normale) sont définis dans le chapitre 3 ; sous-section 3.2.1, tableau 3.1.