Influence de la qualité des données sur le comportement multifractal

L’analyse spectrale a montré les influences de la qualité des données sur le comportement du spectre d’énergie. Dans cette section, afin d’évaluer les influences éventuelles de la qualité des données sur le comportement d’invariance d’échelle des moments statistiques, nous avons appliqué l’analyse TM et DTM pour étudier le comportement d’invariance d’échelle des moments pour les 166 séries temporelles de pluie de la base MF-P5 ayant différentes fréquences de mesure.

Pour chaque série, au départ de cette thèse, nous avons d'abord procédé à l'analyse TM sur des séquences individuelles d'environ 5 ans de la pluie de 5 minutes (219 valeurs), qui ont été considérés comme des réalisations indépendantes. La gamme d’ordre q des moments s’étale de 0,25 à 3,0 avec un pas de 0,25. Ensuite, la valeur des moments statistiques à la résolution λ donnée correspond à la moyenne estimée à cette résolution sur toutes les réalisations. L’invariance d’échelle des moments traces empiriques, par rapport à la résolution des données λ, correspond à un comportement linéaire de leurs courbes en coordonnées logarithmiques.

Comme illustré par la Figure 4-9, les séries de Rimbaud et d’Orgeval qui sont mesurées à haute fréquence de 5 minutes présentent un comportement multifractal plutôt clair. Il correspond à une loi de puissance des moments correspondants, qui correspond à l’ajustement linéaire dans le graphique logarithmique.

En raison du déficit de courts épisodes homogènes de pluie, les ruptures d’échelle similaires aux spectres d’énergie sont observées par l’analyse TM. Les courbes TM affichent des ruptures artificielles (Figure 4-10) à environ 40-80 minutes pour les séries ayant une résolution horaire (comme par exemple pour l séries de Nîmes et de Saint Andre de Roquepertuis) mais elle peut se produire pour de plus grandes périodes (comme par exemple à

environ 10 heures pour la série de Mont Aigoual (Figure 4-11a)). De plus, la période de rupture d'échelle n'est pas claire pour les séries de Marseille (Figure 4-11b). Cela montre évidemment la difficulté et soulève plusieurs inquiétudes sur la possibilité d'utiliser ces séries temporelles pour les analyses statistiques et les simulations stochastiques.

Figure 4-9. Graphiques log-log des Moments Traces des séries de Rimbaud (a) et Orgeval (b). Les deux figures/séries présentent un comportement multifractal plutôt clair, mais le maintien d’invariance d’échelle jusqu’à la plus haute résolution (la plus courte durée = 5 minutes) pour seulement les séries d’Orgeval.

Figure 4-10. Graphiques log-log des Moments Traces des séries de Nîmes(a) et Saint Andre de Roquepertuis (b). Les deux séries présentent une rupture d’échelle claire à environ une heure. En effet les distributions de probabilité de leurs durées montrent la fréquence effective de mesure horaire au lieu de 5 minutes (voir la Figure 2-5a pour Nîmes).

Figure 4-11. Graphiques log-log des Moments Traces de la série de Mont Aigoual (a) avec la rupture d’échelle à environ 10 heures et la séries de Marseille (b) avec le point de rupture d’échelle pas claire, en accord avec Figure 2-5b.

Figure 4-12. Graphiques log-log des Moments Doubles Traces des séries de Saint Andre de Roquepertuis (a) et d’Orgeval (b). La figure (a) présente une rupture d’échelle à environ une heure, alors qu’un comportement multifractal est présenté plutôt clairement sur la figure (b). Dans ces deux cas, ces courbes présentent un comportement multiscalant semblable à leurs homologues TM (voir Figure 4-10b et Figure 4-9b)

L’autre technique, l’analyse DTM permet d’étudier le comportement d’invariance d’échelle des moments doubles. Les valeurs de η sont prises de 10-1 à 101. La valeur de q qui est fixée à 1,5 est une valeur satisfaisante. Une vérification de la stabilité de la méthode

(Schmitt, 1993; Biaou, 2004; Hittinger, 2008; Hoang, 2008) a montré que les courbes log(K(q,η)) sont parallèles entre elles pour différentes valeurs de q. Cela signifie que les valeurs de α et C1 sont stables et indépendantes de la valeur de q. Ainsi, il suffit de fixer une valeur de q pour l’analyse DTM.

On doit revenir à la question sur la qualité des données. En effet, la Figure 4-12 montre clairement que les courbes DTM présentent des ruptures d’échelle similaires à celles des courbes TM. Les ruptures d’échelle autour d’une heure, par exemple la série de Nîme (Figure 4-10a) et de Saint Andre de Roqueqertuis (Figure 4-10b et Figure 4-12a), peuvent être expliquées due au déficit en épisodes de haute résolution. En effet, ces séries n’ont qu’une résolution horaire, ainsi un déficit visible des épisodes des durées courtes.

Cela signifie que la gamme des échelles sur laquelle les paramètres multifractals peuvent être estimés est très sensible à la qualité des données à haute fréquence. Ne pas faire attention à cette question conduit à une augmentation des incertitudes pour les estimations des paramètres, ainsi que pour les estimations hydrologiques. C’est par exemple (cf. Figure 4-13) le cas pour les courbes Hauteur-Durée-Fréquence (HDF), qui sont largement utilisées dans l'hydrologie. 0 10 20 30 40 50 60 0 5 10 15 20 25 30 35 T (an) H ( m m )

5mn 1h 5mn (obtenue par les précipitations horaires)

Figure 4-13. Courbes HDF des valeurs maximales annuelles pour la série d’Orgeval. Les symboles carrés correspondent à la durée horaire, les symboles ronds et triangles aux durées de 5 minutes. il y a une différence significative entre la courbe HDF obtenue à partir des précipitations observées (ronds) et celle obtenue à l’aide de la désagrégation uniforme des

La Figure 4-13 présente les courbes HDF des valeurs maximales annuelles pour la série d’Orgeval. Ces données ayant une résolution de 5 minutes sont agrégées en données horaires. Donc, les courbes représentées par les symboles ronds et carrés correspondent respectivement aux durées de 5 minutes et d’une heure. Ensuite, la courbe représentée par les triangles pour la durée de 5 minutes est obtenue à l’aide de la désagrégation uniforme des précipitations horaires, c’est-à-dire, une transformation des précipitations horaires en 5 minutes est obtenue par une distribution uniforme sur les 12 intervalles de 5 minutes. Ceci illustre l'effet d'utiliser les données horaires pour construire artificiellement les courbes HDF pour les durées sous- horaires. Pour la durée de 5 minutes, la Figure 4-13 montre une différence significative entre ces courbes HDF correspondant aux données de 5 minutes « vraies » et aux données artificielles correspondantes.

En raison du manque de variabilité à petite échelle, les valeurs, obtenues avec l'aide d'une désagrégation uniforme à partir des données de précipitations horaires (triangles) restent plus faibles que celles estimées à partir des précipitations observées (ronds). Par exemple, la hauteur pour une période de retour de 15 ans (et une durée de 5 minutes) diminue fortement de 22 à 4 millimètres. Cela montre que le déficit des épisodes «homogènes» de courte durée pourrait provoquer sous-estimations importantes des précipitations pour les applications opérationnelles de l'hydrologie. Pour les statistiques plus robustes, la quantification de la qualité des données puis la sélection des données ayant la qualité requise sont donc nécessaires. Ceci confirme la nécessité de bien évaluer la fréquence effective de la mesure et d'enregistrement. Dans la section 2.3, nous avons présenté une procédure qui permet de répondre ces questions. Dans les sections suivantes, les analyses serons réalisées sur les données sélectionnées pour déterminer les paramètres multifractals.